巧解四邊形的面積題

文 秦建敏

不同的四邊形面積有不同的求法。面對(duì)不同形狀的四邊形，我們可以巧妙地采取不同的方法來求它的面積。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，DC=13，AD⊥AB，求四邊形ABCD的面積。

【分析】看到四邊形中含有一個(gè)直角，自然會(huì)聯(lián)想到直角三角形面積的計(jì)算，故連接DB很容易計(jì)算出△ADB的面積。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)原四邊形被分割為兩個(gè)三角形，其中△ADB的面積容易求出，只要想辦法求出△BDC的面積即可。仔細(xì)觀察條件，易得△BDC的三邊長，故而想到用勾股定理的逆定理判定△BDC為直角三角形，進(jìn)而問題得到解決。

解：∵AD⊥AB，AD=3，AB=4，

∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BDC=6+30=36。

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AD=3，BC=2，求四邊形ABCD的面積。

【分析】當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)所給圖形含有直角的時(shí)候，往往會(huì)想到用勾股定理，此時(shí)我們可以用分割的方法或者補(bǔ)圖的方法產(chǎn)生直角三角形。連接AC，將四邊形分割成兩個(gè)直角三角形后，我們發(fā)現(xiàn)60°角這個(gè)條件被破壞了。于是，我們可嘗試采取補(bǔ)圖的方法，構(gòu)造直角三角形來解決本題。

解：延長AB、DC交于點(diǎn)E。

∵∠D=90°，∠A=60°，

∴∠E=30°。

∵AD=3，BC=2，∠ABC=∠D=90°，

∴四邊形ABCD的面積=S△ADE-S△BCE=。

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OC=4，拋物線 y=x2-2x-3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D。點(diǎn)E（在AB上，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積。

【分析】面對(duì)函數(shù)中出現(xiàn)的四邊形，我們往往用割補(bǔ)法來求它的面積。在割補(bǔ)的時(shí)候，我們常選擇平行于坐標(biāo)軸的線，因?yàn)檫@樣可借助點(diǎn)的坐標(biāo)來求相關(guān)線段的長度。

解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴D的坐標(biāo)為（1，-4），

當(dāng)x=4時(shí)，y=5，

∴B的坐標(biāo)為（4，5），

同學(xué)們，當(dāng)面對(duì)不同的四邊形的時(shí)候，我們可以從不同的角度解剖它。既可以用公式直接求，也可以利用四邊形本身的特征將四邊形進(jìn)行分割、補(bǔ)全，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行計(jì)算。