導(dǎo)數(shù)在實際生活中的運用

王麗湞

摘 要：數(shù)學(xué)知識來源于生活更要利用于生活，在生活的生產(chǎn)和科研中，我們難免會遇到項要求的最大利益的情況，最大限度的節(jié)省成本的情況，最生產(chǎn)效率求得最高的情況，因此數(shù)學(xué)的應(yīng)用就顯得十分重要。數(shù)學(xué)知識微積分中，導(dǎo)數(shù)是一個十分重要的應(yīng)用領(lǐng)域，運用導(dǎo)數(shù)可以便利的解決生活中的很多問題，在生活中的許多領(lǐng)域都運用的十分廣泛。

關(guān)鍵詞：微積分;導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

1.微積分中導(dǎo)數(shù)的概念和分析

數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)知識的學(xué)習(xí)在我國教育的高中和大學(xué)時期，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也算是相對比較有難度的知識，導(dǎo)數(shù)作為微積分理論中具有重要地位的基礎(chǔ)性理念，也是函數(shù)理論的局部內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)可以看作為求極限，自變量越接近0，因變量與自變量各自的增量商的極限。數(shù)學(xué)界把這樣的存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù)成為函數(shù)可微分或可導(dǎo)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。也指函數(shù)中因變量和自變量之間的關(guān)系，如果自變量的增加變化量無限接近于零時，因變量和自變量的增量商就是導(dǎo)數(shù)。微積分中的導(dǎo)數(shù)知識屬于高等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)也充當(dāng)這一個十分基礎(chǔ)和重要的角色，早在很久之前，微積分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用就已經(jīng)開始展露了頭角。17世紀(jì)，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與大陸擴張，人類社會的生產(chǎn)力不斷提高，數(shù)學(xué)科學(xué)也得到了長足的發(fā)展。以牛頓為代表的一批數(shù)學(xué)家開始從各種角度進行微積分研究。尤其是牛頓所創(chuàng)造的理論被命名為：流數(shù)學(xué)，牛頓把變量成為流量，把變量的變化率成為流數(shù)，也就是我們口中的導(dǎo)數(shù)?！哆\用無窮多項方程的計算法》、《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》以及《求曲變形面積》就是牛頓有關(guān)于其學(xué)說的主要作品。流數(shù)理論的實質(zhì)概括為：他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程，流數(shù)理論的實質(zhì)概括為：他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成;最在于決定這個比當(dāng)變化趨于零時的極限。

1629年左右，來自法國的數(shù)學(xué)家費馬通過研究曲線切線作法與函數(shù)極值求法，在差不多八年之后，即1637年前后，他寫出了《求最大值與最小值的方法》。進行切線繪制時，造了差分f（A+E）-f（A），并且他從中發(fā)現(xiàn)了E因子，即導(dǎo)數(shù)f'（A）。在1823年左右，數(shù)學(xué)家柯西在其著作當(dāng)中又將導(dǎo)數(shù)定義為：若函數(shù)y=f（x）在以x為變量的式子中在兩個既定界限之間保持連接，而且人們?yōu)檫@一變量指定一個介于這兩個不同界限區(qū)間的數(shù)值。那么是使變量得到一個無窮小增量。上個世紀(jì)六十年代后，數(shù)學(xué)家威爾斯特成為了ε-δ語言的創(chuàng)造者，在這一數(shù)學(xué)語言當(dāng)中其對微積分中所出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達。在微積分的理論體系當(dāng)中，主要可以分為兩個層面：1實無限理論，這種理論將“無限”這一個概念看作成一種現(xiàn)實存在的東西，是寫得出，表達的清楚的客觀實際;2潛無限理論，這是把這一理論看做成思想層面的理論理念。在數(shù)年的發(fā)展歷程中，微積分也得到了長足的發(fā)展，其理論應(yīng)用于實際也愈發(fā)成熟，其應(yīng)用范圍也愈發(fā)廣泛。人們也開始越來越普遍的利用導(dǎo)數(shù)來達到自己的目的需求。導(dǎo)數(shù)知識的完善和應(yīng)用的成熟，已經(jīng)可以運用在生活中的各個領(lǐng)域當(dāng)中去，其中變化率和極限值的知識運用，受到各個行業(yè)各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。例如在研究航天科技加速度的領(lǐng)域、高鐵建設(shè)瞬時速度的研究領(lǐng)域、全國人口及老齡化的增長速度領(lǐng)域等等方面都去的了很大的效益。利用導(dǎo)數(shù)的基本概念和公式，可以解決很多需要優(yōu)化的問題，導(dǎo)數(shù)公式是通過函數(shù)來表達的，而函數(shù)本身也就是可導(dǎo)的，通過導(dǎo)數(shù)的計算可以求得最微分最優(yōu)化的結(jié)果，這個優(yōu)點也被許多生產(chǎn)和科技領(lǐng)域所運用，許多問題也可以用微積分導(dǎo)數(shù)公式來解決。比如在原料銷售行業(yè)，如何在銷售中取得最大利益，在企業(yè)生產(chǎn)中，如何獲得最大的生產(chǎn)效率，在樓房建造中，如何盡快的加快工程進度，在道路修善中如何才能節(jié)省成本等問題都可以用導(dǎo)數(shù)知識來進行計算解決，這些都屬于利用導(dǎo)數(shù)的優(yōu)勢解決最優(yōu)化問題。在實際生活情況中，利用導(dǎo)數(shù)知識解決最優(yōu)化問題必須經(jīng)過全面的分析和應(yīng)用，首先應(yīng)該正確認(rèn)識到問題的所在，明確其中的因變量和自變量，并研究清楚其中的關(guān)系，并根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型，確定函數(shù)的數(shù)值取值范圍，劃定合適的情況，排除概率較小的意外情況。第二步是列出導(dǎo)數(shù)的函數(shù)公式，將因變量和自變量的數(shù)據(jù)填充其中，并完成公式的計算過程，算出具體的變量關(guān)系、極大值、極小值以及數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，明確指出導(dǎo)數(shù)公式反應(yīng)出的變化結(jié)果。最后根據(jù)所得到的結(jié)果，再結(jié)合實際情況進行全面分析，根據(jù)實際的情況選擇最合適的數(shù)據(jù)獲得最大的效益。

