平紋機(jī)織碳纖維復(fù)合材料的多尺度隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測研究1)

許 燦 朱 平,2) 劉 釗 陶 威

?(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

?(上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

??(上海交通大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院,上海 200240)

引言

碳纖維增強(qiáng)聚合物基 (carbon fiber reinforced polymer,CFRP) 復(fù)合材料,簡稱碳纖維復(fù)合材料,具有密度低、比剛度高、比強(qiáng)度高、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),能夠很好地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化和高性能設(shè)計(jì)[1].作為一種新型輕質(zhì)復(fù)合材料,碳纖維復(fù)合材料因其優(yōu)異的力學(xué)性能在航空航天、汽車、船舶等行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用[2-3].平紋機(jī)織CFRP 的制備過程包括編織、鋪層、浸潤和固化等,得到的材料在結(jié)構(gòu)上具有多尺度特征.在CFRP 的制備過程中,由于存儲(chǔ)條件和組成相成分、批次的不同導(dǎo)致組成相材料性能有所差異,同時(shí)由于織物和預(yù)浸織布的生產(chǎn)、存儲(chǔ)和搬運(yùn)等過程導(dǎo)致紡織結(jié)構(gòu)的變動(dòng).這種材料和結(jié)構(gòu)的不確定性反映到CFRP 性質(zhì)上表現(xiàn)為各尺度力學(xué)性能均有一定的隨機(jī)性,并最終影響材料的宏觀性能[4-7].因此,有必要發(fā)展可靠的CFRP 隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測方法,充分考慮各尺度材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性,研究其對(duì)材料宏觀力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果的影響作用.

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)考慮隨機(jī)性的復(fù)合材料力學(xué)性能的準(zhǔn)確預(yù)測,國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究工作.與有限元技術(shù)相結(jié)合的計(jì)算細(xì)觀力學(xué)方法可以在各個(gè)尺度上建立考慮隨機(jī)性的精細(xì)仿真模型來進(jìn)行力學(xué)性能預(yù)測[8-11].在纖維束尺度上,目前研究主要是通過纖維角度和位移等參數(shù)的擾動(dòng)來生成滿足給定參數(shù)組合和約束條件下不規(guī)則排列結(jié)構(gòu).Zhu 等[12]提出了基于序列隨機(jī)擾動(dòng)算法生成纖維隨機(jī)分布結(jié)構(gòu),并基于有限元模型研究了纖維隨機(jī)分布對(duì)纖維束力學(xué)性能的影響.類似的研究還包括Yang 等[13]提出的隨機(jī)序列展開方法,Zhang 等[14]提出的結(jié)合隨機(jī)分布和完全彈性碰撞的生成算法.在介觀尺度上,主要是基于圖像分析與幾何參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)描述方法相結(jié)合的方法生成具有結(jié)構(gòu)隨機(jī)性的代表性體積單元(representative volume element,RVE) 進(jìn)行仿真分析.Bale等[15]基于微計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)得到三維圖像并對(duì)纖維束位置和形狀進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)學(xué)描述.Blacklock等[16]則在此基礎(chǔ)上重構(gòu)了具有隨機(jī)性的RVE 模型.Zhu 等[17]則進(jìn)一步考慮了參數(shù)之間的相關(guān)性,提出了基于相關(guān)性混合高斯隨機(jī)序列的平紋機(jī)織CFRP的RVE 重構(gòu)算法.

