四邊固支矩形薄板熱屈曲問(wèn)題的有限積分變換法

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部 遼寧 大連 116024)

一、前言

水泥混凝土薄板是一種重要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，在土木、道路橋梁、水利以及航空航天領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。實(shí)際工程中，水泥混凝土薄板會(huì)受溫度的影響而產(chǎn)生溫度應(yīng)力，在溫度上升到一定程度時(shí)會(huì)薄板會(huì)出現(xiàn)熱屈曲的狀態(tài)。薄板熱屈曲對(duì)薄板工作狀態(tài)有很重要的影響，但是現(xiàn)有的對(duì)于薄板溫度屈曲的解析解相關(guān)研究比較少，因此對(duì)溫度荷載作用下的矩形板進(jìn)行力學(xué)分析具有重要的理論及工程價(jià)值。

近年來(lái)，溫度荷載對(duì)于矩形板的影響受到了很多的關(guān)注。弓滿鋒等人[1]應(yīng)用五節(jié)點(diǎn)差分法求解關(guān)于平面應(yīng)力的非線性偏微分方程，得出矩形薄板受溫度場(chǎng)和相應(yīng)邊界條件約束時(shí)的應(yīng)力分布特點(diǎn)。程選生、杜永峰[2-3]于2006年根據(jù)橫向變溫作用下各向同性材料彈性矩形薄板的平衡微分方程和邊界條件,通過(guò)試取撓度函數(shù),推導(dǎo)了四邊簡(jiǎn)支以及四邊固支情況下的撓度及內(nèi)力計(jì)算公式。在此基礎(chǔ)上，程選生等人[4]推導(dǎo)了彈性地基上鋼筋混凝土矩形薄板在熱載作用下的平衡方程和穩(wěn)定方程，給出了四邊簡(jiǎn)支鋼筋混凝土矩形薄板在均勻溫度變化時(shí)臨界屈曲溫度變化的封閉解，討論了板的材料常數(shù)、長(zhǎng)寬比、相對(duì)厚度和基床系數(shù)等對(duì)臨界屈曲溫度變化的影響，從而為工程結(jié)構(gòu)中彈性地基上鋼筋混凝土矩形薄板的臨界屈曲溫度的計(jì)算提供了理論計(jì)算依據(jù)。

彈性矩形板問(wèn)題的研究方法眾多，鐘陽(yáng)教授于2005年將有限積分變換法系統(tǒng)地應(yīng)用于彈性矩形板問(wèn)題的求解中。該方法是以積分變換理論為基礎(chǔ)的，首先將矩形板基本控制方程轉(zhuǎn)換至積分變換域內(nèi)，從而在變換域內(nèi)進(jìn)行求解，最后經(jīng)積分逆變換得到了直角坐標(biāo)系下矩形板位移和內(nèi)力的精確解。有限積分變化法求解思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)便，由于求解過(guò)程不需預(yù)先人為選定位移函數(shù)，而是直接從矩形板的基本控制方程出發(fā)求出問(wèn)題的精確解，使得問(wèn)題的求解過(guò)程更合理化，因此對(duì)不同的邊界條件有非常好的通用性。例如鐘陽(yáng)教授利用二維有限積分變換的方法推導(dǎo)出了四邊固支矩形厚板位移和內(nèi)力的精確解[5]，利用雙重有限余弦積分變換的方法推導(dǎo)出了彈性地基上四邊自由矩形薄板問(wèn)題的解析解表達(dá)式[6]。田斌[7]采用有限積分變換法給出了簡(jiǎn)支板的納維爾解推導(dǎo)過(guò)程，并分別求解了四邊固支薄板和彈性地基上四邊自由薄板，提出了以有限積分變換法為基礎(chǔ)的求解任意邊界薄板位移函數(shù)的統(tǒng)一公式，并通過(guò)懸臂薄板的求解驗(yàn)證了該公式的正確性。

