全景式數(shù)學(xué)教育對(duì)“遷移”的全景解讀

張宏偉

[摘要]對(duì)“遷移”這個(gè)概念追根溯源、旁征博引，綜合、創(chuàng)新性地提出應(yīng)該從9個(gè)維度去理解、厘清“遷移”這個(gè)概念——數(shù)學(xué)中的遷移，并不僅僅是學(xué)習(xí)者將“先驗(yàn)因素”移動(dòng)到新情境中（或另一種情境），更重要的是“移植”。同時(shí)，提出了“自體遷移、異體遷移、逆向正遷移、順向正遷移”等概念，并總結(jié)出了“‘全景式數(shù)學(xué)教育使用‘遷移功能進(jìn)行有效教學(xué)的基本流程”，分享了“負(fù)遷移的破解——‘垂線教學(xué)案例片段”“跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的順向正遷移案例”“逆向正遷移案例”三個(gè)非常經(jīng)典的全景式數(shù)學(xué)教育“遷移”教學(xué)實(shí)錄。

[關(guān)鍵詞]遷移;全景式數(shù)學(xué)教育;全景解讀;移植;全景式數(shù)學(xué)案例

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）17-0014-04

全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)精選了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的幾十個(gè)核心概念，對(duì)其構(gòu)成邏輯、具體內(nèi)涵及其發(fā)展，以及如何更有效地用其教學(xué)等方面進(jìn)行了全面、深入、立體的解讀，并選摘了其中20個(gè)匯編成《小學(xué)數(shù)學(xué)20個(gè)核心概念的全景解讀》一書。下面，就分5個(gè)模塊展開對(duì)“遷移”這個(gè)概念的全景式解讀。

一、概念構(gòu)成邏輯的分析與追溯

綜上，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)中“遷移”中的“移”是移植，即指將已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法、身體五覺、情感態(tài)度等不僅轉(zhuǎn)移至新的問題情境中，而且在新的情境中生根、發(fā)芽、繁殖、復(fù)活、應(yīng)用。

3.“遷移”概念的整體解讀

（1）“遷移”在漢典中的解釋

①離開原來的所在地而另?yè)Q地點(diǎn)。

②由于自然力的作用從一地移向另一地。

（2）“遷移”在辭海中的解釋

①搬移;從一處搬到另一處。

②變遷，變化。

③指時(shí)間的流逝。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)、心理學(xué)與教育學(xué)專著等對(duì)“遷移”的界定和論述

《當(dāng)代教育心理學(xué)》指出，遷移是指“在一種情境中的技能、知識(shí)和理解的獲得或態(tài)度的形成對(duì)另一種情境中的技能、知識(shí)和理解的獲得或態(tài)度的形成的影響”。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“遷移”》指出，遷移教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生運(yùn)用舊知識(shí)探索新知識(shí)，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，不斷重組自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而馬春圣在《遷移規(guī)律及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用》中強(qiáng)調(diào)，遷移的實(shí)質(zhì)就是學(xué)習(xí)者運(yùn)用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀念對(duì)新課題進(jìn)行對(duì)比、分析、概括的過程，即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新課題的“同化、順應(yīng)的過程”。

《什么是學(xué)習(xí)的遷移》指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，總是按照自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來掌握新知識(shí)、新技能的。這些已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)、新技能發(fā)生一定的影響，這種現(xiàn)象，在心理學(xué)上叫作學(xué)習(xí)的遷移（包括知識(shí)的遷移和技能的遷移）。已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)新知識(shí)、新技能的學(xué)習(xí)起積極的促進(jìn)作用，這是正遷移;相反，起消極的妨礙作用，就是負(fù)遷移。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒有給出遷移的詳細(xì)闡述，但培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的遷移能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)承載的任務(wù)之一。

三、全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概念“遷移”的理解

結(jié)合上述的追溯，參照心理學(xué)、教育學(xué)、課程標(biāo)準(zhǔn)和名家的研究，加之我30多年的教學(xué)實(shí)踐與感悟，竊認(rèn)為數(shù)學(xué)中的“遷移”應(yīng)該從以下9個(gè)維度去理解、厘清和應(yīng)用。

