基于微分法串聯(lián)機器人的誤差敏感度分析

陳 華,劉新宇,趙學峰

(1.馬鞍山學院 人工智能學院,安徽 馬鞍山 243100;2.江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214000;3.中達電子(江蘇)有限公司,江蘇 蘇州 215000)

串聯(lián)機器人的性能衡量主要取決于重復性和精確性這兩個重要的評價標準.其中可重復性被定義為機器人能夠精確地移動到先前指定點的能力.精確度是由末端執(zhí)行器能夠移動到指令點的精度來表示的.但目前,大多數(shù)工業(yè)機器人通過應用在線編程方法執(zhí)行任務,工作精度和效率相對較低.

隨著離線編程技術引入到機器人行業(yè),離線編程技術的優(yōu)勢已經(jīng)逐步得到人們的認可.由于在離線編程模式下工作,提高了機器人工作效率,比教學模式更適合復雜的操作.而且一般離線編程技術應用現(xiàn)有CAD 數(shù)據(jù)及機器人理論結構參數(shù)所構建的機器人模型與實際模型之間存在誤差,因此位置精度變得至關重要[1].文獻[2]研究表明:工業(yè)機器人的重復性比位置精度好得多,且位置精度受機器人重復性的限制.在保證良好的可重復性前提下,可以應用標定技術來提高機器人的精度.由于一些影響因素(如振動、制造和裝配誤差)的存在使得機器人運動學參數(shù)存在誤差.目前大多研究只關注末端位姿誤差的分析,先分析單個類型運動學變量對末端的影響,再把所有類型運動學變量對末端位姿的影響進行線性疊加.但在研究影響串聯(lián)機器人手腕位姿的誤差中,發(fā)現(xiàn)其主要誤差還包括非標機械零部件的加工精度誤差、各部分裝配間隙誤差和標準件的精度誤差,以及溫度變化、動負載等作用使得機器人桿件產(chǎn)生的柔性變形.此外,傳動誤差和控制系統(tǒng)誤差(控制算法本身的缺陷)也使得誤差分析模型顯得非常復雜和缺少規(guī)律可循[3].顯然這類分析方法忽視了運動學幾何參數(shù)的綜合作用對末端執(zhí)行器位姿的影響.這些機器人運動學參數(shù)的誤差很小,但也會給機器人末端執(zhí)行器造成很大的偏差，因此機器人誤差敏感度分析顯得格外重要.

為了提高串聯(lián)機器人的絕對定位精度,筆者提出一種基于微分法和矩陣法對串聯(lián)機器人進行誤差源分析的方法.先分析單個連桿姿態(tài)矩陣的微小誤差,再采用積分法分析N個連桿末端的位姿誤差,采用微分法和修正Denavit-Hartenberg(MDH)運動學模型(增加了第5個參數(shù)的Denavit-Hartenber(DH)方法),將其先繞x軸旋轉,再繞z軸旋轉,對末端位姿誤差的敏感度進行分析.

1 機械手的函數(shù)誤差模型的構建

為簡化幾何誤差的模型,目前研究都是將其誤差主要來源歸結于結構參數(shù)誤差和運動變量誤差[4-5].假設機械手的位姿誤差與各連桿的結構參數(shù)誤差和運動變量誤差存在線性關系,即可采用傳遞矩陣法構建機械手的函數(shù)誤差模型.

由MDH法可知相鄰坐標系齊次變換矩陣為

transzi-1(di)rotzi-1(θi)transxi(ai)rotxi(αi)rotyi(βi)，

(1)

式中：cθi=cosθi;cβi=cosβi;sθi=sinθi;sαi=sinαi;sβi=sinβi;cαi=cosαi.

由式(1)可知:關節(jié)坐標系從i-1變換到i,完全由連桿的4個參數(shù),即關節(jié)轉角θi、關節(jié)扭角αi、連桿偏距di和連桿長度ai所決定.依據(jù)MDH模型,創(chuàng)建選擇順應性裝配機器手臂(SCARA)連桿的坐標系示意圖[6].圖1為各連桿的坐標系示意圖.