基于計(jì)算細(xì)觀力學(xué)的方法本質(zhì)上是建立多個(gè)能夠滿足統(tǒng)計(jì)學(xué)表征的有限元模型并統(tǒng)計(jì)仿真分析的結(jié)果,因此計(jì)算代價(jià)過高.而解析細(xì)觀力學(xué)方法由于具有較高的計(jì)算效率,在進(jìn)行考慮不確定性的預(yù)測研究時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì).Chakraborty 等[18]采用多項(xiàng)式相關(guān)函數(shù)展開實(shí)現(xiàn)了復(fù)合材料層合板的隨機(jī)自由振動(dòng)分析.考慮到微觀結(jié)構(gòu)的不確定性,隨機(jī)有限元[19]被采用進(jìn)行有效的預(yù)測.Cui 等[20]采用Copula 函數(shù)表征復(fù)合材料中的纖維鋪設(shè)角度和材料參數(shù)之間的相關(guān)性,并基于攝動(dòng)法進(jìn)行不確定性分析.Mehrez等[21]提出了基于混沌多項(xiàng)式展開(polynomial chaos expansion,PCE) 的層級(jí)式傳遞方法得到宏觀材料力學(xué)性能的不確定性.Xu 等[22]則在層級(jí)傳遞的過程中進(jìn)一步考慮了分布的真實(shí)形式和分布之間的高維相關(guān)性,并應(yīng)用于三維正交機(jī)織復(fù)合材料的力學(xué)性能預(yù)測中.

現(xiàn)有的面向平紋機(jī)織CFRP 的研究主要存在以下幾個(gè)問題:一是所考慮的隨機(jī)參數(shù)不夠全面,大多研究僅考慮部分尺度的隨機(jī)參數(shù).且采用的不確定性傳遞方法大多具有局限性:隨機(jī)有限元法,作為一種嵌入式的不確定性算法,對(duì)問題不具備很好的適應(yīng)性;攝動(dòng)法則對(duì)概率分布形式具有要求;二是在力學(xué)性能預(yù)測中對(duì)隨機(jī)參數(shù)之間的相關(guān)性考慮不夠充分.針對(duì)以上這些問題,本文提出一種基于PCE 和Vine Copula 的平紋機(jī)織CFRP 隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測方法,該方法考慮了微觀和介觀尺度中不確定性材料、結(jié)構(gòu)參數(shù),基于自下而上層級(jí)傳遞的策略逐層研究平紋機(jī)織CFRP 的各尺度力學(xué)性能參數(shù)的不確定性.所采用的非嵌入式PCE 方法能夠高效準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)不確定性地傳遞.此外,Vine Copula 函數(shù)能準(zhǔn)確構(gòu)造相關(guān)隨機(jī)參數(shù)之間的高維聯(lián)合概率分布,從而有效掌握相關(guān)性對(duì)性能響應(yīng)的影響,提高平紋機(jī)織CFRP 力學(xué)性能參數(shù)預(yù)測的精度和可靠性.

1 確定性模型構(gòu)建

采用解析細(xì)觀力學(xué)方法實(shí)現(xiàn)平紋機(jī)織CFRP 的多尺度確定性隨機(jī)彈性力學(xué)性能預(yù)測,該方法能充分考慮影響平紋機(jī)織CFRP 力學(xué)性能的因素,包括組分材料的力學(xué)性能、各尺度的幾何參數(shù)、體積分?jǐn)?shù)-等[23].尺度包括纖維絲尺度(微觀尺度)、纖維束尺度(介觀尺度)和單胞尺度(宏觀尺度),如圖1 所示.該方法基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)及均勻化理論,采用自下而上多尺度式串行的策略逐級(jí)預(yù)測力學(xué)性能.

圖1 平紋機(jī)織CFRP 多尺度特征Fig.1 Multiscale characteristics of plain woven CFRP

1.1 纖維束模型

平紋機(jī)織CFRP 中,每一根浸潤過的纖維束都包含了嵌入在基體中的許多單向纖維,浸潤纖維束被認(rèn)為是單向復(fù)合材料.若纖維束的纖維絲體積分?jǐn)?shù)為Vf,則力學(xué)性能可由下述Chamis 方程得到[24]

式中,下標(biāo)f 和m 分別表示纖維絲和基體,V表示體積分?jǐn)?shù),E表示彈性模量,G表示剪切模量,u表示泊松比.

纖維絲的體積分?jǐn)?shù)可以通過下式計(jì)算

其中,Sf表示纖維束中纖維絲的總截面面積,d表示纖維絲直徑,Nfiber表示纖維束中纖維絲數(shù)量,a和b分別表示纖維束的長軸和短軸長度,如圖2 所示.

圖2 單胞截面Fig.2 Cross section of unit cell

由于纖維束通常被假設(shè)為橫向各向同性的,故其剛度矩陣可以定義為

其中,剛度矩陣各元素可通過下式獲得

由于平紋機(jī)織CFRP 的纖維束存在卷曲變形,對(duì)于卷曲的纖維束,如圖3 所示.

