面形誤差對(duì)自由電子激光聚焦光斑影響的研究

張熙明 郭 智 孟祥雨 張祥志 金鉆明 王 勇

1（上海大學(xué) 上海 200444）

2（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

3（中國科學(xué)院上海高等研究院 上海 201210）

隨著科學(xué)的發(fā)展，高端的前沿研究對(duì)光源相干性、單色光亮度提出了極高的要求［1］，而同步輻射技術(shù)的發(fā)展為現(xiàn)代科學(xué)研究的諸多領(lǐng)域解決了一大批常規(guī)光源無法解決的問題。作為第四代同步輻射源的X射線自由電子激光裝置（X-ray Free-electron Laser facility，F(xiàn)EL）有了長足的發(fā)展［2］，目前世界上已經(jīng)建成了多臺(tái)，包括德國FLASH和EuXFEL、美國 LCLS、意 大 利 FERMI、日 本 SACLA、韓 國Puhang、瑞士SwissFEL以及中國大連DCLS和中國上海軟X射線自由電子激光等裝置。在建的上海軟X射線自由電子激光裝置（Shanghai soft X-ray Freeelectron Laser facility，SXFEL）是中國第一臺(tái)X射線自由電子激光用戶裝置，其最短波長可達(dá)到2 nm［3］。

自由電子激光是電子加速器產(chǎn)生的相對(duì)論性電子束團(tuán)在波蕩器中振蕩產(chǎn)生的相干輻射。實(shí)現(xiàn)自由電子激光的途徑有振蕩型、自放大自發(fā)輻射（Self Amplified Spontaneous Emission，SASE）和高增益諧波放大（High Gain Harmonic Generation，HGHG）?；罴?xì)胞成像光束線就是基于SASE的原理，即電子束在波蕩器中自發(fā)輻射時(shí)各諧振模式相互競(jìng)爭(zhēng)，在經(jīng)過一個(gè)長波蕩器組后，有一個(gè)模式勝出，并放大強(qiáng)化［4-5］。SASE自由電子激光在軟X射線和極紫外區(qū)具有重要和獨(dú)特的特性，比如超高亮度和峰值功率、完全的時(shí)空相干性、飛秒脈沖時(shí)間結(jié)構(gòu)和波長可調(diào)諧［6-8］。因此FEL技術(shù)在不同領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

自由電子激光束線中需要用高精度（面型誤差、粗糙度和高度誤差等）的反射、聚焦和色散光學(xué)元件以保證光束的成像質(zhì)量。實(shí)際光學(xué)元件在加工過程中會(huì)存在一定的面形誤差，即實(shí)際反射表面與理想平面之間的面形差異，鏡子的面形和高度誤差相關(guān)聯(lián)，會(huì)影響相干性和波前，進(jìn)而影響最終的光斑。本文使用光束追跡模型SHADOW和SRW對(duì)KB鏡支線X光的傳播進(jìn)行追跡，分析鏡子面形誤差和高度誤差對(duì)最終光斑產(chǎn)生的影響，此外還應(yīng)用MOI模型計(jì)算高度誤差對(duì)經(jīng)過橢圓柱面鏡光束的影響。

1 裝置結(jié)構(gòu)

上海軟X射線自由電子激光光束線基于自放大自發(fā)輻射原理，波蕩器的光子能量范圍約是103～1 033 eV。表1列出了SASE光束線波蕩器光源點(diǎn)的主要參數(shù)。

表1 上海軟X射線SASE光束線波蕩器的主要參數(shù)Table 1 Basic parameters of the undulator beamline(SASE)in the SXFEL

圖1展示了活細(xì)胞成像光束線KB鏡支線的裝置結(jié)構(gòu)。首先平面鏡PM1以1.5°掠入射角度放置于距離光源點(diǎn)59 m的位置，并在PM1后面放置了輻射屏蔽墻。其后在距離光源點(diǎn)65 m處是一個(gè)與平面鏡PM1平行的平面鏡PM2，在其中心處刻蝕變線間距光柵，經(jīng)過光柵色散的+1級(jí)光通過YAG晶體和電荷藕合器件（Charge Coupled Device，CCD）實(shí)現(xiàn)對(duì)FEL脈沖的在線能譜診斷。在譜儀下游為單色器和壓彎鏡ECM5，然后光束線分為兩支：北支線為直通光模式，F(xiàn)EL光直接穿過單色器和壓彎鏡進(jìn)入KB聚焦鏡箱，包含平面鏡PM7，橢圓柱面鏡ECM8和ECM9，鏡子中心距光源點(diǎn)分別為117.5 m、118 m和118.5 m，主要用于生物細(xì)胞成像實(shí)驗(yàn)站；南支線包含平面鏡PM3、橢圓柱面鏡ECM4、變線間距光柵和橢球聚焦鏡EM6，可以實(shí)現(xiàn)白光和單色光切換，樣品點(diǎn)距光源點(diǎn)120 m，各實(shí)驗(yàn)站可在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)端口切換。