本文運(yùn)用有限積分變化法進(jìn)一步應(yīng)用到推導(dǎo)溫度荷載作用下四邊固支矩形薄板溫度屈曲過(guò)程的解析解。在推導(dǎo)過(guò)程中首先將其控制方程進(jìn)行有限積分變換，代入邊界條件的表達(dá)式，最后得出解析解。

二、四邊固支薄板熱屈曲有限積分變換法

已知矩形薄板計(jì)算的基本假定[8-10]：a.變形前垂直于中面的直線，在板變形后仍然垂直于變形后的中面，且長(zhǎng)度保持不變；b.應(yīng)力分量σz、τxz、τyz遠(yuǎn)小于其余三個(gè)應(yīng)力分量(σx,σy,τxy)，因而其引起的應(yīng)變可忽略不計(jì)；c.薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒(méi)有平行中面的位移，即：u|x=0=0，v|x=0=0。

(一)薄板熱彈性的基本方程

已知幾何方程為：

(1)

式中：α是線膨脹系數(shù)；T=T(x,y,z)是薄板中任意一點(diǎn)的變溫。E和μ分別為板的楊氏模量和泊松比。求解應(yīng)力分量得：

(2)

若令D=Eh3/12(1-μ2)，則有：

(3)

(4)

(二)有限積分變換法求解控制方程

根據(jù)經(jīng)典薄板的小撓度理論[11]，矩形薄板在單向壓縮荷載作用下的控制方程為

(5)

(6)

其中D=Eh3/12(1-μ2)為板的彎曲剛度。

對(duì)于四邊固支矩形薄板所需要二維正弦有限積分變換如下：

(7)

逆變換為：

(8)

對(duì)于控制方程進(jìn)行有限積分變換時(shí)所需要的高階偏微分項(xiàng)如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(9)-(13)代入到控制方程(5)中可得：

(14)

將四邊固支條件下四邊的撓度為零代入，即將W|x=0=W|x=a=0,W|y=0=W|y=b=0代入上式，可得：

(15)

接下來(lái)，令

(16)

已知對(duì)于四邊固支邊界條件：

(17)

將(17)代入(16)Im,Jm,Kn和Ln即可得到

(18)

可以看出-DIm,-DJm,-DKn和-DLn分別為y=b,y=0,x=a和x=0四條邊彎矩的傅里葉系數(shù)可表示為：

(19)

由此，公式(14)可整理為：

Wmn=Cmn{βn[(-1)nIm-Jm]+αm[(-1)mKn-Ln]}

(20)

將上式(20)代入公式(3)即可得到W(x,y)的表達(dá)式，其中m=1,2,3,…n=1,2,3…,

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

整理并展開(kāi)(22)-(25)式可得：

(26)

(27)

(28)

(29)

公式(26)-(29)組成有關(guān)于Im,Jm,Kn和Ln的四個(gè)聯(lián)立方程組，通過(guò)矩陣的方程式為零可以求得四邊固支薄板熱屈曲的荷載系數(shù)。通過(guò)Mathematica計(jì)算軟件即可編程計(jì)算得出結(jié)果。盡管當(dāng)m、n趨近于無(wú)窮時(shí)，從推導(dǎo)中可以觀察到屈曲荷載系數(shù)的精確解，但在實(shí)際應(yīng)用中，只需少量的項(xiàng)就可以得到具有期望精度的收斂解，這是本方法的主要優(yōu)點(diǎn)。

三、結(jié)論

本文采用有限積分變換方法，對(duì)矩形薄板的熱屈曲解析解進(jìn)行了研究。將高階偏微分控制方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性代數(shù)方程組，得到了其解析解。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、通用，不需要預(yù)先確定撓度函數(shù)，使求解過(guò)程更加合理。該方法還可推廣到彎曲、振動(dòng)以及厚板和中厚板問(wèn)題。這種方法對(duì)工程師和科學(xué)家來(lái)說(shuō)都很容易實(shí)現(xiàn)。本文研究得出的解析解結(jié)果為其它數(shù)值分析方法的驗(yàn)證提供參考。