定子電流建模的差分進(jìn)化與最小二乘混合算法

彭 程，郭春雨

(華北科技學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

斷條是異步電機(jī)的一類常見(jiàn)故障，定子電流中周期信號(hào)的幅值能夠揭示是否存在斷條故障以及故障的程度，因此定子電流分析法成為斷條故障診斷的一種重要方法。定子電流信號(hào)頻率和幅值分析的常用算法有矩陣束算法[1]、Prony算法[2]、譜估計(jì)[3]、小波包算法[4]、自適應(yīng)濾波[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、智能優(yōu)化算法[7]等。本文提出了一種用于斷條故障診斷的定子電流建模算法，并使用仿真算例對(duì)算法進(jìn)行了檢驗(yàn)。

1 問(wèn)題描述

已有研究表明，出現(xiàn)斷條故障時(shí)，異步電機(jī)定子電流為：

(1)

式中，f為工頻，Hz；t為時(shí)間，s；S為轉(zhuǎn)差率；B1、B2、B3為各頻率成分的幅值，A；φ1、φ2、φ3為各頻率成分的初相角，rad。即定子電流中會(huì)出現(xiàn) (1±2S)f的頻率成分，并且斷條數(shù)目可以按式(2)進(jìn)行判斷[2]。

(2)

式中，p為電機(jī)極對(duì)數(shù)；R為轉(zhuǎn)子導(dǎo)條總數(shù)；Rb為斷裂的導(dǎo)條數(shù)。設(shè)N+1個(gè)不同時(shí)刻定子電流的測(cè)量值為

Im(nT)=I(nT)+e(nT)

(3)

式中，T為采樣周期，s；n為采樣點(diǎn)數(shù)，n= 0, 1, 2, ...,N；e(nT)為測(cè)量噪聲，服從數(shù)學(xué)期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布，A。定子電流建模需要解決的問(wèn)題是根據(jù)Im(nT)估計(jì)出式(1)中各未知參數(shù)，尤其是f、S、B1和B3的值，以便進(jìn)行斷條故障診斷。本文通過(guò)求解式(4)定義的非線性最小二乘問(wèn)題得到各未知參數(shù)。

(4)

式中，J為目標(biāo)函數(shù)，A2。

2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化[8-10]是一種基于種群的智能優(yōu)化算法，種群中每個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)可能的解。差分進(jìn)化算法使用變異、交叉、選擇三種操作逐步更新種群中的個(gè)體，得到優(yōu)化問(wèn)題的解。

對(duì)于一個(gè)D維優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)種群大小為P，與種群中的第k(k=1, 2, ...,P)個(gè)個(gè)體XkRD對(duì)應(yīng)的變異操作為

Vk=Xr1+F(Xr2-Xr3)

(5)

式中，Vk為變異向量；r1、r2、r3為集合{1, 2, ...,P}中三個(gè)不同的元素，且均不等于k；F為縮放因子。

交叉操作中，試驗(yàn)向量Uk的一部分分量來(lái)自于個(gè)體Xk，其余分量則從變異向量Vk中獲取，即試驗(yàn)向量Uk的第i(i=1, 2, ...,D)維分量

(6)

式中，r4為[0, 1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；C為交叉概率，C為Vk的第i維分量；為Xk的第i維分量。

選擇操作采用貪婪策略，將Uk與Xk中更優(yōu)的一個(gè)作為下一代種群的第k個(gè)個(gè)體。

3 定子電流建模算法

觀察式(1)給出的定子電流模型，可以知道模型的8個(gè)參數(shù)中f、S、φ1、φ2、φ3為非線性參數(shù)，B1、B2、B3為線性參數(shù)。令θ1=[B1B2B3]T，θ2=[fSφ1φ2φ3]T，若θ2已知，式(4)簡(jiǎn)化為線性最小二乘問(wèn)題，并且θ1為式(7)定義的線性代數(shù)方程組的最小二乘解。

(7)

考慮到定子電流模型的這一特點(diǎn)，定子電流建模時(shí)對(duì)8個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行了分組，使用差分進(jìn)化算法確定θ2，通過(guò)求解式(7)得到與θ2對(duì)應(yīng)的θ1。本文將該定子電流建模算法稱為差分進(jìn)化與最小二乘混合算法。

注意到θ1的三個(gè)分量B1、B2、B3均應(yīng)為非負(fù)數(shù)，而式(7)的最小二乘解不一定能滿足這一約束條件，故需要對(duì)其進(jìn)行修正。這里將修正步驟作為定子電流建模的最后一步，具體做法是若某頻率成分的幅值的計(jì)算結(jié)果小于零，則取其絕對(duì)值作為幅值，初相角則增加π。例如優(yōu)化得到的某頻率成分正弦信號(hào)為-0.2sin(49t+π/3)，則將其修正為0.2sin(49t+4π/3)。