圖3 纖維束的正弦函數(shù)表達(dá)Fig.3 Sinusoidal expression for yarn

本文采用正弦函數(shù)來描述其構(gòu)型

式中,T表示周期,A表示幅度.綜合圖2 和圖3 可以得到T=2(a+l),A=(h?b)/2.將卷曲纖維束劃分為無數(shù)的微段,各微段沿纖維主方向均可視作單向纖維復(fù)合材料,如圖4 所示,xL方向即為主方向.

圖4 纖維束材料主方向Fig.4 Material principal orientation in yarn

定義第N微段在其局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣為

式中,上標(biāo)L表示微段纖維局部坐標(biāo)系(xL,yL),上標(biāo)F表示纖維束坐標(biāo)系(xF,yF),上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置,H為轉(zhuǎn)換矩陣,其求解公式為

式中

式中

式中θ1代表微段纖維局部坐標(biāo)系與纖維束坐標(biāo)系的夾角,如圖4 所示.在纖維束坐標(biāo)系下,纖維束的等效剛度矩陣可通過對(duì)各微段沿x方向進(jìn)行積分來獲得

1.2 單胞模型

對(duì)于CFRP,在宏觀尺度上選取單胞來表征其宏觀性能.由于平面機(jī)織CFRP 是由經(jīng)紗和緯紗機(jī)織而成,單胞整體的剛度矩陣可根據(jù)各纖維束的平均性能計(jì)算得到,由于經(jīng)紗和緯紗的方向不同,需通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,將纖維束剛度矩陣轉(zhuǎn)化為單胞坐標(biāo)系下的纖維束剛度矩陣

轉(zhuǎn)換矩陣Hunit如下

式中

式中,θ2代表纖維束坐標(biāo)系(xF,yF) 與單胞坐標(biāo)系(xunit,yunit) 的夾角,如圖2 所示.從而可得平紋機(jī)織CFRP 的宏觀剛度陣

式中,Vunit表示單胞的體積,下標(biāo)warp 表示經(jīng)紗,下標(biāo)weft 表示緯紗,表示基體占單胞的體積分?jǐn)?shù).由于紗線是卷曲的,需要對(duì)其沿x方向的長度進(jìn)行積分獲得伸展的纖維束長度,如圖3 所示.經(jīng)緯紗和基體的體積分?jǐn)?shù)可通過式(15)來獲得

通過對(duì)宏觀剛度矩陣進(jìn)行求解,可獲得單胞的彈性模量、剪切模量和泊松比.

1.3 模型驗(yàn)證

本文所制備的平紋機(jī)織CFRP 碳纖維絲和基體材料力學(xué)性能參數(shù)如表1 所示,碳纖維絲選用臺(tái)麗碳纖維TC33,碳纖維以3K 的形式集合成碳纖維束.基體選擇Huntsman 公司的環(huán)氧樹脂,牌號(hào)為LY1564 SP,對(duì)應(yīng)的固化劑牌號(hào)為Aradur 3486,兩者的體積比為5:2.采用真空導(dǎo)入工藝進(jìn)行力學(xué)性能試驗(yàn)所用的平紋機(jī)織CFRP 的成型.通過上述工藝制備得到的CFRP 的密度為1.47 g/cm3.

表1 碳纖維和基體基本力學(xué)性能參數(shù)Table 1 Basic mechanical properties of carbon fiber and matrix

為了從宏觀上探究CFRP 的力學(xué)性能,分別根據(jù)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)ASTM D638[25]和ASTM D7078[26]進(jìn)行平紋機(jī)織CFRP 的軸向拉伸和面內(nèi)剪切試驗(yàn),試驗(yàn)樣件如圖5 所示,尺寸單位為mm.準(zhǔn)靜態(tài)軸向拉伸力學(xué)性能試驗(yàn)使用島津5 t EHF-UM 電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行,準(zhǔn)靜態(tài)面內(nèi)剪切試驗(yàn)采用SUNS 電子萬能試驗(yàn)機(jī).所有試驗(yàn)均采用位移控制方式,并根據(jù)樣件的尺寸設(shè)定加載速率,保證對(duì)應(yīng)的工程應(yīng)變率在0.001 s?1范圍.每種試驗(yàn)均保證測量得到5 個(gè)有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)并取平均值.最終試驗(yàn)得到的宏觀軸向拉伸彈性模量為60.89 GPa,面內(nèi)剪切模量為3.63 GPa.

