基于極限平衡法的砂土中條形基礎(chǔ)極限承載力計(jì)算方法

趙志峰 馬青 方舟

摘要：通過(guò)理論計(jì)算確定淺基礎(chǔ)的極限承載力是巖土研究的基本課題。由于推導(dǎo)中對(duì)滑動(dòng)面以及承載力系數(shù)間的關(guān)系假定不同，已有理論計(jì)算出的承載力系數(shù)的數(shù)值并不完全相同。根據(jù)極限承載力分析的經(jīng)典理論模型，采用極限平衡法力矩平衡條件，推導(dǎo)出砂土中條形基礎(chǔ)的極限承載力計(jì)算公式，并整理得到承載力系數(shù)Nq和Nγ的表達(dá)式。與已有常用計(jì)算方法相比，推導(dǎo)出的承載力系數(shù)Nq和Nγ的計(jì)算公式相互獨(dú)立，避免了承載力系數(shù)相互影響的不足，并減少了計(jì)算的不確定性。為驗(yàn)證公式的準(zhǔn)確性，將計(jì)算結(jié)果與極限分析法的理論解答以及文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，相比幾種經(jīng)典理論，用該公式計(jì)算出不同內(nèi)摩擦角時(shí)的系數(shù)Nγ與極限分析法的計(jì)算值更加接近;用該公式計(jì)算出的極限承載力與室內(nèi)試驗(yàn)實(shí)測(cè)的承載力也更加接近。

關(guān)鍵詞：極限承載力;砂土;條形基礎(chǔ);極限平衡法;承載力系數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU447 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：20966717（2020）03001007

Abstract： Ultimate bearing capacity analysis of shallow foundations has been extensively studied by geotechnical scholars. Since different hypotheses exist in the slip surface and relationship between bearing capacity factors， the value of bearing capacity factors is not same depending on the theory used. Based on the classical analytical model， a limit equilibrium method of moment equilibrium is used to deduce the bearing capacity formula of strip footing on sand， and the equations of bearing capacity factors Nq and Nγ are given. Compared to commonly used theoretical models， the equations of factors Nq and Nγ are independent thus avoid the interplay of two factors and reduce the uncertainty in calculation. In order to verify the accuracy of the equations， the calculation is compared with the theory solution of limit analysis and laboratory test results in literature. Results indicate that the Nγ values calculated by the proposed equations of different internal friction angle are closer to solution of limit analysis than other theoretical models. Furthermore， the bearing capacity calculated by equations in this paper shows good agreement with the data of laboratory test.

Keywords：ultimate bearing capacity; sand; strip footing; limit equilibrium method; bearing capacity factor

天然地基極限承載力作為巖土力學(xué)中的基本問(wèn)題，受到了學(xué)術(shù)界和工程界的重視。Terzaghi、Meyerhof等采用不同的方法，推導(dǎo)出了地基極限承載力的計(jì)算公式并給出了相應(yīng)的承載力系數(shù)。

目前常用的分析方法有：塑性極限分析法、滑移線(xiàn)法和極限平衡法[1]。這3種承載力理論計(jì)算方法各有特點(diǎn)：極限分析法理論上比較嚴(yán)密、推導(dǎo)相對(duì)比較復(fù)雜;滑移線(xiàn)理論能求得無(wú)重土極限承載力精確解[2]，但對(duì)有重土需要結(jié)合其他方法求解;極限平衡法由于推導(dǎo)簡(jiǎn)便而得到了普遍應(yīng)用。以Terzaghi為代表的學(xué)者分析了基底以上堆載q、基礎(chǔ)寬度b和黏聚力c對(duì)承載力的影響，給出了被廣泛應(yīng)用的地基承載力計(jì)算公式

需要指出的是，Terzaghi采用疊加方法計(jì)算承載力系數(shù)Nc、Nq、Nγ，由于計(jì)算時(shí)采用不同破壞模式的疊加，因此，推導(dǎo)出的承載力與真實(shí)值存在差異[89]。模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)也表明，采用某些經(jīng)典模型計(jì)算出的極限承載力偏于保守。

隨著有限元等數(shù)值計(jì)算方法的普及，很多學(xué)者傾向于采用數(shù)值模擬方法研究承載力問(wèn)題。數(shù)值模擬方法假定少、適用范圍廣，但計(jì)算結(jié)果缺少普遍性，可以與理論分析法相互補(bǔ)充。目前，仍有學(xué)者通過(guò)理論分析來(lái)研究地基承載力，研究主要集中在：采用非疊加方法計(jì)算承載力系數(shù);推導(dǎo)不同形狀基礎(chǔ)的地基承載力解析解;計(jì)算非均質(zhì)地基條件下的極限承載力。

筆者采取極限平衡法在同一破壞模式下研究砂土上條形基礎(chǔ)的承載力，推導(dǎo)考慮埋深和土體重度的極限承載力解析解，提出相互獨(dú)立的承載力系數(shù)計(jì)算公式，并將推導(dǎo)結(jié)果同經(jīng)典解答以及文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證公式的合理性和適用性。