圖1 SASE光束線的光學(xué)布局Fig.1 Optical layout of the SASE beamline

對(duì)于北支線，自由電子激光由光源點(diǎn)發(fā)出，入射光經(jīng)過PM1反射到PM2，PM2上刻蝕變線間距光柵，可以作為在線診斷譜儀，即將5%的入射光被衍射到1階衍射曲面用于在線診斷，95%的入射光被反射到光束線中，在PM1和PM2之間輻射屏蔽器用于防止電子的韌致輻射。在直通光模式中，F(xiàn)EL光通過3面平面鏡反射和兩面橢圓柱面聚焦鏡聚焦，可最大限度保持相干性和脈沖光子通量，滿足樣品點(diǎn)實(shí)驗(yàn)需求。在通過調(diào)節(jié)ECM5的壓彎半徑，可調(diào)節(jié)下游橢球鏡EM6水平物距，可以實(shí)現(xiàn)樣品點(diǎn)光斑水平尺寸可調(diào)。

2 面形誤差

面形誤差是指光學(xué)表面存在的波紋缺陷，波紋周期長度大于幾個(gè)微米，造成了實(shí)際反射表面和理想平面之間的面形差異，在束線光學(xué)中通常用斜率誤差（slope error）表示，包括子午斜率誤差（tangential slope error）和弧矢斜率誤差（sagittal slope error）［9］。X束線光學(xué)使用的反射鏡由于掠入射角小，照射長度大，鏡面的面形誤差對(duì)聚焦光斑質(zhì)量至關(guān)重要，面形誤差會(huì)增大反射光束的發(fā)散角度，在光斑周圍形成暈環(huán)，增大光斑尺寸，降低分辨率，彌散了聚焦光斑，降低成像質(zhì)量。如圖2所示，I1為掠入射光束，I2為掠反射光束，在理想條件下，I1=I2，掠入射角和掠反射角相等，即θ1=θ2；由于存在面形誤差，會(huì)使得反射光束發(fā)散。反射面處起伏波紋斜率用δ表示，經(jīng)過波紋反射后實(shí)際光束I3=I2+2δ，即I3＞I1，使得聚焦光斑放大，影響最終聚焦光斑［10-13］。光學(xué)表面波紋缺陷一般來源于鏡子基底的加工、彎曲、自重和熱變形等多種因素。

圖2 鏡面表面面形誤差對(duì)光束的影響Fig.2 Influence of slope error of mirror surface on the beam

在同步輻射束線光學(xué)中會(huì)使用各種面形的反射鏡對(duì)光束進(jìn)行聚焦或者準(zhǔn)直，再成像于狹縫或者樣品上，比如球面鏡、柱面鏡、環(huán)面鏡和橢球面鏡等。以橢球面為例，橢球面是共焦橢圓繞長軸的旋轉(zhuǎn)面，反射面是橢球表面一部分，圖3為光束成像原理圖，一束同步輻射光以掠入射角θi照在橢球面鏡上，經(jīng)子午和弧矢兩個(gè)方向同時(shí)聚焦到像點(diǎn)處，光源和像斑分別位于橢球面的兩個(gè)焦點(diǎn)。過兩焦點(diǎn)平行于光線入射方向的橢球面鏡主平面為子午面，子午面內(nèi)的橢球曲率半徑是子午半徑Rm，垂直于子午平面為弧矢面，弧矢面內(nèi)的曲率半徑是弧矢半徑Rs。那么鏡子結(jié)構(gòu)參數(shù)由光程函數(shù)得到［14］，弧矢曲率半徑為：

子午曲率半徑為：

式中：p、q分別為物距和像距。

圖3 橢球面聚焦原理Fig.3 Diagram of focusing principle of the ellipsoid

可以采用數(shù)學(xué)方法分析面形誤差對(duì)聚焦光斑的影響，把反射面分成柵網(wǎng)，每個(gè)柵網(wǎng)中的小塊表面獨(dú)立反射光線，分析小塊反射面曲率半徑的偏差對(duì)聚焦光斑的影響，那么在子午面可以表示為：