圖1 連桿坐標系示意圖

假設SCARA機械手末端法蘭坐標系原點與標定桿件坐標系的原點重合,且末端法蘭坐標系和標定桿件坐標系的各坐標軸平行,可得到2個坐標系之間的齊次變換矩陣:

(2)

式中:tx,ty和tz為標定桿坐標系相對于末端法蘭坐標系的變化值.

機械手末端標定桿的測量點位姿相對于基坐標系中的位姿模型為

(3)

2 單個連桿誤差分析

由方程(1)可知,4個關節(jié)變量分別為θi,αi,di和ai.關節(jié)分為旋轉關節(jié)和平移關節(jié).對于旋轉關節(jié),θi為關節(jié)變量,其他參數(shù)值為已知變量.對于平移關節(jié),di為關節(jié)變量,其他參數(shù)值為已知變量.如果連桿參數(shù)存在微小誤差,就會產(chǎn)生關節(jié)變量誤差dAi.因此兩個坐標系的精確位置變化為Ai+dAi,其中dAi與連桿參數(shù)的線性關系表示為

(4)

式中:Δθi為旋轉關節(jié)轉角誤差;Δdi為平移關節(jié)位移誤差.

3 N自由度串聯(lián)機器人的誤差分析

以SCARA串聯(lián)機器人為研究對象,其末端執(zhí)行器的位姿誤差主要來源于3個部分:① 機器人連桿參數(shù)誤差造成末端法蘭位姿誤差,其連桿參數(shù)誤差主要包括θi,αi,di和ai的誤差;② 由于平行關節(jié)的齊次變換,引入關節(jié)角度βi的微小變化,導致機器人末端執(zhí)行器位姿誤差;③ 機器人末端法蘭所連接的工具由于存在加工誤差,所以也需要誤差分析[7].

首先建立N個自由度串聯(lián)機器人末端位姿誤差分析數(shù)學模型.根據(jù)前面單個連桿的誤差分析,可以得到N個自由度串聯(lián)機器人末端位姿誤差相對于基坐標系的位姿誤差模型.設末端法蘭坐標系對于基坐標系的變換矩陣為TN,其誤差矩陣為dTN,得到線性方程:

TN+dTN=(A1+dA1)(A2+dA2)…(AN+dAN)=

(5)

(6)

為了將式(6)描述得更為簡單,將機器人末端坐標系到第i個機器人關節(jié)坐標系的變換矩陣定義如下:

ui=AiAi+1…AN.

(7)

dTN=TNδTN,

(8)

(9)

因此N個自由度關節(jié)末端執(zhí)行器的誤差矩陣可以描述為

(10)

第i個機器人關節(jié)坐標系的連桿誤差矩陣可以描述如下：

(11)

定義如下表達式:

(12)

(13)

(14)

式(14)表明:各關節(jié)DH參數(shù)誤差引起的末端位姿誤差的線性疊加是造成機器人末端位姿誤差的根源.因此有

(15)

(16)

把式(15)和式(16)代入式(14)中,可得到下列表達式:

為有序推進工程建設施工進度，在保障工程質量的前提下，要努力做到：一是及時檢查施工方案的執(zhí)行情況，督促施工隊落實方案的進度，檢查原材料和半成品的進場情況并及時糾正不切實際的施工方法。二是做好原材料的采購和進場準備，為施工隊制定施工計劃提供保障。三是做好施工協(xié)調工作，如對影響施工的停水停電，要積極主動排除故障，避免停工損失等。

(17)

(18)

(19)

由于機械手末端相對于其基坐標系微分運動可以分解為機械手末端相對于其基坐標系的微分平移和微分旋轉,所以式(17)-(19)又可寫成

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

依據(jù)坐標系的微分運動及矩陣理論等知識,可以推導出關于N自由度串聯(lián)機器人末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿誤差公式,將上述的理論成果應用于串聯(lián)機器人的位姿誤差分析.

為此,HAYATI等專家學者提出了MDH模型,同時還提出圍繞y軸旋轉的參數(shù)影響,由于考慮參數(shù)影響的復雜性,通過具體問題具體分析,就可得到機器人末端執(zhí)行器的位置誤差模型和姿態(tài)誤差模型[8].