1公式推導(dǎo)

推導(dǎo)中采用經(jīng)典承載力理論的基本假定：條形基礎(chǔ)基底粗糙，土體視為理想剛塑性模型且服從MohrCoulomb屈服準(zhǔn)則，在極限荷載下土體發(fā)生整體剪切破壞。

設(shè)基礎(chǔ)寬度為b、埋深為d、基底以上由于土重產(chǎn)生的堆載為γd，考慮對(duì)稱(chēng)性，取一半進(jìn)行分析，分析簡(jiǎn)圖如圖1所示。根據(jù)各學(xué)者普遍認(rèn)可的破壞模式，在基底最大壓力pu作用下，土中破壞面分為3個(gè)區(qū)：三角形ABC為彈性核，水平夾角為θ1;ACD為過(guò)渡區(qū)、邊界CD為對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)，中心角為θ2;ADG為被動(dòng)區(qū)，AD與水平面的夾角為45°-φ/2。

當(dāng)基底壓力增大時(shí)，破壞面逐漸向地表發(fā)展。此時(shí)，土體自重應(yīng)力σcz會(huì)在AD面上產(chǎn)生正應(yīng)力σn和剪應(yīng)力τn。CD面上作用著抗剪強(qiáng)度τz，AC面上也作用著正應(yīng)力和剪應(yīng)力。以ACD為研究對(duì)象，當(dāng)土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，各力對(duì)A點(diǎn)的力矩應(yīng)平衡。由于作用在AC和AD面上的剪應(yīng)力對(duì)A點(diǎn)力矩為零，所以只需考慮兩個(gè)面上的正應(yīng)力產(chǎn)生的力矩。為了便于分析，將AD面上的正應(yīng)力進(jìn)行分解。

如圖2所示，作用在AD面上的正應(yīng)力分成兩種：一種是由于基底以上的堆載γd產(chǎn)生的，沿AD面保持不變;一種是由在AD高度范圍內(nèi)的土體自重產(chǎn)生的，沿AD呈三角形分布。

2承載力系數(shù)的比較

通過(guò)以上推導(dǎo)得到了作用下砂土上的條形基礎(chǔ)承載力系數(shù)表達(dá)式。已有的承載力理論大多是先推導(dǎo)出Nq的表達(dá)式，再通過(guò)經(jīng)驗(yàn)法得到Nγ與Nq的關(guān)系（如式（4）、式（6a）、式（6b）、式（6c））。本文直接推導(dǎo)出兩個(gè)系數(shù)的計(jì)算公式，方便使用。

表1為筆者公式與目前使用較多的經(jīng)典理論計(jì)算出的承載力系數(shù)Nq對(duì)比。已有理論中，計(jì)算公式主要有兩類(lèi)：一是Terzaghi使用的式（3a），一是Hansen、Vesic等眾多學(xué)者使用的式（5）。當(dāng)內(nèi)摩擦角小于24°時(shí)，式（18）計(jì)算出的Nq小于Terzaghi和Hansen的計(jì)算值;當(dāng)內(nèi)摩擦角不小于24°時(shí)，式（18）計(jì)算出的Nq介于Terzaghi和Hansen二者之間。

表2為筆者公式與目前使用較多的理論計(jì)算出的承載力系數(shù)Nγ對(duì)比。列舉的4種理論中，Terzaghi（式（4））、Vesic（式（6b））計(jì)算出的Nγ相對(duì)較高，而Hansen（式（6a））和Salgado（式（6c））計(jì)算出的Nγ相對(duì)較低。當(dāng)內(nèi)摩擦角小于12°時(shí)，Terzaghi、Hansen、Salgado承載力理論得到的均小于1，式（19）計(jì)算出的為1.49，略低于Vesic理論得到的1.69。隨著內(nèi)摩擦角的增大，式（19）計(jì)算出的Nγ基本介于Terzaghi和Vesic的解答之間，大于Hansen和Salgado的解答。

從承載力系數(shù)的推導(dǎo)和數(shù)值可以看出，內(nèi)摩擦角φ直接決定著承載力系數(shù)的高低和砂土承載力的大小。尤其是當(dāng)內(nèi)摩擦角較大時(shí)，這一影響體現(xiàn)得更為明顯。因此，在計(jì)算密砂的承載力系數(shù)時(shí)，對(duì)內(nèi)摩擦角的取值需要慎重。有學(xué)者指出，在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下，砂土的剪脹角ψ會(huì)影響速度矢量的方向[1011]。

此時(shí)應(yīng)該用式（20）計(jì)算的等效內(nèi)摩擦角φ*代替內(nèi)摩擦角φ計(jì)算承載力系數(shù)[11]。另外，基礎(chǔ)寬度b對(duì)承載力計(jì)算的準(zhǔn)確性也存在一定影響。基礎(chǔ)寬度增大雖然會(huì)使承載力提高，但很多研究也表明存在界限，所以，在地基基礎(chǔ)規(guī)范的承載力修正中，對(duì)寬度的取值進(jìn)行了限制。因此，使用本文公式計(jì)算承載力時(shí)，砂土內(nèi)摩擦角取值盡量不超過(guò)44°，條形基礎(chǔ)寬度不超過(guò)6 m。