綜上所述，定子電流建模的差分進(jìn)化與最小二乘混合算法的流程為：

步驟1：設(shè)置差分進(jìn)化算法參數(shù)，包括種群大小P、縮放因子F、交叉概率C以及最大進(jìn)化代數(shù)G。設(shè)置各未知參數(shù)的取值范圍。

步驟2：按隨機(jī)方式生成初始種群，對(duì)初始種群的每個(gè)個(gè)體，根據(jù)式(7)計(jì)算其對(duì)應(yīng)的線性參數(shù)θ1，使用式(4)計(jì)算該個(gè)體對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。令進(jìn)化代數(shù)g=0。

步驟3：令g=g+1。依次使用變異、交叉、選擇操作更新種群中每個(gè)個(gè)體。

步驟4：若g≤G，返回步驟3。否則輸出種群中最優(yōu)個(gè)體及其對(duì)應(yīng)的θ1，作為優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。

步驟5：對(duì)幅值計(jì)算結(jié)果小于零的頻率成分進(jìn)行幅值和初相角修正，得到定子電流模型參數(shù)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真中假設(shè)定子電流各參數(shù)的理論值：f=49.9 Hz，S=0.03，B1=8.00 A，B2=0.12 A，B3=0.10 A，φ1=1 rad，φ2=2 rad，φ3=5 rad；采樣頻率為1000 Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1001；差分進(jìn)化算法參數(shù)：P=100，F(xiàn)=0.5，C=0.9，G=200；根據(jù)定子電流各參數(shù)的特點(diǎn)，確定其取值范圍：f[47, 53] Hz，S[0.01, 0.06]，φ1、φ2、φ3[-π/2, π/2] rad。

不考慮測(cè)量噪聲的情況下，目標(biāo)函數(shù)J隨進(jìn)化代數(shù)g的變化過(guò)程見(jiàn)圖1。由圖1可知J快速趨向于零，算法結(jié)束時(shí)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的J=5.436510-14，各參數(shù)的估計(jì)值：f=49.9000 Hz，S=0.0300，φ1=1.0000 rad，φ2=2.0000 rad，φ3=-1.2832 rad，B1=8.0000 A，B2=0.1200 A，B3=0.1000 A。除φ3外，其余參數(shù)的估計(jì)值均與理論值相同，由于φ3的估計(jì)值與理論值之間相差2π，可以知道采用上述估計(jì)值作為定子電流模型參數(shù)，能夠正確表示無(wú)噪聲情況下的定子電流。

圖1 目標(biāo)函數(shù)變化曲線

作為對(duì)比，與不考慮定子電流模型參數(shù)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較。在使用差分進(jìn)化算法直接估計(jì)全部8個(gè)參數(shù)時(shí)，設(shè)B1[0, 10] A，B2、B3[0, 1] A，φ1、φ2、φ3[0, 2π] rad，其他參數(shù)的取值范圍以及差分進(jìn)化算法參數(shù)保持不變。

兩種思路下各自進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，參數(shù)估計(jì)值及J的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。由表1中數(shù)據(jù)可知，與直接使用差分進(jìn)化算法估計(jì)全部參數(shù)相比，使用差分進(jìn)化與最小二乘混合算法進(jìn)行定子電流建?？梢缘玫礁呔鹊慕?。

在e(nT)的標(biāo)準(zhǔn)差σ取0.05 A和0.10 A兩種噪聲水平下，使用差分進(jìn)化與最小二乘混合算法各進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，參數(shù)估計(jì)值和J的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可知，噪聲情況下，該算法仍然有很強(qiáng)的穩(wěn)定性，能夠?yàn)榕袆e斷條故障的發(fā)生情況和程度提供有效依據(jù)。

表2 不同噪聲水平下仿真實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

5 結(jié)論

(1) 使用差分進(jìn)化算法，從非線性優(yōu)化的角度進(jìn)行定子電流建模，需要估計(jì)工頻等8個(gè)參數(shù)。本文考慮到定子電流模型的結(jié)構(gòu)性，使用差分進(jìn)化算法估計(jì)定子電流模型中的5個(gè)非線性參數(shù)，其余3個(gè)線性參數(shù)則通過(guò)線性最小二乘算法得到。差分進(jìn)化算法屬于隨機(jī)優(yōu)化算法，而線性最小二乘是確定性算法。將差分進(jìn)化算法與線性最小二乘技術(shù)相結(jié)合進(jìn)行定子電流建模，它降低了差分進(jìn)化算法搜索空間的維數(shù)，同時(shí)還減少了差分進(jìn)化算法搜索過(guò)程中的盲目性。

(2) 不考慮測(cè)量噪聲的情況下，與直接使用差分進(jìn)化算法進(jìn)行定子電流建模相比，差分進(jìn)化與最小二乘混合算法得到了更高精度的解；存在測(cè)量噪聲的情況下，差分進(jìn)化與最小二乘混合算法也能夠得到高精度的解，并且性能穩(wěn)定，可以用于異步電機(jī)斷條故障診斷。