式中：i=m、s分別表示子午面和弧矢面；δRi為鏡面曲率半徑的誤差；δFi為由于誤差產(chǎn)生的焦斑拓寬，在實(shí)際中常取δFi/Fi的極限為10%。如果用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)來要求，很顯然，弧矢面的誤差可以放寬到1/sinθi，這個(gè)條件容易實(shí)現(xiàn)，而子午面上情況比較困難［15］，由于像差和面形誤差的影響，光源成像會(huì)在垂直方向上明顯地放大。

簡單地分析一塊存在面形誤差的非理想實(shí)用鏡子的聚焦，聚焦光斑是像差和面形誤差被像距q放大以后的合成。如果忽略束斑暈環(huán)周圍極細(xì)微非對(duì)稱的部分，并假設(shè)在整個(gè)鏡面上的面形誤差呈高斯分布，用均方根Δ表示，則垂直方向上束斑尺寸可以表示為像差和面形誤差的拓寬部分的卷積［16］：

式中：Sv是光源的垂直尺寸；L是鏡面在子午方向的照明長度；M=q/p稱為縮比，是影響光學(xué)系統(tǒng)面形誤差的重要參數(shù)。式（5）的第一項(xiàng)是球差影響，第二項(xiàng)是第一級(jí)彗差，第三項(xiàng)是第三級(jí)彗差，第四項(xiàng)是面形誤差。M=1時(shí)，垂直成像不受像差影響。隨著M減小，像差和面形誤差干擾變大，使聚焦光斑變大。另外對(duì)式（5）進(jìn)行δF/δM=0可以求出最佳縮比，即：

同時(shí)考慮像差和面形誤差的影響，根據(jù)式（6）計(jì)算選擇最佳縮比M=Mopt，可使束斑面形誤差干擾較小，效果最佳。

3 光束追跡

在FEL的光束線設(shè)計(jì)中，需要檢測(cè)X射線經(jīng)過光束線——自由電子激光SASE光束線的主要參數(shù)和裝傳播之后，束斑受到面形誤差的影響，并可以據(jù)此優(yōu)化光束線的設(shè)計(jì)。通常使用光束追跡模型來模擬分析X射線在束線中的傳播，比如SHADOW模型和SRW（Synchrotron Radiation Workshop）模型。SHADOW的計(jì)算分為兩部分：第一部分是對(duì)光源進(jìn)行模擬，首先模擬光源的基本參數(shù)，比如光源點(diǎn)的形狀、大小和發(fā)散角，并將光源假設(shè)是若干獨(dú)立的粒子組合而成，解析模擬出粒子的位置、能量、速度方向、相位和偏振；第二部分是追跡，根據(jù)幾何光學(xué)理論，計(jì)算每個(gè)粒子經(jīng)過光學(xué)元件的軌跡，最后在樣品處得出所有粒子的位置和分布［17］。SRW模型首先將電子束團(tuán)中所有電子假設(shè)是獨(dú)立的并且完全不相干，然后基于推遲勢(shì)的方法在頻域內(nèi)計(jì)算單個(gè)電子在近場(chǎng)情況下的電場(chǎng)，以及在自由空間和經(jīng)過光學(xué)元件后的電場(chǎng)分布，再將所有電子產(chǎn)生的電場(chǎng)進(jìn)行疊加，得到傳播之后的強(qiáng)度和互強(qiáng)度分布［18-19］。MOI模型基于統(tǒng)計(jì)光學(xué)描述部分相干光，將波前分成許多微元，建立自由空間的傳播模型，模擬光束相干性隨傳播距離的變化［20-21］。在SASE自由電子激光束線中，SHADOW、SRW以及MOI模型可被應(yīng)用于在線診斷能譜儀和KB鏡的設(shè)計(jì)中。

3.1 SHADOW追跡結(jié)果

在上海光源SASE自由電子激光束線中，光源能量620 eV（2 nm）被作為追跡模擬的初始能量。假設(shè)光源為高斯光源，初始發(fā)散角為74 μrad。圖4分別為平面鏡PM1和橢圓柱面鏡ECM8在子午弧矢方向的實(shí)際面形誤差。平面鏡PM1的面形誤差為0.1 μrad（RMS），平面鏡 PM2 和 PM7 面形誤差為0.2 μrad（RMS），橢圓柱面鏡ECM8和ECM9的面形誤差為0.2 μrad（RMS）。

由SHADOW模型模擬出的追跡結(jié)果如圖5所示，圖5（a）、（b）分別為在平面鏡PM2（光柵0級(jí)光）處理想情況下，和加入上述平面鏡面形誤差后光斑的追跡結(jié)果。由追跡光斑FWHM可見，光束在經(jīng)過平面鏡PM1和平面鏡PM2后，光斑受到面形誤差影響較小。對(duì)光斑繼續(xù)進(jìn)行追跡，在經(jīng)過KB鏡到達(dá)像點(diǎn)處后，由圖5（c）可見，在理想情況下，光束經(jīng)過聚焦到達(dá)像點(diǎn)的光斑大小約為2.84 μm。