3計(jì)算結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證公式的合理性，將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行兩種對(duì)比驗(yàn)證。

3.1與極限分析法計(jì)算的Nγ對(duì)比

由于系數(shù)Nγ多是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，因此，各承載力理論中Nγ差別較大。極限分析法理論比較復(fù)雜、推導(dǎo)嚴(yán)密，可得到極限荷載[12]，因此，將筆者計(jì)算的Nγ與極限分析法的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比。參考在地基承載力研究中被廣泛引用的Michalowski和Soubra的極限分析法計(jì)算結(jié)果。Michalowski比較了已有的承載力理論，并給出了基底粗糙時(shí)Nγ的計(jì)算公式[11]

Soubra給出了承載力的推導(dǎo)思路，由于過(guò)程復(fù)雜，所以，給出了不同內(nèi)摩擦角時(shí)的Nγ值[13]。選取了內(nèi)摩擦角為15°、25°、35°的3種情況進(jìn)行對(duì)比。如表3所示，不同摩擦角時(shí)本文公式的計(jì)算結(jié)果同Michalowski和Soubra的解答都比較接近。幾種經(jīng)典理論中，Vesic解在內(nèi)摩擦角為35°時(shí)的解答與極限分析法的解答比較接近，但在15°和25°時(shí)相差較大。

3.2與試驗(yàn)得到的pu進(jìn)行對(duì)比

將公式解與已有研究中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在砂土承載力方面的研究主要集中在理論和數(shù)值分析上，關(guān)于砂土上淺基礎(chǔ)極限承載力的試驗(yàn)成果并不多。Siddiquee等[1415]曾在砂土上進(jìn)行過(guò)一系列基礎(chǔ)承載力試驗(yàn)，因此，從中選取條形基礎(chǔ)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

試驗(yàn)1（模型試驗(yàn)）[14]：條形基礎(chǔ)寬度0.5 m，基礎(chǔ)置于砂土表面、埋深為0。

試驗(yàn)2（離心機(jī)試驗(yàn)）[15]：等效條形基礎(chǔ)寬度1 m，基礎(chǔ)的埋深與基礎(chǔ)寬度的比值分別為：0.50、0.75、1.00。

兩種試驗(yàn)采用的都是相同的石英砂（Toyoura sand）。該砂的干重度為15.8 kN/m3，考慮應(yīng)力水平后的等效內(nèi)摩擦角為40.1°。

試驗(yàn)1得到的極限承載力pu約為470 kPa。使用本文公式計(jì)算出的承載力為461 kPa，Terzaghi理論解為488 kPa，Vesic解為440 kPa，Hansen解為320 kPa、Salgado解為335 kPa。本文公式的解答與試驗(yàn)值更接近。

試驗(yàn)2通過(guò)離心機(jī)試驗(yàn)得到了條形基礎(chǔ)不同埋深時(shí)的極限承載力[13]。通過(guò)圖5的計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比可以看出，幾種埋深下的Terzaghi解都大于試驗(yàn)值，而Hansen解和Salgado解都明顯小于試驗(yàn)值，這與之前承載力系數(shù)的規(guī)律一致。Vesic解和本文公式解與試驗(yàn)值比較接近，相比之下，當(dāng)d/b=0.25和0.5時(shí)，本文公式的解答與試驗(yàn)值相差很小;當(dāng)d/b=1.0時(shí)，Vesic解更接近。從不同埋深的試驗(yàn)數(shù)值來(lái)看，d/b從0.75增加至1.0時(shí)，承載力的增幅明顯小于d/b從0.5增加至0.75時(shí)，這可能與試驗(yàn)誤差等因素有關(guān)。

將幾種理論解與試驗(yàn)值的平均誤差進(jìn)行計(jì)算。使用本文公式計(jì)算值與試驗(yàn)值的誤差為2.6%，其余理論的誤差分別為：Vesic解為7.4%，Terzaghi解為9.5%，Hansen解為21%，Salgado解為19%。從結(jié)果對(duì)比可以看出，本文公式可以用來(lái)計(jì)算砂土上條形基礎(chǔ)的極限承載力且誤差較小。

4結(jié)論

1）根據(jù)經(jīng)典承載力理論，對(duì)滑動(dòng)區(qū)土體的受力進(jìn)行分析，推導(dǎo)出基于極限平衡法的承載力解析解，并整理出承載力系數(shù)Nq和Nγ的表達(dá)式。

2）使用本文得到的承載力系數(shù)計(jì)算公式，給出了砂土內(nèi)摩擦角2°～44°時(shí)的承載力系數(shù)取值，并與常用的承載力系數(shù)取值方法進(jìn)行了比較。

3）本文得到的承載力系數(shù)計(jì)算公式相互獨(dú)立、變量較少，使用起來(lái)比較方便。通過(guò)與已有試驗(yàn)研究結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文公式計(jì)算結(jié)果的合理性。參考文獻(xiàn)：

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（編輯王秀玲）