1.數(shù)學(xué)中的遷移，不僅僅指知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)和方法等智力因素的遷移，還包括身體五覺、情感態(tài)度等非智力因素。這一點(diǎn)和類推截然不同，類推更偏向理性，而遷移則感性與理性并重，比如愛屋及烏不是類推，而是情感的遷移。（注：文中把學(xué)習(xí)者以前在學(xué)習(xí)中獲得這些可遷移的因素統(tǒng)稱為“先驗(yàn)因素”。）

2.數(shù)學(xué)中的遷移，并不僅僅是學(xué)習(xí)者將過往學(xué)習(xí)中的上述“先驗(yàn)因素”移動(dòng)到新情境（或另一種情境）中，更重要的是“移植”，即這些“先驗(yàn)因素”在新情境（或另一種情境）中能生根、發(fā)芽、生長(zhǎng)、繁殖，并發(fā)揮作用，使得新問題因?yàn)檫@些“先驗(yàn)因素”的應(yīng)用而得到有效解決或形成新障礙，即前面的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。我們認(rèn)為這種影響幾乎無所不在，一切新的有意義的學(xué)習(xí)都是在原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，不受學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響的學(xué)習(xí)是不存在的。

3.遷移的發(fā)生起于當(dāng)下問題情境的誘發(fā)。學(xué)習(xí)者通過對(duì)當(dāng)下問題的覺察（包括判斷、分析、表征等等），喚醒身心中與之相關(guān)、類似的“先驗(yàn)因素”，產(chǎn)生共情、類比（類化）、移植、類推的沖動(dòng)，并付諸行動(dòng)。

4.就遷移前后的情境對(duì)比而言，數(shù)學(xué)中的遷移最起碼應(yīng)包含兩個(gè)基本類型：一是學(xué)習(xí)者在簡(jiǎn)單環(huán)境中習(xí)得的“先驗(yàn)因素”遷移到復(fù)雜的環(huán)境中，它仍然能復(fù)活、開花、結(jié)果，實(shí)現(xiàn)新成長(zhǎng)。二是在認(rèn)知的低階段習(xí)得的上述因素遷移到高階段。

5.就遷移前后的領(lǐng)域?qū)Ρ榷?，遷移可以是同領(lǐng)域的進(jìn)階性或退階性遷移，也可以是從一個(gè)領(lǐng)域到另一個(gè)領(lǐng)域的遷移。

6.從遷移的對(duì)象來說，包括自體遷移和異體遷移。自體遷移是學(xué)習(xí)者自己學(xué)習(xí)的“先驗(yàn)因素”對(duì)當(dāng)下或后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。異體遷移是他人的“先驗(yàn)因素”被自己覺察到，繼而對(duì)自己當(dāng)下或后續(xù)的影響。在課堂學(xué)習(xí)中，包括同學(xué)的“先驗(yàn)因素”對(duì)自己當(dāng)下和后續(xù)學(xué)習(xí)的影響，以及教師的“先驗(yàn)因素”的影響。

7.從遷移對(duì)新（另一種）情境所起的作用來看，分為正遷移和負(fù)遷移。我們又把正遷移細(xì)分為逆向正遷移和順向正遷移。關(guān)于正遷移，我們通常注意到的是順向正遷移，而往往會(huì)忽視或者不能夠充分地利用逆向正遷移。

8.關(guān)于順向正遷移，大部分教師都是研究數(shù)學(xué)內(nèi)部的遷移，而全景式數(shù)學(xué)教育不僅考慮到數(shù)學(xué)內(nèi)部的遷移，還考慮到跨學(xué)科的遷移。

9.教師備課時(shí)，要充分調(diào)查、了解、分析每個(gè)學(xué)生的“先驗(yàn)因素”，并做出教學(xué)應(yīng)對(duì)：比如，對(duì)于缺失“先驗(yàn)因素”的可能要設(shè)計(jì)相應(yīng)的生活實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)充，對(duì)于可能產(chǎn)生負(fù)遷移的思考如何引導(dǎo)學(xué)生突破，對(duì)于不充分的如何進(jìn)行豐盈，等等。

