基于傳遞矩陣法的夾心式換能器固有頻率分析

鄧 韜，盧鈺仁

(1.國電科學(xué)技術(shù)研究院有限公司成都分公司，四川成都 610000；2.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

0 引言

隨著功率超聲應(yīng)用的發(fā)展，夾心式縱向振動(dòng)換能器也逐漸得到廣泛應(yīng)用，相比之前的電磁超聲換能器[1]來說，其以功率大、振動(dòng)方式單一、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成熟等優(yōu)點(diǎn)，在超聲波清洗、超聲波焊接、超聲波消除殘余應(yīng)力等方面具有巨大優(yōu)勢。本文討論的壓電陶瓷是PZT-8。這種換能器主要在縱向振動(dòng)模式的基頻值上工作，通常在12～40 kHz之間，其功率一般高達(dá)1 kW甚至更高。電聲轉(zhuǎn)換效率在基頻值處最高，因此確定基頻值具有重要意義。但由于換能器材料種類多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實(shí)際基頻與理論頻率不一致，影響了效率。因此，迫切需要解決如何保證換能器的轉(zhuǎn)換效率接近實(shí)際固有頻率的問題。

夾心式換能器的結(jié)構(gòu)參數(shù)是基于半波長設(shè)計(jì)理論，它通過邊界位移和應(yīng)力的連續(xù)性來適應(yīng)頻率，但不能從理論上加以驗(yàn)證。目前，有限元法可以用來計(jì)算不同振型的頻率。文獻(xiàn)[2]可以得到與縱向振動(dòng)模式對應(yīng)的頻率。然而，計(jì)算過程復(fù)雜，需要較高的計(jì)算機(jī)性能。

通過對振動(dòng)力學(xué)理論的改進(jìn)，傳遞矩陣法成為分析物理結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有特性的一種簡單快捷的方法[3-4]。它在振動(dòng)機(jī)械技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，具有簡化不同振型的矩陣、降低計(jì)算成本等優(yōu)點(diǎn)。本文采用傳遞矩陣法對夾心式縱向振動(dòng)換能器的固有頻率進(jìn)行了分析，并與半波長設(shè)計(jì)法、有限元法和實(shí)驗(yàn)法的結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 等價(jià)和離散化

換能器是一個(gè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的連續(xù)彈性體，夾心式縱向振動(dòng)換能器結(jié)構(gòu)如圖1所示，傳遞矩陣法主要研究集中質(zhì)量的多自由度組合系統(tǒng)。因此，在采用傳遞矩陣法對換能器進(jìn)行分析之前，必須進(jìn)行結(jié)構(gòu)等效和系統(tǒng)離散化。

圖1 夾心式縱向振動(dòng)換能器原理圖

結(jié)構(gòu)等效是指同一段的兩部分或多部分結(jié)構(gòu)等效于一個(gè)結(jié)構(gòu)[5]，等效結(jié)構(gòu)的材料屬性參數(shù)可按下式計(jì)算：

(1)

(2)

式中：E*為等效彈性模量；ρ*為等效密度；s為橫截面積。

此外，由于電極墊等小結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)的影響很小，因此省略了這些小結(jié)構(gòu)。夾層式換能器的等效模型如圖2所示。

圖2 夾心式換能器的等效模型

換能器系統(tǒng)的離散性主要是系統(tǒng)質(zhì)量的集中，因?yàn)樗P(guān)注的振動(dòng)模式是縱向振動(dòng)。質(zhì)量離散化是將連續(xù)分布彈性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為集中質(zhì)量多自由度系統(tǒng)。例如，彈性系統(tǒng)的階梯軸(圖3)可離散成集中質(zhì)量塊和無質(zhì)量彈簧段組成的多自由度系統(tǒng)(圖4)，這意味著它將系統(tǒng)質(zhì)量集中在多個(gè)節(jié)點(diǎn)上，并且通常在系統(tǒng)突變的部分(例如不同的部分和材料)處選擇節(jié)點(diǎn)位置。質(zhì)量密度的原理是質(zhì)心的初始位置不變，系統(tǒng)的總質(zhì)量也不變[6-8]。

圖3 階梯軸示意圖

圖4 階梯軸離散系統(tǒng)

2 換能器模型的建立

多自由度系統(tǒng)可以看作是質(zhì)量集中塊和無質(zhì)量彈簧段的多個(gè)組合，它們依次連接。組件如圖5所示。通過彈簧和質(zhì)量等效分析，可以得到各構(gòu)件的傳遞矩陣。

圖5 質(zhì)量集中塊和無質(zhì)量彈簧截面的組成

2.1 無質(zhì)量彈簧截面?zhèn)鬟f矩陣

k為彈簧剛度，分析第i個(gè)部件的彈簧截面ki，如圖6所示。

圖6 彈簧截面模型

狀態(tài)可以用位移和力來表示。由于彈簧截面僅為一維自由度，因此只考慮軸向位移x和力F的連續(xù)性。設(shè)左、右狀態(tài)矩陣為：

(3)

(4)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)位置改變時(shí)，兩端的力相等。那就是：

(5)

(6)

左右兩端的關(guān)系為

(7)

cri表示彈簧截面ki兩端的矩陣傳遞系數(shù)，即：

(8)

k通過以下等效公式得出：

(9)

式中：L為長度;E為彈性模量。

2.2 質(zhì)量集中塊傳遞矩陣

如圖7所示，分析了第i部分的質(zhì)量集中區(qū)mi。

圖7 質(zhì)量集中塊模型

設(shè)左、右狀態(tài)矩陣為：

(10)

(11)

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，存在：

(12)

