基于實測影響線的大跨度橋梁有限元模型修正

肖 祥, 趙 曼, 陳 一, 陳 波

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430067；2.武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430070)

0 引 言

近年來,隨著大跨度橋梁數(shù)量的增加,如何方便準(zhǔn)確地檢測大跨度橋梁的實際工作狀態(tài),以保證橋梁服役階段的安全性成了工程界較為關(guān)注的問題[1]?？煽康臉蛄涸u估需要依靠大量而準(zhǔn)確的橋梁實測數(shù)據(jù)以及精確反映橋梁結(jié)構(gòu)的模型來展開[2], Asadollahi 等[3]提出的基于實測數(shù)據(jù)的有限元模型更新與評估結(jié)果表明,更新后的有限元模型可以成功地高精度預(yù)測結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性。Wang等[4]采用多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)對大跨度斜拉橋模型進(jìn)行了多尺度修正研究。以上研究都是通過橋梁實測模態(tài)進(jìn)行模型修正研究,然而橋梁實測模態(tài)不能準(zhǔn)確反應(yīng)橋梁的局部信息，只能體現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)的整體特性。鑒于此,本文提出了基于實測位移、應(yīng)力影響線和頻率的大跨度橋梁多尺度有限元模型修正方法。

1 基于影響線模型修正的合理性及其優(yōu)點

1.1 基于頻率和模態(tài)振型的傳統(tǒng)模型修正方法的缺陷

有限元模型的修正過程主要包含三個步驟:

(1) 選擇合理數(shù)量的模型參數(shù)作為模型修正中的調(diào)整參數(shù)。

(2) 制定模型修正中的目標(biāo)函數(shù)及其相應(yīng)約束條件。

(3) 采用合理的優(yōu)化算法求解最優(yōu)模型參數(shù)值,以使修正模型計算值與實測數(shù)據(jù)之間的差異最小化。

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(如模態(tài)頻率和振型)是模型修正中最為廣泛采用的實測依據(jù),相對而言頻率較容易實測得到,它的靈敏度系數(shù)與結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量矩陣之間有著如下關(guān)系[5]:

(1)

(2)

(3)

從式(1)(2)可以看出,剛度參數(shù)和質(zhì)量參數(shù)的改變都會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率的變化。從式(3)可以看出,當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量以同樣的比例變化時,結(jié)構(gòu)的頻率將不會發(fā)生變化。因此,基于結(jié)構(gòu)頻率和模態(tài)振型的傳統(tǒng)模型修正方法沒有考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度之間的比例因子,當(dāng)模型質(zhì)量參數(shù)設(shè)置不合理時,通過剛度參數(shù)對模型進(jìn)行修正得到的修正結(jié)果不能作為評價橋梁安全性的參照標(biāo)準(zhǔn)。

1.2 位移影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系

對于一個n自由度的橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng),假定單位力在自由度i1到il之間移動,移動單位力可表示為:

…

(4)

式中:ik(k=1～l)為移動單位力作用處的自由度編號。

橋梁結(jié)構(gòu)在每一個單位力向量Pk(k=1～l)作用下的位移可由下式計算:

Yk=FPk

(5)

式中:Ykn×1為位移向量;Fn×n為橋梁結(jié)構(gòu)的柔度矩陣;n為橋梁結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量。

在單位力Pk作用下，結(jié)構(gòu)第j個自由度的位移Yjk可表示為Yk的第j個元素,可計算為Yjk=FjPk,實測位移Yjk就是柔度系數(shù)fjk;第j個自由度的位移影響線向量YjIL可以由所有的單位力向量Pk產(chǎn)生的位移Yjk(k=1～l)組集得到:

(6)

從式(4)～(6)可以發(fā)現(xiàn)位移影響線向量YjIL本質(zhì)上就是柔度矩陣的一個子矩陣。

理論上,如果移動單位力在橋梁結(jié)構(gòu)所有自由度上移動,且所有自由位移影響線均被測量時,結(jié)構(gòu)的整個柔度矩陣F可以被測得,柔度矩陣F與模態(tài)頻率ω和振型φ之間的關(guān)系可表達(dá)成如下形式[6]:

(7)

1.3 應(yīng)變影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系

單位力向量Pk(k=1～l)作用下的位移向量Ykn×1與應(yīng)變向量εkm×1可以通過如下線性關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換[7]:

εk=TεYk=TεFPk=FεPk

(8)

相應(yīng)的應(yīng)變影響線向量εjIL由所有的單位力向量Pk產(chǎn)生的應(yīng)變εjk(k=1～l)組集得到:

(9)

很明顯應(yīng)變影響線向量εjIL本質(zhì)上就是應(yīng)變?nèi)岫染仃嚨囊粋€子矩陣。

1.4 位移和應(yīng)力影響線的實測

在橋梁通車動載實驗中,假定一輛試驗卡車,或有著固定間距的幾輛試驗卡車，引起的橋梁j測點位移響應(yīng)時程為Rj(t),它與該點位移影響線之間的關(guān)系如下:

Rj(t)=Ψ(x)YjIL

(10)

(11)

式中:x=vt為第一輛車前軸的位置;v為車輛運行速度;pj為車隊中第j個軸的軸重;N為所有車輛的總軸數(shù);ζij(x)為第i個測點位置處第j個軸重的插值函數(shù)。

當(dāng)實測得到位移時間序列Rj(k·dt)后(k=1～T,T為采樣總數(shù),dt=1/f,f為采樣頻率),位移影響線可由下式計算：

(12)

類似地,結(jié)構(gòu)應(yīng)力影響線也可由車輛荷載作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力時程得到。從式(10)～(12)可以發(fā)現(xiàn),在車輛軸重、軸距、車速和實測數(shù)據(jù)采樣頻率確定后,影響線與實測時程數(shù)據(jù)是線性的比例關(guān)系。進(jìn)一步分析可以得出移動車隊作用下的影響線與單位力作用下的影響線也是線性關(guān)系。

2 基于影響線和頻率的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束方程

通過實測頻率定義的目標(biāo)函數(shù)如下:

(13)

式中:ωai為計算實測頻率;ωti為實測頻率;i為模態(tài)階數(shù)。

如前所述,每個位移或應(yīng)變影響線均是柔度矩陣或應(yīng)變?nèi)岫染仃嚨囊徊糠?它們可以取代模態(tài)振型或應(yīng)變模態(tài)振型,為大跨度橋梁的模型修正提供一個新的指標(biāo)。定義指標(biāo)ΓDi和ΓSi分別作為位移和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù),具體如下:

(14)

(15)

式中:YAi為計算位移影響線;YTi為實測位移影響線;εAi為計算應(yīng)力影響線和εTi為實測應(yīng)力影響線;YAi,peak為計算位移影響線的最大值;YTi,peak為實測位移影響線的最大值;εAi,peak為計算應(yīng)力影響線的峰值;εTi,peak為實測應(yīng)力影響線的峰值;DACi為位移影響線形狀的置信度指標(biāo)(類似于模態(tài)振型的MAC值)；SACi為應(yīng)力影響線形狀的置信度指標(biāo)(類似于模態(tài)振型的MAC值),DNOi表示計算和實測位移影響線峰值的相對誤差指標(biāo);SNOi表示計算和實測應(yīng)力影響線峰值的相對誤差指標(biāo);a0為影響線形狀的權(quán)重因子;b0為幅值的權(quán)重因子。

由以上分析可知,通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率和位移影響線定義的目標(biāo)函數(shù)反應(yīng)了與橋梁模型整體性能相關(guān)的參數(shù)修正,通過應(yīng)力影響線定義的目標(biāo)函數(shù)反應(yīng)了與橋梁模型局部性能相關(guān)的參數(shù)修正,要實現(xiàn)橋梁模型多尺度修正可以通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率、位移影響線和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建總體目標(biāo)函數(shù)G(r)。由于這三類目標(biāo)函數(shù)有著不同尺度和物理含義,分別采用了不同的加權(quán)因子加權(quán),得到的總體優(yōu)化目標(biāo)為[8]:

min[G(r)]=min(α1G1+α2G2+α3G3)

(16)

式中:α1、α2、α3分別表示加權(quán)因子,且α1+α2+α3=1,G1、G2和G3具體如下:

(17)

式中：m為實測頻率的數(shù)量;l為位移影響線的數(shù)量;k為應(yīng)力影響線的數(shù)量。式(16)(17)中三類目標(biāo)函數(shù)ΓFi,ΓDj和ΓSj應(yīng)限制在容許的誤差區(qū)間內(nèi)[9]:

ΓFi<Δf,ΓDj<Δd,ΓSj<Δε

(18)

式中:Δf,Δd和Δε為這三種指標(biāo)的偏差限值。

在初步選定一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)后,須對參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,最終選定靈敏度較大的前np個參數(shù),并且為保證模型修正過程中每個參數(shù)的實際物理意義,模型參數(shù)須限制在一定的合理區(qū)間內(nèi):

