毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度理論分析*

劉戰(zhàn)果 龐學(xué)霞 常晗碩 李常偉 趙志崗 段超予

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 河北 保定 071002)

1 引言

黏性是流體的固有物理屬性.流體流動(dòng)時(shí)會(huì)在相鄰流體層之間產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，此即流體的黏滯(性)力，亦稱黏滯阻力.流體的黏度(又稱黏滯系數(shù))是描述流體內(nèi)摩擦力性質(zhì)的重要物理量，能夠表征流體反抗形變的能力.流體分子間的引力和分子熱運(yùn)動(dòng)是形成黏性的原因.

流體黏度的測(cè)量方法有落球(針)法、毛細(xì)管法、轉(zhuǎn)筒法等，其中毛細(xì)管法適用于測(cè)量黏度較小的液體，例如水、酒精或者血液.毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度是基于流體力學(xué)領(lǐng)域的泊肅葉公式，實(shí)際上，基于這種理論測(cè)量流體黏度進(jìn)行了不同程度的近似[1～6].本工作針對(duì)毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度的一種簡(jiǎn)易裝置，分析了基于不同理論的誤差，其結(jié)果可以為任課教師講授實(shí)驗(yàn)理論提供參考素材，也可以為學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中應(yīng)用已學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題提供參考.

2 黏度的定義及毛細(xì)管法測(cè)量黏度的簡(jiǎn)單裝置

流體中兩個(gè)移動(dòng)邊界之間的摩擦導(dǎo)致了流體剪切，描述這種層流剪切行為強(qiáng)度的物理量叫做流體的黏度或剪切黏度.黏滯力是流體受到剪切應(yīng)力變形或拉伸應(yīng)力時(shí)所產(chǎn)生的阻力.在一般的平行流動(dòng)(即層流狀態(tài))中，剪切應(yīng)力τ正比于速度u在垂直于流動(dòng)方向的y′軸的梯度[1]，即

(1)

毛細(xì)管法是依據(jù)該黏度定義且能最容易實(shí)現(xiàn)測(cè)量流體(只適用于低黏度流體)黏度的方法之一，圖1給出了一種毛細(xì)管法最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì).

圖1 毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

如圖1所示，圓柱形蓄水桶內(nèi)直徑為2R，蓄水桶靠近底端處是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、直徑為2a的毛細(xì)管，整套裝置處于大氣壓p0下.蓄水桶中盛有低黏度液體，液面到毛細(xì)管中心線的距離大約為y，毛細(xì)管另一端裝有磁堵.當(dāng)調(diào)節(jié)蓄水桶豎直，且蓄水桶中無氣泡后，打開毛細(xì)管一端的磁堵，讓蓄水桶的液面下降足夠慢(準(zhǔn)靜態(tài)過程)，使毛細(xì)管中的流動(dòng)保持層流狀態(tài)，此時(shí)從毛細(xì)管一端射出的液體應(yīng)呈拋物線狀且平穩(wěn)，通過測(cè)量液面在不同時(shí)刻的高度，即可實(shí)現(xiàn)流體黏度測(cè)量.

圖1顯示的實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)潔，操作簡(jiǎn)單、測(cè)量誤差較小，是很多高?；A(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)的首選.依據(jù)流體力學(xué)理論，液體在圓管內(nèi)處于層流狀態(tài)，如果圓管兩端的壓強(qiáng)差為Δp，則在圓管內(nèi)達(dá)到定常流動(dòng)之后的流量Q是

(2)

其中，v是圓管內(nèi)的速度分布函數(shù)，r是以圓管中心為起點(diǎn)的徑向坐標(biāo).由式(2)可以看出，要想測(cè)量流體的黏度首先要知道圓管兩端的壓強(qiáng)差Δp.如圖1所示，圓形毛細(xì)管與蓄水桶連接的一端的壓強(qiáng)未知，可以用p表示；而另一端因與大氣相連其壓強(qiáng)應(yīng)為大氣壓強(qiáng)p0，因此毛細(xì)管兩端的壓強(qiáng)差為Δp=p-p0.求解毛細(xì)管兩端的壓強(qiáng)差Δp(或p)可以從兩種理論出發(fā)，即經(jīng)典的牛頓力學(xué)理論和流體力學(xué)理論，得到的結(jié)果略有不同，下面就基于這兩種理論，對(duì)毛細(xì)管兩端的壓強(qiáng)差Δp=p-p0進(jìn)行分析.

3 基于牛頓力學(xué)理論分析毛細(xì)管兩端壓強(qiáng)差

對(duì)于連續(xù)的不可壓縮、運(yùn)動(dòng)形式比較簡(jiǎn)單的流體，可近似看成質(zhì)點(diǎn)組，如蓄水桶中的液體.當(dāng)毛細(xì)管磁堵打開后，如果蓄水桶的內(nèi)壁光滑且桶中的液面緩慢下降，對(duì)于低黏度液體的運(yùn)動(dòng)可以近似看成是落體運(yùn)動(dòng)(如圖1所示)，蓄水桶液面以上是大氣壓強(qiáng)p0，假設(shè)液體中的壓強(qiáng)是各向同性的，與毛細(xì)管位置等高的液面壓強(qiáng)為p，則依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以給出變質(zhì)量問題的力學(xué)公式

(3)

dm1=-ρv1A1dt

亦即

因此式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

依據(jù)流量的定義，還可知道

Q=A1v1=A2v2

(6)

其中，A2(πa2)是毛細(xì)管截面積，v2是毛細(xì)管中流體的平均流速.

為了求解未知量y或v1，聯(lián)合式(5)和式(6)，可以得到

(7)

(8)

求解式(8)可以得到

(9)

其中，y0為初始時(shí)刻蓄水桶液面的凈高度.測(cè)量一組不同時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的蓄水桶液面凈高度y值，即可通過作圖法擬合出待測(cè)流體的黏度η.