2.導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用案例分析

第一個案例：在某個硬件生產(chǎn)工廠的作業(yè)中，市場需求往往是其生產(chǎn)與計劃的風(fēng)向標(biāo)，滿足市場需求是第一導(dǎo)向因素。在生產(chǎn)過程中將硬件的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為十層。并且質(zhì)量與生產(chǎn)速度呈現(xiàn)反比，生產(chǎn)速度越快的產(chǎn)品質(zhì)量往往應(yīng)用于要求并不是很高的領(lǐng)域，而且質(zhì)量與其利潤將會成正比，比如最基本的每件商品的利潤為三元，那么最高標(biāo)準(zhǔn)的甚至是其數(shù)倍，但生產(chǎn)速率畢竟是十分重要的，生產(chǎn)質(zhì)量不同的產(chǎn)品在產(chǎn)品合格率方面也具有不小的區(qū)別。則結(jié)合實際情況回答怎樣生產(chǎn)才能夠使工廠利益最大化，怎樣才能夠得出極值點？解答：對于這些最大化問題的求解上，我們可以利用求導(dǎo)發(fā)來對函數(shù)的最值進行分析，從而解決問題。在實際應(yīng)用中要關(guān)注對定義域的嚴(yán)格限制。假設(shè)生產(chǎn)到第 n 種標(biāo)準(zhǔn)硬件時可以獲得最大的利潤為 m。根據(jù)題目給的條件進行分析，可以得出函數(shù)m=[10+5 （n-1）][98-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。 對 于這一函數(shù)進行求導(dǎo)，可以得出 m=25（21-n）-25（n+1）=50（8-n），m=50（8-n）=0。 通 過 求 解， 可 以 得 到n=8，在 1～10 的區(qū)間內(nèi)，極值點只有8一個點，所以可以將8視為最大極值點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算的結(jié)果來看，當(dāng)生產(chǎn)8件標(biāo)準(zhǔn)的硬件例達到最大值，可以獲得3052元的最大利潤。求最大利潤問題就可以利用導(dǎo)數(shù)知識解決，針對這種實際問題，利用導(dǎo)數(shù)可以很大程度的減少不必要的麻煩，可以方便的為工廠求得最大程度的利潤收益。第二個案例：在城市的郊區(qū)有一個采沙場，在每天的采沙過程中，按照正常的進度，采沙場每個月的產(chǎn)量可以達到x噸，如果按照市場價格每噸沙土的價格是 n 元，如果利用數(shù)學(xué)公式可以列出產(chǎn)量和價格之間的關(guān)系式：n=24200-1/5x 2 ，而且已經(jīng)知道開采沙土x 噸的成本為m，成本和產(chǎn)量的關(guān)系式是m=50000+200x。以上是我們知道的所有條件，采沙場老板為了更多的得到利潤，每個月的產(chǎn)量應(yīng)該計劃為多少才能夠得到最大的利潤？而且最大利潤會是多少？解答：這個例子同樣是求最大利潤的問題，同樣可以利用導(dǎo)數(shù)知識來解決問題，根據(jù)我們所知道的條件可以利用函數(shù)來設(shè)置關(guān)系式，在利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的解決方法來求得計算結(jié)果。f（x）=（24200-1/5x 2 ）×（50000+200x）=-1/5x 2 +24000x-50000。x 為 產(chǎn) 量， 其應(yīng)該具備 x ≥ 0 的條件。通過求解可以得出，x=200。在函數(shù) f（x）中，極值 點 有 200 和 -200 兩 個 點， 由 于x ≥ 0，則去掉 x=200。