圖4 平面鏡PM1(a,b)和橢圓柱面鏡ECM8(c,d)在子午和弧矢方向的實(shí)際面形誤差Fig.4 The actual slope error of plane mirror PM1(a,b)and elliptical cylinder mirror ECM8(c,d)in the meridional and sagittal directions

圖5SHADOW光束追跡結(jié)果(a)平面鏡PM2處理想情況，(b)平面鏡PM2處加入面形誤差，(c)像點(diǎn)處理想情況，(d)像點(diǎn)處加入面形誤差Fig.5 Ray tracing results of SHADOW(a)On plane mirror PM2 with no slope error,(b)On plane mirror PM2 with slope error,(c)At image point with no slope error,(d)At image point with slope error

如圖5（d）有誤差情況下，在像點(diǎn)處的光斑會(huì)受到面形誤差的顯著影響，有明顯的子午方向束斑拓展，子午方向尺寸為3.370 3 μm，拓展約0.5 μm，是理想情況光斑子午方向尺寸的約1.2倍，這是由橢圓柱面鏡像差和較大的面形誤差共同造成的結(jié)果。

此外，在相同條件下構(gòu)造了不同面形誤差進(jìn)行追跡模擬以研究面形誤差對(duì)光斑造成的影響，如圖6所示，設(shè)定PM1的面形誤差為0.1 μrad和 0.2 μrad情況下，分別改變橢圓柱面鏡ECM8和ECM9面形誤差為0.4 μrad、0.6 μrad 和 0.8 μrad，研究像點(diǎn)光斑受到的影響。

基于以上結(jié)果在圖7繪制了光斑在子午和弧矢方向隨橢圓柱面鏡面形誤差變化曲線，可見光斑在子午和弧矢方向的拓展程度隨面形誤差的增加約呈線性增加。橢圓柱面鏡在面形誤差0.8 μrad左右，光斑子午方向會(huì)拓展到5 μm以上。平面鏡面形誤差控制在0.1～0.2 μrad以內(nèi)，同時(shí)橢圓柱面鏡控制在0.4 μrad以內(nèi)，就可以獲得較高質(zhì)量的光斑，即尺寸可以控制在4 μm以內(nèi)，可以滿足成像需求。

圖6 PM1的面形誤差為0.1 μrad，ECM8和ECM9的面形誤差分別為0.4 μrad(a)、0.6 μrad(b)、0.8 μrad(c)的光斑大??；PM1的面形誤差為0.2 μrad，ECM8和ECM9的面形誤差分別為0.4 μrad(d)、0.6 μrad(e)、0.8 μrad(f)的光斑大小Fig.6 The light spot size when the slope error of PM1 is 0.1 μrad and the slope error of ECM8 and ECM9 is 0.4 μrad(a),0.6 μrad(b),0.8 μrad(c)respectively;the light spot size when the slope error of PM1 is 0.2 μrad and the slope error of ECM8 and ECM9 is 0.4 μrad(d),0.6 μrad(e),0.8 μrad(f)respectively

圖7 光斑子午和弧矢方向的尺寸隨橢圓柱面形誤差的變化Fig.7 Variations of light spot size(in term of FWHM)in the meridional and sagittal directions with slope error of ECM8 and ECM9

3.2 SRW追跡結(jié)果

鏡子的面型和高度誤差相關(guān)聯(lián)，會(huì)影響相干性和波前，研究橢圓柱面鏡ECM8、ECM9受到高度誤差的影響。假設(shè)鏡子面型誤差為0.1 μrad（RMS），那么高度誤差為3 nm（RMS），通過MOI模型計(jì)算，此時(shí)橢圓柱面鏡ECM8和ECM9光強(qiáng)、相干性和相位如圖8所示。

在ECM8處光斑半高寬為1.28 μm（RMS），相干長度為0.61 μm（RMS），平面波波前（相位分布）為2.8 μm；在ECM9處光斑半高寬為0.95 μm（RMS），相干長度為0.45 μm（RMS），平面波波前（相位分布）為2.2 μm。經(jīng)過橢圓柱面鏡的光斑空間相干度分布大概在70%左右。聚焦光斑4 μm、波前2 μm和相干度70%的情況下可以滿足生物成像實(shí)驗(yàn)站活細(xì)胞成像需求。