纖維絲和纖維束的幾何參數(shù)通過對(duì)纖維束界面顯微圖像和Micro-CT 圖像(如圖6 和圖7 所示) 進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可獲得,纖維絲的直徑為d=6.23μm,纖維束的幾何參數(shù)如表2 所示.表中平均值為統(tǒng)計(jì)得到的均值,上下限值為統(tǒng)計(jì)得到的±3σ 置信區(qū)域數(shù)值.纖維絲占纖維束體積分?jǐn)?shù)的均值為65.32%,纖維束占單胞體積分?jǐn)?shù)的均值為67.90%.

圖5 準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能試驗(yàn)樣件Fig.5 Specimens for quasi-static mechanical tests

圖6 纖維束截面顯微圖像Fig.6 Microscopic image of cross section for yarns

圖7 Micro-CT 圖像Fig.7 Micro-CT images

表2 幾何參數(shù)Table 2 Geometric parameters

以各變量的均值為輸入?yún)?shù),經(jīng)過前述的解析模型預(yù)測得到的單向纖維和單胞的確定性力學(xué)性能如表3 所示,通過與有限元仿真結(jié)果的對(duì)比可看出解析法的相對(duì)誤差較小.特別地,解析法得到的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差分別為0.82%和6.33%,預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性.

表3 力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果Table 3 Prediction results of mechanical properties

2 纖維束隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測

本文主要考慮組分材料力學(xué)性能和幾何參數(shù)不確定性對(duì)單向纖維力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果的影響,組分材料的力學(xué)性能參數(shù)和幾何參數(shù)的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)均設(shè)定為具有1%變異系數(shù)的高斯分布.

圖8 平紋機(jī)織CFRP 層級(jí)結(jié)構(gòu)Fig.8 Hierarchical structure of plain woven CFRP

平紋機(jī)織CFRP 的層級(jí)結(jié)構(gòu)如圖8 所示,由于纖維束長軸和短軸既參與體積分?jǐn)?shù)Vf的計(jì)算,又參與了體積分?jǐn)?shù)Vwarp的計(jì)算,屬于跨尺度的共享變量.單向纖維力學(xué)性能輸入包括7 個(gè)組分材料參數(shù)和幾何參數(shù)a,b,各參數(shù)之間相互獨(dú)立,故直接采用混沌多項(xiàng)式方法來進(jìn)行預(yù)測.考慮到單向纖維具有5 個(gè)獨(dú)立的材料參數(shù),分別選擇C11yarn,C22yarn,C12yarn,C23yarn,C66yarn作為纖維束尺度模型力學(xué)性能響應(yīng)輸出.

2.1 混沌多項(xiàng)式展開

PCE 實(shí)質(zhì)上是對(duì)隨機(jī)變量構(gòu)造一個(gè)具有隨機(jī)性的代理模型[27-29].為了描述的方便,設(shè)定X=(E11f,E22f,G11f,G23f,v12f,Em,vm,a,b),其任一元素設(shè)定為X.采用PCE,隨機(jī)響應(yīng)Q的截?cái)嗟腜CE 可以簡潔地表達(dá)如下

式中,δαβ是克羅內(nèi)克符號(hào),E(·) 表示期望算子.式(16)所對(duì)應(yīng)的截?cái)嗉x如下

利用PCE 進(jìn)行不確定性傳遞時(shí),最關(guān)鍵的步驟是求解式(16)中待定的多項(xiàng)式系數(shù)qα,本文采用回歸法求解待定系數(shù),其回歸表達(dá)式為

求解上式得到多項(xiàng)式中的待定系數(shù).基于正交性質(zhì),前四階矩,包括均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ、偏度系數(shù)Cs、峰度系數(shù)Ck可以通過下式結(jié)合多項(xiàng)式系數(shù)獲得.