在 x=200 時，將f（200）代入計算可得結(jié)果利潤為 315萬元。所以根據(jù)函數(shù)計算結(jié)果來看，當(dāng)將采沙場每個月的采沙產(chǎn)量為200噸的時候，對采沙場來說可獲得最大的利，可以獲得最大利潤 315 萬元。利用微積分導(dǎo)數(shù)知識來解決問題屢試不爽，通過這種數(shù)學(xué)知識，選擇合適的定義域區(qū)間，可以很方便的獲得所需要的結(jié)果，達到求得極值的目的。第三個案例：速度問題一直都是需要利用數(shù)學(xué)知識進行解決的，導(dǎo)數(shù)在速度與路程中的應(yīng)用也十分重要。小王準(zhǔn)備駕車去到朋友家做客，最近剛購買嶄新轎車一輛，小王駕車勻速行駛在去往朋友家的路上，在駕駛過程中，如果車輛每小時的油耗為 n 升，小王勻速駕駛轎車的行駛速度為 m（km/h），而且知道油耗和速度之間的關(guān)系公式n=1/12800m 2 -3/80m+8，道路規(guī)定汽車行駛速度最高不得超過 120km/h。如果小王到朋友的家需要駕駛100千米，那么小王在路途中應(yīng)該保持多少的速度才能夠有效的控制油耗，而且油耗最低可以達到多少？解答：速度和油耗的問題跟上文解答最大利益問題有很多相似之處，有車速和油耗兩個變量，車速越快油耗越大，因此在一定的路程中來求得油耗的最小值也可以利用導(dǎo)數(shù)知識來解決，根據(jù)已經(jīng)知道的條件，如果假設(shè)油耗量為h （m），要駕駛100千米的路程，所以我們根據(jù)題目可以得出函數(shù)：h（m）=（1/12800m 2 -3/80m+8）100/m。H'（m）=m/640-800/m 2 。令 h'（m）=0， 可 以 得 出 結(jié) 果m=80。通過分析我們可以推導(dǎo)，在 m小于 80 時，函數(shù)為減函數(shù)，在 m 大于80 時，函數(shù)為增函數(shù)。因此，根據(jù)函數(shù)計算結(jié)果我們可以得出，小王保持勻速 80km/h 行駛速度的過程中，達到導(dǎo)數(shù)的極小值點，從而可以獲得更低油耗，通過代入 m=80，h（80）=11.25，所以最低油耗為 11.25L。通過上面的案例，我們可以清楚的看到，導(dǎo)數(shù)知識在生活中的應(yīng)用是十分有優(yōu)勢的，而且這只是冰山一角，導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用不僅僅如此，還有更多領(lǐng)域和問題可以通過導(dǎo)數(shù)得到有效的解決。

3.結(jié)束語

數(shù)學(xué)離不開生活，同樣生活中也離不開數(shù)學(xué)，在生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用讓我們的生活變得更加有條理，讓我們的生活變得更加精致化。人們可以通過數(shù)學(xué)解決自己的問題，達到自己想要達到的目的。導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用無疑是十分受歡迎的，通過微積分中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，許多問題都迎刃而解，但是，我們不能僅滿足于此，還要加大對導(dǎo)數(shù)的研究和探索，讓數(shù)學(xué)豐富我們的生活、優(yōu)化我們的生產(chǎn)進程，將導(dǎo)數(shù)知識在生活中的應(yīng)用更加有效、更加廣泛、更加便捷。

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（作者單位：貴州食品工程職業(yè)學(xué)院，貴州 清鎮(zhèn) 551400）