四、“全景式數(shù)學(xué)教育”使用“遷移”功能進(jìn)行有效教學(xué)的基本流程

第1步入境——教師或者學(xué)生共同營(yíng)造新的問題情境。

第2步覺察——學(xué)生通過對(duì)當(dāng)下問題情境進(jìn)行感覺、判斷、分析、理解和表征。

第3步喚醒——學(xué)生喚醒身心中與新的問題情境相關(guān)、類似的“先驗(yàn)因素”，產(chǎn)生共情、類比（類化）、移植、類推和嘗試解決新問題的沖動(dòng)。

第4步移植——學(xué)生嘗試把一些“先驗(yàn)因素”單獨(dú)或者綜合與新情境進(jìn)行匹配，同時(shí)嘗試用這些“先驗(yàn)因素”并結(jié)合當(dāng)下的新的解決條件對(duì)新問題進(jìn)行同化。如果解決成功，則為正遷移，并強(qiáng)化遷移意識(shí);如果造成障礙，則為負(fù)遷移，負(fù)遷移發(fā)生后，學(xué)生嘗試置換、調(diào)整、重新組合“先驗(yàn)因素”，再次嘗試，如此反復(fù)，抑或另辟全新的蹊徑，抑或順應(yīng)。

第5步應(yīng)用和鞏固。

第6步升華——學(xué)生回顧問題解決歷程，并對(duì)自己的心路進(jìn)行再次覺察，強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)或形成新的“先驗(yàn)”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定更高階或者新的遷移基礎(chǔ)。

五、全景式數(shù)學(xué)教育中的“遷移”教學(xué)典型案例

任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都會(huì)受前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的影響，有的是正向的、有的是負(fù)向的，教師要避免負(fù)遷移帶來的影響，充分發(fā)揮正遷移的助長(zhǎng)功能，從而促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。

[案例1]負(fù)遷移的破解一“垂線”教學(xué)片段

過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段時(shí)，大致可分為如下三種情況：

對(duì)于圖1-1，所有學(xué)生都能順利完成，而對(duì)于圖1-2、圖1-3，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：

出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因是學(xué)生生活中的垂直和垂線經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移。生活中常見的房屋、門窗上的垂直、使用鉛錘確定是否垂直的現(xiàn)象，以及測(cè)量各種物體高度（一般是垂直于地面）等的生活經(jīng)歷對(duì)學(xué)生造成的影響，使得學(xué)生缺少“斜的垂直”的實(shí)際生活體驗(yàn)，形成“垂直、垂線”是直上直下的思維定式，遷移到數(shù)學(xué)上，就會(huì)對(duì)圖1-2、圖1-3兩個(gè)圖形的作圖理解出現(xiàn)障礙。

為了突破負(fù)遷移帶來的影響，幫助學(xué)生積累與圖1-2、圖卜3作圖相應(yīng)的實(shí)際生活體驗(yàn)，建立正向的遷移，我們把學(xué)生帶到操場(chǎng)上玩起了立定跳遠(yuǎn)游戲。

像這樣畫了三條不同方向的起跳線后，學(xué)生站在起跳線上并不都是面向一個(gè)方向的，而是對(duì)著自己的正前方，其實(shí)這也就是找到了已知直線的垂直方向。學(xué)生跳完之后，組員用皮尺測(cè)量每個(gè)人跳遠(yuǎn)的長(zhǎng)度，測(cè)量的過程就是找到了直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，其長(zhǎng)度就是點(diǎn)到已知直線的距離?；顒?dòng)結(jié)束后，學(xué)生回到課堂上畫垂線段時(shí)，圖1-2、圖卜3的作圖問題便迎刃而解。這個(gè)課例提醒我們，很多負(fù)遷移的影響是學(xué)生儲(chǔ)備的經(jīng)驗(yàn)單一、不完整造成的，我們?cè)诮虒W(xué)中一定要注重對(duì)學(xué)生的“先驗(yàn)因素”進(jìn)行補(bǔ)充、矯正和豐富，以期破除負(fù)遷移、建立或強(qiáng)化正遷移，實(shí)現(xiàn)高效的教與學(xué)。