(13)

式中ω為角頻率。

左端和右端之間的關(guān)系如下：

(14)

czi表示質(zhì)量mi兩端的矩陣傳遞系數(shù)，即：

(15)

2.3 構(gòu)件傳遞矩陣

將無質(zhì)量彈簧截面的傳遞矩陣與質(zhì)量集中塊相結(jié)合，得到構(gòu)件的傳遞矩陣。根據(jù)式(7)和式(14)，得到第i-1部分與i部分的轉(zhuǎn)移關(guān)系為

(16)

ci表示組件的矩陣轉(zhuǎn)移系數(shù)，且：

(17)

3 夾心式換能器固有頻率的求解

以圖2所示換能器的等效結(jié)構(gòu)為例，分析了夾層式縱向振動(dòng)換能器的固有頻率。考慮質(zhì)量集中原理，將等效模型離散為由4個(gè)組件組成的多自由度系統(tǒng)，以不同橫截面積的位置為節(jié)點(diǎn)，如圖8所示。離散化后換能器的具體參數(shù)值見表1。

圖8 夾心式換能器的多自由度系統(tǒng)模型

表1 各部分參數(shù)

根據(jù)式(16)，系統(tǒng)左右端之間的關(guān)系為

(18)

C表示系統(tǒng)的總傳遞系數(shù)，即：

(19)

其中，c11、c12、c21和c22僅與角頻率ω有關(guān)。邊界固定在左側(cè)，自由端在右側(cè)。

x0=0

(20)

F4=0

(21)

則式(18)變?yōu)椋?/p>

(22)

轉(zhuǎn)換后得到約束條件：

c22(ω)=0

(23)

本文設(shè)計(jì)了MATLAB程序，用于計(jì)算換能器的固有頻率。用公式f=ω/2π求得f=15.37 kHz。

4 有限元模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 有限元模擬

利用有限元分析軟件ANSYS建立了換能器的三維模型，并對其進(jìn)行了網(wǎng)格化。有限元模型如圖9所示。換能器材料性能參數(shù)見表2。

圖9 換能器的有限元模型

表2 材料性能參數(shù)

利用ANSYS模態(tài)分析模塊對換能器進(jìn)行模態(tài)仿真，得到縱向振動(dòng)模態(tài)的固有頻率f=14.89 kHz，其相應(yīng)形式如圖10所示。

圖10 換能器的縱向振動(dòng)模型

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

建立了實(shí)驗(yàn)測量系統(tǒng)，用激光測振儀采集換能器的表面振動(dòng)信息，如圖11所示。用脈沖激勵(lì)法分析了換能器的固有頻率。

圖11 實(shí)驗(yàn)儀器連接圖

信號發(fā)生器輸出脈沖信號，如圖12所示。經(jīng)功率放大器放大后，信號激勵(lì)換能器振動(dòng)，然后用示波器記錄激光振動(dòng)計(jì)的模擬波形，如圖13所示。然后進(jìn)行波形的頻譜分析。結(jié)果表明，固有頻率值為15.15 kHz，如圖14所示。

圖12 脈沖激勵(lì)信號

圖13 振動(dòng)模擬信號

圖14 振動(dòng)信號頻譜圖

4.3 結(jié)果討論

采用傳遞矩陣法、有限元法和實(shí)驗(yàn)法分別得到了同一夾心式換能器的固有頻率。根據(jù)半波長理論設(shè)計(jì)，所討論的夾心式換能器的理論固有頻率為15.30 kHz。

首先，將傳遞矩陣法和有限元法的結(jié)果與半波長理論方法的理論值進(jìn)行比較，如表3所示。

表3 結(jié)果與理論值比較

由表3可以看出，傳遞矩陣法計(jì)算的固有頻率與理論值非常接近。其誤差僅為0.45%，有限元法的誤差為2.68%。傳遞矩陣法更精確，其等效模型易于建立，而且計(jì)算量很小。

然后將傳遞矩陣法和有限元法的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)方法的實(shí)際值進(jìn)行比較，如表4所示。

表4 結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值比較

從表4可以看出，傳遞矩陣法和有限元法結(jié)果的誤差分別為1.45%和1.72%，與實(shí)驗(yàn)方法得到的實(shí)際固有頻率相比，兩者誤差均在允許范圍內(nèi)。結(jié)果表明，采用傳遞矩陣法計(jì)算夾層式換能器的固有頻率是可行的，分析結(jié)果可用于驗(yàn)證夾心式換能器的設(shè)計(jì)。

5 結(jié)束語

本文以夾心式換能器為研究對象，對其固有頻率分析方法進(jìn)行了研究?；诙嘧杂啥认到y(tǒng)模型，建立了傳遞矩陣法。首先，根據(jù)質(zhì)心不變的原理，對連續(xù)彈性體進(jìn)行平衡和離散化。推導(dǎo)和討論了無質(zhì)量彈簧截面和質(zhì)量集中塊的單元矩陣。然后對離散化的多自由度系統(tǒng)模型進(jìn)行整體分析。結(jié)合邊界條件獲得換能器分析結(jié)果，其比有限元法更接近理論值。

另外，與通過脈沖激勵(lì)方法獲得的實(shí)驗(yàn)值相比，傳遞矩陣法和有限元法兩者的誤差大致相同，并且在允許的誤差范圍內(nèi)。

但是，與有限元法相比，傳遞矩陣法在構(gòu)造等效模型、降低計(jì)算成本、降低計(jì)算機(jī)軟硬件需求等方面具有更大的優(yōu)勢。因此，傳遞矩陣法是分析夾心式換能器固有頻率的一種較有效的方法。