(19)

通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率、位移影響線和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù)與其相應(yīng)的約束方程共同構(gòu)成了有限元模型修正的優(yōu)化模型:

(20)

3 大跨度橋梁有限元模型修正方法研究

3.1 工程簡介及橋梁試驗

本文以一座大跨度鋼混結(jié)合斜拉橋為背景,進(jìn)行多尺度有限元模型修正分析,橋梁跨徑布置為(300+1008+300)m,在橋梁不同位置分別安裝8個GPS位移檢測系統(tǒng),如圖1所示，用于監(jiān)測主塔縱向位移和主梁豎向位移。同時，由于傳感器數(shù)量的限制,橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)不能識別到完整的橋梁模態(tài)振型,只能識別橋梁的各階頻率(表1)。

圖1 GPS位移測試系

表1 結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率

3.2 多尺度模型修正

本文選擇4個質(zhì)量相關(guān)的模型參數(shù)、9個剛度相關(guān)的模型參數(shù)一共13個模型參數(shù)(r={ri},i=1～13)作為模型修正中的調(diào)整參數(shù),具體詳見表2。

表2 修正的模型參數(shù)

本文所提橋梁有限元模型修正方法的關(guān)鍵在于選定合理的加權(quán)因子,通過遺傳算法求解公式(16)的最優(yōu)解,式(16)(17)中三類目標(biāo)函數(shù)的偏差限值分別取為Δf=Δε=Δd=0.2,模型參數(shù)的偏差限值均取為Δr=0.2。影響線形狀和峰值權(quán)重因子 [式(14)和(15)]分別取為a0=0.5,b0=0.5,三類目標(biāo)函數(shù)權(quán)重因子分別取為α1=0.3,α2=0.35和α3=0.35。模型修正中僅采用了部分實測數(shù)據(jù),其他均作為驗證分析數(shù)據(jù)。

初始有限元模型修正前后模型的前6階頻率對比見表1,圖2和圖3分別為模型修正前后橋梁模型的整體位移和局部應(yīng)力影響線與實測值的對比圖。

圖2 位移影響線修正結(jié)果比較

圖3 應(yīng)力影響線修正結(jié)果比較

由圖2和圖3中可以看出，修正模型的位移和應(yīng)力值與實測值較為接近,而初始模型的位移和應(yīng)力計算值與實測值和修正值差距顯著,表明該修正方法對橋梁多尺度響應(yīng)均有較好的修正效果。

為進(jìn)一步驗證模型修正結(jié)果的合理性,對4階實測頻率、4個實測位移影響線和11個實測應(yīng)力影響線與修正模型進(jìn)行比較分析。實測和計算影響線如圖4和圖5所示,修正參數(shù)變化見表3。

圖4 位移影響線修正結(jié)果驗證

圖5 應(yīng)力影響線修正結(jié)果驗證

表3 修正的模型參數(shù)

從圖4、圖5和表3可以發(fā)現(xiàn),盡管這些實測數(shù)據(jù)沒有用來作為模型修正的依據(jù),但從對比結(jié)果可以看出,修正模型的計算數(shù)據(jù)相較于初始模型更接近實測結(jié)果,只考慮頻率的模型修正方法不能滿足多尺度的有限元模型修正要求。相比之下,本文方法能有效地提高整體位移和局部應(yīng)力的分析精度,可滿足多尺度模型修正的要求。

4 結(jié) 論

本文首先論述了傳統(tǒng)模型修正方法的缺陷,說明了橋梁位移影響線、應(yīng)變影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系,提出了一種基于橋梁實測位移、應(yīng)力影響線的大跨度橋梁多尺度有限元模型修正方法,最后以一座大跨度鋼混結(jié)合斜拉橋為背景對本文所提方法進(jìn)行了驗證,得到以下結(jié)論:

(1)通過傳統(tǒng)有限元模型修正得到的初始修正模型預(yù)測的靜態(tài)位移和應(yīng)力與實測值差異較大,而基于頻率和影響線對大跨度橋梁模型進(jìn)行多尺度模型修正得到的修正模型計算數(shù)據(jù)相較于初始模型更接近實測結(jié)果。

(2)對于沒有用來作為模型修正依據(jù)的實測數(shù)據(jù),修正模型結(jié)果依舊比初始修正模型精度要高,因此本文所提方法可以有效地提高整體位移和局部應(yīng)力的分析精度,滿足多尺度模型修正的要求。