[案例2]跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的順向正遷移案例

學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)這個(gè)主題單元時(shí)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于將問題“甲比乙多百分之幾”轉(zhuǎn)化成“乙比甲少百分之幾”理解非常困難。比如：男生人數(shù)比女生多1/2，那么女生人數(shù)比男生少幾分之幾？由于受低年級(jí)學(xué)習(xí)過的“甲比乙多2個(gè)，就是乙比甲少2個(gè)”數(shù)的大小比較的經(jīng)驗(yàn)影響（負(fù)遷移），一開始，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)誤認(rèn)為“男生人數(shù)比女生多1/2，就是女生人數(shù)比男生少1/2”。為了解決這個(gè)問題，我們就與語文教師協(xié)作，給學(xué)生補(bǔ)上了語文領(lǐng)域的順向正遷移的“先驗(yàn)因素”——語文的語法——“承前省”。

1.語文教師教學(xué)“承前省”

例1：船里裝載的是新米，把船身壓得很低。（葉圣陶《多收了三五斗》）

師：什么把船壓得很低？

生：新米把船壓得很低。

師：“新米”一詞沒寫出來，你是怎么知道的？

生：我是聯(lián)系前一句話知道的。

師：這個(gè)例子中省略“新米”一詞會(huì)使語言更加簡(jiǎn)練，這在語文上叫省略主語，也就是承接前文省略主語，簡(jiǎn)稱“承前省”。

例2：四大娘的臉色立刻變了，一句話也沒說，提了水桶就回家去。（茅盾《春蠶》）

師：誰一句話也沒說就回家了？誰提了水桶就回家了？

生：四大娘。

師：句中后面幾個(gè)分句的主語因?yàn)槌薪忧耙环志涞亩ㄕZ“四大娘”而省略。

例3：家破人亡之感立時(shí)襲進(jìn)他的心，禁不住滲出兩滴眼淚來，望出去，電燈人形都有點(diǎn)模糊了。（葉圣陶《潘先生在難中》）

師：這個(gè)例子中后面幾個(gè)分句的主語承接前一分句賓語的定語“他”而省略。

2.數(shù)學(xué)教師教學(xué)過程

（1）師生一起在語文學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上弄清楚數(shù)學(xué)中的“承前省”

數(shù)學(xué)其實(shí)也是有“承前省”的。比如“男生比女生多的人數(shù)占女生人數(shù)的幾分之幾”省略為“男生比女生多幾分之幾”，“女生比男生少的人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾”省略為“女生比男生少幾分之幾”。

（2）“承前省”還原式解決問題

①男生有6人，女生有4人，男生比女生多幾分之幾？

第一步，將“男生比女生多幾分之幾”還原為“男生比女生多的人數(shù)占女生人數(shù)的幾分之幾”。

第二步，男生比女生多的人數(shù)是2人，女生是4人，男生比女生多的人數(shù)占女生人數(shù)的幾分之幾就是求2人占4人的幾分之幾。

第三步，列式（6-4）÷4=1/2。

②男生有6人，女生有4人，女生比男生少幾分之幾？

將“女生比男生少幾分之幾”還原為“女生比男生少的人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾”，即2人占6人的幾分之幾→1/3。

（3）比較感悟

在①②中，學(xué)生悟出：雖然男女生人數(shù)都是相差2人，但①是拿2人和女生人數(shù)比，②是拿2人和男生人數(shù)比。引導(dǎo)學(xué)生將其和低年級(jí)學(xué)過的“男生有6人，女生有4人，男生比女生多幾人？男生有6人，女生有4人，女生比男生少幾人？”進(jìn)行比較，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)：男生比女生多2人就是女生比男生少2人，具體的數(shù)量是可以顛倒敘說的。但是，這2人和男生比占1/3，這2人和女生比占1/2，是不能顛倒的。至此，學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握“甲比乙多（少）幾分之幾”的本質(zhì)含義。

（4）跟進(jìn)練習(xí)