對(duì)毛細(xì)管兩端壓強(qiáng)差Δp做近似是毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度常用的處理方式[1～6].為保證上述近似的可靠性，我們?cè)嚤容^式(4)中3種原因產(chǎn)生的壓強(qiáng)大小.考慮到實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)的實(shí)用性，選取毛細(xì)管長(zhǎng)L=150.0 mm，毛細(xì)管內(nèi)徑約a=0.5 mm，蓄水桶內(nèi)徑R=37.00 mm，內(nèi)置液體為純凈水.如果初始時(shí)刻(t=0)蓄水桶液面的凈高度y0=40.00 cm，可查在20 ℃時(shí)，水的密度

ρ=0.998 2×103kg·m-3

水的黏度

η=1.005×10-3Pa·s

選取北京地區(qū)的重力加速度g=9.802 m·s-2.我們計(jì)算了實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到不同的時(shí)刻，3種壓強(qiáng)差的大小以及將被忽略的小量壓強(qiáng)差占大量壓強(qiáng)差的比重，計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 式(4)中的3項(xiàng)壓強(qiáng)差在不同實(shí)驗(yàn)時(shí)刻的大小及比例

①按照上述儀器設(shè)計(jì)參數(shù)，如果液面每下降約1.0 cm標(biāo)記一次時(shí)間，測(cè)量約20組數(shù)據(jù)需要約1 741 s，為了計(jì)算簡(jiǎn)便取整為1 800 s.

隨著實(shí)驗(yàn)時(shí)間的增加，這3種壓強(qiáng)差都在減小，被忽略的小量占大量的比重越來越小.因此，在20 ℃時(shí)且在上述儀器設(shè)計(jì)參量情況下，忽略蓄水桶中液體的運(yùn)動(dòng)變化產(chǎn)生的壓強(qiáng)差和蓄水桶中液體質(zhì)量流失帶來的壓強(qiáng)差不會(huì)給實(shí)驗(yàn)帶來太大誤差，即使在其他溫度下測(cè)量流體黏度也是如此.

4 基于流體力學(xué)理論分析毛細(xì)管兩端壓強(qiáng)差

簡(jiǎn)單的層流運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)描述的主要對(duì)象，基于流體力學(xué)同樣可以推導(dǎo)毛細(xì)管兩端的壓強(qiáng)差.

蓄水桶和毛細(xì)管中的流體運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成層流狀態(tài)，那就意味著也是無旋狀態(tài)，則對(duì)于理想、正壓、有勢(shì)質(zhì)量力、無旋且不可壓縮重流體情形的流體運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程適用于拉格朗日積分方程

(10)

其中，φ是速度勢(shì)，f(t)是時(shí)間t的任意函數(shù)，由邊界條件決定，對(duì)于某一固定時(shí)刻而言，f(t)在整個(gè)流場(chǎng)中取同一常數(shù)值.式(10)具有能量守恒的形式，是從能量的角度來描述流體的運(yùn)動(dòng).

從蓄水桶的自由面A到毛細(xì)管入口B處，再到毛細(xì)管出口C，畫出一條流線ABC，在流線AB段，因?yàn)樾钏敖孛嫦嗟?，所以大部分v近似相同，則速度勢(shì)

(11)

其中，x為從自由面A到流線上任一點(diǎn)的距離.因此，流線AB在兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)處有

(12)

其中，s是流線AB段的長(zhǎng)度.AB段流線特定的長(zhǎng)度很難計(jì)算，但可推知其取值范圍在(y，y+2R).由式(12)可得

(13)

式(13)得到的靜壓強(qiáng)差Δp(等于上節(jié)用牛頓力學(xué)理論分析得到的壓強(qiáng)差)也包含了3部分.第一部分是流線AB兩端的凈剩重力勢(shì)能Δp′1=ρgy，該項(xiàng)是靜壓強(qiáng)差的主要貢獻(xiàn)部分.第二部分是流線兩端動(dòng)能密度的變化量

參照上一節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器的設(shè)計(jì)參量及實(shí)驗(yàn)環(huán)境，我們比較一下流線AB兩端動(dòng)能密度的變化量、流線速度勢(shì)的增量與流線AB兩端的凈剩重力勢(shì)能之間的大小，計(jì)算得到的不同實(shí)驗(yàn)時(shí)刻的大小及比例如表2所示.

表2 式(13)中的3項(xiàng)在不同實(shí)驗(yàn)時(shí)刻的大小及比例

5 結(jié)束語

本文依據(jù)流體黏度的定義，對(duì)一種毛細(xì)管法測(cè)量流體黏度的簡(jiǎn)單裝置，基于不同理論基礎(chǔ)進(jìn)行了理論誤差分析.發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)在分析低速且速度梯度比較小的流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，引入的理論誤差比流體力學(xué)理論小.無論從哪種理論出發(fā)，都可以得到相同的測(cè)量流體黏度的理論公式，并且都表明實(shí)驗(yàn)過程中不能以打開磁堵的時(shí)刻為實(shí)驗(yàn)開始的計(jì)時(shí)點(diǎn)，應(yīng)該等待從毛細(xì)管一端射出的水流呈拋物線狀且平穩(wěn)之后再開始計(jì)時(shí)，以最大限度地減小誤差.

簡(jiǎn)化后的理論公式容易理解，能夠很容易地得出方程的解析解，實(shí)現(xiàn)了多領(lǐng)域知識(shí)融合和綜合運(yùn)用，本文的分析過程和結(jié)果為學(xué)生融合多領(lǐng)域知識(shí)，養(yǎng)成分析和解決問題的習(xí)慣提供了參照.