位置誤差模型見公式(26)-(28).姿態(tài)誤差模型見公式(29)-(31).

dx=-Δθ1{cα1[a2cθ2s(θ4-θ2)+

a2sθ2c(θ2-θ4)]+a1cα1s(θ4-θ2)+

d3sα1c(θ2-θ4)}-Δθ2(a2cα2sθ4+

d3sα2cθ4)+cθ4Δa2+cθ4Δa3+Δa4-

d3s(θ4-θ2)Δα1-d3sθ4Δα2-d3sθ4Δα3-

sα1s(θ4-θ2)Δd1-sα2sθ4Δd2+sα3sθ4Δd3，

(26)

dy=Δθ4a4cα4+Δθ3(a3cα3cθ4-d3sα3sθ4)-

Δθ2(a2cα2cθ4-d3sα2sθ4)-Δθ1{cα1[a2cθ2×

c(θ2-θ4)-a2sθ2s(θ4-θ2)]+a1cα1c(θ2-θ4)-

d3sα1s(θ4-θ2)}-s(θ4-θ2)Δa1-sθ4Δa2-

sθ4Δa3-d3c(θ2-θ4)Δα1-d3cθ4Δα2-

d3cθ4Δα3-sα1c(θ2-θ4)Δd1-

sα2cθ4Δd2+cθ4sα3Δd3+sα4Δd4，

(27)

dz=Δθ1(a1sα1+a2sα1cθ2)+Δθ2a2sα2-Δθ4a4sα4-

a2sθ2Δα1-cα1Δd1-cα2Δd2+cα3Δd3+cα4Δd4.

(28)

δx=Δθ1sα1s(θ2-θ4)-Δθ2sα2sθ4+c(θ2-θ4)Δα1+

cθ4Δα2+cθ4Δα3+Δα4，

(29)

δy=-Δθ1sα1c(θ2-θ4)-Δθ2sα2cθ4+Δθ4sα4+s(θ2-

θ4)Δα1-sθ4Δα2+cθ4Δα3,

(30)

δz=-Δθ1cα1-Δθ2cα2+Δθ4cα4.

(31)

式中：s(θi-θj)=sin(θi-θj);c(θi-θj)=cos(θi-θj).

4 MDH模型的運動學參數(shù)誤差分析

DH運動學模型為使用一個4×4的齊次變換矩陣描述相鄰關節(jié)坐標系的空間關系,推導出末端執(zhí)行器相對于參考系的等價齊次變換矩陣.根據(jù)DH模型，機器人末端位姿方程函數(shù)包含ai,di,αi和θi等4個參數(shù),它們都存在實際偏差.假設存在誤差Δai,Δdi,Δαi和Δθi,參數(shù)可以修正為

(32)

將上式帶入DH模型的運動學方程,便可求出其對應的MDH模型.由單一變量控制法可知,設置某個關節(jié)的一個參數(shù)誤差,其他未知參變量值為0,依次改變關節(jié)變量值,即可得到相應關節(jié)的誤差分布曲線.

4.1 關節(jié)轉角零位偏差的敏感性分析

影響末端位姿精度的重要因素之一是關節(jié)轉角零位偏差.以q=[π/3 π/4 3π/4 π/2]為基本位姿,分析關節(jié)轉角零位誤差對于末端位姿敏感性的影響.

圖2 關節(jié)轉角誤差與末端位姿誤差的關系曲線

由圖2可知:關節(jié)轉角變化所產(chǎn)生的誤差對末端位姿的影響程度由大到小分別為Δθ4，Δθ2，Δθ3和Δθ1;Δθ4對末端位姿精度的影響最為顯著,Δθ1對末端位姿精度的影響較小.因此,在機器人的工業(yè)生產(chǎn)中,需要合理規(guī)劃機器人的路徑,應當避開對末端位姿精度影響程度較大的奇異點.當所有轉動關節(jié)的轉角零位均存在0.01°誤差,以及第3移動關節(jié)存在0.01 mm的末端位姿誤差時,取各關節(jié)轉角零位誤差對末端位姿影響誤差的平均值,可以得出關節(jié)1,2,3和4轉角零位誤差對應的平均值分別為0.721 9,0.645 6,0.500 2和0.427 1 mm.