在SRW追跡中，所用的模擬光源參數(shù)與SHADOW一致，并在各個(gè)光學(xué)元件中加入2～5 nm的實(shí)際高度誤差和理想情況下進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。

圖8 由MOI模型計(jì)算的高度誤差為3 nm時(shí)，橢圓柱面鏡ECM8和ECM9的光強(qiáng)(a)、相干性(b)和相位(c)分布Fig.8 The intensity(a),coherence(b)and phase(c)distribution of ECM8 and ECM9 when the height error calculated by MOI model is 3 nm

圖10為SRW模型追跡在像點(diǎn)的光斑強(qiáng)度和相位信息，由圖10（a）為理想情況下，620 eV光源到達(dá)像點(diǎn)的光斑尺寸，和SHADOW模擬結(jié)果基本一致，約為2 nm，圖10（b）為其相位信息。再對(duì)各光學(xué)元件加入實(shí)際高度誤差進(jìn)行模擬，圖10（c）、（d）分別為加入2～5 nm的實(shí)際高度誤差情況下，像點(diǎn)光斑強(qiáng)度和相位?？梢娤顸c(diǎn)光斑約2.6 μm，較不添加高度誤差時(shí)拓展了約0.5 μm，同時(shí)其相位也受到了高度誤差一定影響，其X、Y方向的頻率圖相比于理想情況對(duì)稱的頻譜會(huì)有不規(guī)則的起伏，如圖10（d）可見。

圖9 平面鏡PM1(a)和橢圓柱面鏡ECM8(b)的實(shí)際高度誤差Fig.9 The actual height error of plane mirror PM1(a)and elliptical cylinder mirror ECM8(b)

4 分析

使用光束追跡模型SHADOW和SRW對(duì)KB鏡支線X光在自由空間和光學(xué)元件的傳播進(jìn)行追跡，分別得到理想和加入面形誤差情況下的像斑，將追跡結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，分析光斑受到面形誤差影響的程度。理想情況下，像點(diǎn)光斑子午方向尺寸為2.84 μm。加入實(shí)際鏡子的面形誤差后，面形誤差對(duì)像點(diǎn)光斑會(huì)產(chǎn)生影響，像點(diǎn)束斑在子午方向尺寸為3.370 3 μm，拓展約0.5 μm。隨后構(gòu)造面形誤差，研究橢圓柱面鏡面形誤差為 0.4 μrad、0.6 μrad 和0.8 μrad時(shí)對(duì)像點(diǎn)光斑的影響，光斑尺寸隨面形誤差增大而增加，面形誤差在0.8 μrad，光斑子午方向會(huì)拓展到5 μm以上。結(jié)果表明：平面鏡面形誤差控制在 0.1～0.2 μrad 以內(nèi) ，同時(shí)橢圓柱面鏡控制在0.4 μrad以內(nèi)，光斑尺寸就可以控制在4 μm以內(nèi)。再通過MOI計(jì)算對(duì)橢圓柱面鏡加入高度誤差后光斑的光強(qiáng)、相干性和相位的分布，并在SRW模型中加入2～5 nm的實(shí)際高度誤差進(jìn)行追跡，得到光斑聚焦尺寸拓展在0.5 μm左右，同時(shí)其相位在X、Y方向比于理想情況會(huì)有少量不規(guī)則的起伏。聚焦光斑4 μm、波前2 μm和相干度70%的情況下可以滿足生物成像實(shí)驗(yàn)站活細(xì)胞成像需求。

圖10 SRW模型追跡結(jié)果(a)像點(diǎn)處理想情況光斑強(qiáng)度信息，(b)像點(diǎn)處理想情況光斑相位信息，(c)加入高度誤差光斑強(qiáng)度信息，(d)加入高度誤差光斑相位信息Fig.10 Ray tracing results of SHADOW(a)The intensity information of light spot at image point with no height error,(b)The phase information of light spot at image point with no height error,(c)The intensity information of light spot at image point with height error,(d)The phase information of light spot at image point with height error

5 結(jié)語

本文介紹了上海光源在建的活細(xì)胞成像光束線——自由電子激光SASE光束線的主要參數(shù)和束線結(jié)構(gòu)。分析了實(shí)際光學(xué)元件面形誤差影響光束的原理以及像差和面形誤差造成的束斑拓展。利用追跡模型研究面形誤差對(duì)光斑的影響。平面鏡面形誤差控制在0.1～0.2 μrad以內(nèi)，同時(shí)橢圓柱面鏡控制在0.4 μrad以內(nèi)，同時(shí)高度誤差控制在3 nm左右，就可以得到較高質(zhì)量的光斑。