基于前四階并采用概率分布擬合方法可以獲得響應(yīng)的概率分布.常用的概率分布方法包括最大熵原理,鞍點(diǎn)逼近等[30-32].若偏度系數(shù)約為0,峰度系數(shù)約為3,則可直接假設(shè)該分布服從正態(tài)分布從而得到概率分布.

本文采用留一交叉驗(yàn)證方法來驗(yàn)證所構(gòu)造的PCE 的預(yù)測精度.假設(shè)原始數(shù)據(jù)有N個(gè)樣本,那么每個(gè)樣本單獨(dú)作為驗(yàn)證集,其余的N?1 個(gè)樣本作為驗(yàn)證集.留一交叉驗(yàn)證能充分利用所有樣本,并得到N個(gè)模型,用這N個(gè)模型驗(yàn)證集的相對(duì)誤差平均數(shù)作為驗(yàn)證誤差以評(píng)估模型的精度.

2.2 預(yù)測結(jié)果分析

將PCE 方法應(yīng)用到平紋機(jī)織CFRP 單向纖維的力學(xué)性能預(yù)測中,設(shè)定多項(xiàng)式階數(shù)為3,基于拉丁超立方采樣方法采取原始數(shù)據(jù)集,包含50 個(gè)樣本.預(yù)測得到的結(jié)果及模型驗(yàn)證誤差如表4 所示.

表4 單向纖維力學(xué)性能隨機(jī)預(yù)測結(jié)果Table 4 Stochastic prediction results of mechanical properties for unidirectional fiber

所構(gòu)造的PCE 模型采用留一交叉驗(yàn)證方法來驗(yàn)證模型的精度,由表4 可知,力學(xué)性能參數(shù)預(yù)測模型的交叉驗(yàn)證誤差最高為0.470,模型精度很高.偏度系數(shù)均在0 左右,峰度系數(shù)均在3 左右,說明單向纖維力學(xué)參數(shù)基本服從正態(tài)分布.

3 單胞隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測

單胞尺度下,纖維束預(yù)測得到的力學(xué)性能響應(yīng)屬于同一模型的不同響應(yīng),故不可避免地存在變量相關(guān)性.此外,幾何參數(shù)a,b由于既參與纖維絲占纖維束體積分?jǐn)?shù)Vf的計(jì)算,又參與纖維束占單胞體積分?jǐn)?shù)Vwarp和Vweft的計(jì)算;而Vf又與C11yarn等剛度矩陣元素存在因果關(guān)系,故幾何參數(shù)a,b與C11yarn等剛度矩陣元素之間也存在相關(guān)性.隨機(jī)響應(yīng)預(yù)測過程中若不考慮變量之間的相關(guān)性,會(huì)使得預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)較大的偏離[33].因此,單胞尺度的力學(xué)性能預(yù)測需要充分考慮隨機(jī)參數(shù)之間的相關(guān)性,本文基于Vine Copula 理論首先構(gòu)造相關(guān)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布,然后基于Rosenblatt 轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)相關(guān)樣本至獨(dú)立樣本的轉(zhuǎn)換,最后基于相互獨(dú)立的樣本并采用PCE 來實(shí)現(xiàn)單胞尺度的拉伸彈性模量Ex=Ey,拉伸彈性模量Ez和面內(nèi)剪切模量Gxy,面外剪切模量Gxz=Gyz,泊松比vxy,及vxz=vyz的隨機(jī)預(yù)測,如圖8 所示.

3.1 基于Vine Copula 的相關(guān)性模型構(gòu)建

Copula 函數(shù)能夠建立一元邊緣累積概率分布與多元聯(lián)合分布之間的關(guān)系[34-35],為了描述的方便,設(shè)定Y=(C11yarn,C22yarn,C12yarn,C23yarn,C66yarn,a,b,h,l),其聯(lián)合累積概率分布(cumulative distribution function,CDF)表達(dá)式為

式中,NU為變量個(gè)數(shù),Pr(·) 為累積概率算子.基于Sklar’s 理論,聯(lián)合CDF 可以重構(gòu)成一系列邊緣CDF的函數(shù).