可見，關節(jié)轉角零位誤差對于機器人末端位姿的影響程度由大至小分別為Δθ1,Δθ2,Δθ3和Δθ4.在機器人末端位姿的連桿傳遞過程中,一個較小的關節(jié)轉角誤差將導致末端位姿產(chǎn)生一個較大的誤差[9].由此還可以看出產(chǎn)生轉角誤差的關節(jié)離機器人基座的距離越靠近,對機器人末端位姿的影響也會越大,而且4個關節(jié)轉角零位誤差對機器人末端位姿的影響各不相同,其中對末端位姿影響最大的第1個關節(jié)轉角誤差約為第4個關節(jié)的1.69倍.

4.2 關節(jié)扭角零位偏差的敏感性分析

首先取q=[π/3 π/4 3π/4 π/2]為初始基本位姿,同時假設存在關節(jié)扭角誤差Δαi=0.01°,其他的結構參數(shù)沒有誤差,從而分析關節(jié)扭角零位誤差對末端位姿敏感性的影響情況,得到關節(jié)扭角誤差對機器人末端位姿影響的分布曲線，如圖3所示.

圖3 關節(jié)扭角誤差與末端位姿誤差的關系曲線

當機器人所有轉動關節(jié)的扭角零位存在0.01°誤差,以及第3移動關節(jié)存在0.01 mm末端位姿誤差時,取各關節(jié)扭角零位誤差對末端位姿誤差的平均值,可以得出關節(jié)1,2,3和4的扭角零位誤差對應的平均值分別為0.039 3,0.018 3,0.012 7和0 mm.

可見,關節(jié)扭角零位誤差對于機器人末端位姿的影響程度由大至小分別為Δα1,Δα2,Δα3和Δα4.在機器人末端位姿的連桿傳遞中,一個較小的關節(jié)扭角誤差也會導致末端位姿產(chǎn)生一個較大的誤差,同時發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生扭角誤差的關節(jié)位置離機器人基座的距離越近,對末端位姿的影響越大.且4個關節(jié)扭角零位誤差對末端位姿的影響也各不相同,其中對末端位姿影響最大的Δα1約為Δα3的3.09倍.

4.3 連桿的長度誤差和偏移誤差敏感性分析

由于機器人的零件加工制造、裝配和軸承軸向定位等影響,會產(chǎn)生連桿的長度誤差和偏移誤差[10].假設分別存在連桿長度誤差和偏移誤差均為0.1 mm,其仿真方法與前述相同,得到連桿的長度誤差和偏移誤差對機器人末端位姿影響的分布曲線，如圖4所示，其中φ為關節(jié)空間運動角度.

圖4 長度誤差和偏移誤差對末端位姿影響分布曲線

由圖4可知:連桿長度誤差和偏移誤差對末端位姿都產(chǎn)生了0.1 mm的誤差,但是該誤差值在串聯(lián)機器人移動中基本上不影響機器人位姿,其等效傳遞不存在放大和縮小誤差,且機器人的4個關節(jié)角度的變化均不改變末端位姿誤差值.

5 結 論

1) 根據(jù)誤差的仿真分析結果可知:關節(jié)角度誤差分析中,關節(jié)轉角誤差產(chǎn)生的影響較關節(jié)扭角誤差產(chǎn)生的影響更大;在連桿的誤差敏感性分析中,連桿長度誤差較連桿的偏移誤差產(chǎn)生的影響更大.

2) 由串聯(lián)機器人末端位姿誤差分析可知:關節(jié)角度誤差比連桿長度誤差產(chǎn)生的影響更大;角度類參數(shù)產(chǎn)生誤差的關節(jié)位置與串聯(lián)機器人基座間距離越近,對末端位姿的影響也越大,具有明顯的放大誤差功效;長度類參數(shù)對串聯(lián)機器人末端位姿的影響僅有等效作用,不具任何放大和縮小誤差作用.