練習(xí)1：松樹有8棵，柳樹有10棵。

①松樹比柳樹少（）棵。

②柳樹比松樹多（）棵。

③松樹比柳樹少幾分之幾？還原為（），就是求（）棵是（）棵的幾分之幾，列式__。

④柳樹比松樹多幾分之幾？還原為（），就是求（）棵是（）棵的幾分之幾，列式__。

⑤先把①②和③④比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“量”可以反著說，“率”不能反著說。

練習(xí)2：奶糖比水果糖多2/3千克，能不能說水果糖比奶糖少2/3千克？（能）奶糖比水果糖多2/3，能不能說水果糖比奶糖少2/3 7（不能）

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過將知識(shí)跨學(xué)科順向正遷移，能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)困難，促進(jìn)學(xué)生更好地理解新知。

[案例3]逆向正遷移案例

逆向正遷移是指后面的學(xué)習(xí)影響前面的學(xué)習(xí)。如發(fā)展心理學(xué)和教育心理學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)先前普通心理學(xué)的理解產(chǎn)生影響，這就是逆向正遷移。逆向正遷移可以使原有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)得到充實(shí)、修正、重組或者重構(gòu)等。順向正遷移和逆向正遷移既有區(qū)別，又相互聯(lián)系。我們往往更多地重視和應(yīng)用順向正遷移，而忽視逆向正遷移，顯然這是不夠全面的。事實(shí)上，逆向正遷移在學(xué)習(xí)中也起著很重要的作用。后面學(xué)習(xí)到的知識(shí)、思想、方法、情感、態(tài)度等，倒過來也可以遷移到以前學(xué)過的內(nèi)容和情境中，這種逆向正遷移，會(huì)讓學(xué)生打通知識(shí)間的連接，對(duì)以前學(xué)過的相應(yīng)內(nèi)容產(chǎn)生豁然開朗的之感，學(xué)生也能理解得更深入、更透徹，躍至更高階的數(shù)學(xué)思維階段。

如57+98=57+100-2，對(duì)于二、三年級(jí)學(xué)生的教學(xué)是基于生活的實(shí)際情景，通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)操幫助學(xué)生理解兩種不同的簡(jiǎn)便算法：

小明收集家里廢品到小區(qū)收購(gòu)站售賣，一月份收入57元（5張10元+7張1元），二月份收入98元（9張10元+8張1元），怎么能很快算出小明兩個(gè)月一共收入了多少元？

第一種想法：從57元中拿2元（一2）放入98元中湊成100，即57+98=57 2+100。

第二種想法：假設(shè)小明2月份兜里裝著1月份的57元去賣廢品應(yīng)得98元，結(jié)果收購(gòu)員沒有零錢，直接給了小明100（+100），小明應(yīng)該返還收購(gòu)員2元（-2）即57+98=57+100-2。

此時(shí)，學(xué)生能看出兩種簡(jiǎn)便算法都有+100、都有一2，但幾乎所有的學(xué)生都認(rèn)為這兩種算法絕對(duì)不是一回事。到了高年級(jí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)、等量代換、運(yùn)算律以及負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)后，就會(huì)意識(shí)到57+98=57 2+100和57+98=57+100-2本質(zhì)上是一回事。

又如，學(xué)生在四年級(jí)學(xué)習(xí)乘法分配律后，再回過頭來看二年級(jí)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算（23x4→先算20x4=80→再算3x4=12→最后用80+12=92），就能發(fā)現(xiàn)其原來就是在使用乘法分配律：23x4=（20+3）x4=20x4+3x4=80+12=92。其理、其情逆向遷移到二年級(jí)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算和乘法分配律的算理都有了更為深刻的理解，而且對(duì)口算和分配律的學(xué)習(xí)情感也得到豐盈和升華，更重要的是，讓學(xué)生打通和發(fā)現(xiàn)了二年級(jí)和四年級(jí)知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生有一種通透、驚喜和豁然開朗之感。

最后，需要強(qiáng)調(diào)和說明的是，順向遷移與逆向遷移是高度相關(guān)、密切聯(lián)系、相互影響、相互轉(zhuǎn)化的。

（責(zé)編金鈴）