式中,C(·) 表示Copula 函數(shù),當(dāng)所有的邊緣CDF 都是連續(xù)函數(shù)時(shí),Copula 函數(shù)是唯一的; ? 表示Copula參數(shù)向量.式(22)可進(jìn)一步寫成

式中,u為累積概率值向量.Copula 函數(shù)有其對(duì)應(yīng)的Copula 密度函數(shù)

基于式(24)可得聯(lián)合PDF

對(duì)于相關(guān)性測度,本文采用一種非線性測度Kendall 系數(shù)來進(jìn)行描述.相關(guān)模型的構(gòu)建是基于累積概率樣本集,因此原始樣本集需要轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)空間來進(jìn)行相關(guān)模型的構(gòu)造,即Y→U.Copula 理論為多元相關(guān)建模提供了一種合理的方法,但是目前主要針對(duì)二元Copula 函數(shù).隨著維度的增加,構(gòu)造一個(gè)合適的多元Copula 會(huì)變得越來越困難.為了克服上述局限性,采用Vine Copula 來將多元Copula 函數(shù)分解為一系列二元Copula 函數(shù)的組合來構(gòu)造多元相關(guān)模型.分解方法如下

式中,fj|1,2,···,j?1,j=2,3,···NU是邊緣PDF,其可以通過Copula 密度函數(shù)的偏導(dǎo)求得

觀察式(26)不難發(fā)現(xiàn)通過改變分解變量的順序,多元Copula 函數(shù)的分解方式多樣.本文采用基于圖形模型的R-vine 來進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)造[36].該方法通過分析變量之間的相關(guān)系數(shù)并基于最大生成樹方法來確定R-Vine 的結(jié)構(gòu)[37].二元Copula 函數(shù)存在多種形式,如Gumbel Copula,Gaussian Copula,Frank Copula等,且不同函數(shù)存在對(duì)應(yīng)的Copula 參數(shù).分別引入最大似然估計(jì)方法和赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion,AIC)[38]來確定最優(yōu)Copula 參數(shù)和函數(shù).

式中,k?是需要確定的Copula 參數(shù)數(shù)目.通過上述方法的組合可逐步構(gòu)造二元Copula 函數(shù)直到獲得所需要的多元Copula 函數(shù).

3.2 獨(dú)立性轉(zhuǎn)換

基于Vine Copula 理論構(gòu)造相關(guān)性模型后,可通過該模型生成相關(guān)累積概率樣本集u,該樣本集無法直接用于后續(xù)的不確定性分析,故須先通過獨(dú)立性轉(zhuǎn)換方法得到相互獨(dú)立的樣本集.由于最大生成樹方法已經(jīng)確定了Vine Copula 的結(jié)構(gòu),即確定了隨機(jī)變量的轉(zhuǎn)換次序,故此時(shí)采用Rosenblatt 轉(zhuǎn)換會(huì)得到唯一一組獨(dú)立樣本集.轉(zhuǎn)換方法如下

Rosenblatt 轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)了樣本從相關(guān)到獨(dú)立的轉(zhuǎn)換,即進(jìn)一步地采用可得到用于不確定性傳遞的樣本集,其轉(zhuǎn)換表達(dá)式為

3.3 預(yù)測結(jié)果分析

將Vine Copula 理論應(yīng)用到平紋機(jī)織CFRP 單胞尺度力學(xué)性能預(yù)測的相關(guān)模型建模中.具有相關(guān)性的參數(shù)為(C11yarn,C22yarn,C12yarn,C23yarn,C66yarn,a,b),幾何參數(shù)a和b的PDF 已設(shè)定為高斯分布,力學(xué)性能參數(shù)(C11yarn,C22yarn,C12yarn,C23yarn,C66yarn)的PDFs 則已通過纖維束尺度的隨機(jī)預(yù)測獲得.得到的R-Vine樹結(jié)構(gòu)1 如圖9 所示.

圖9 R-Vine 樹結(jié)構(gòu)1Fig.9 R-Vine tree structure 1

為了驗(yàn)證所構(gòu)造的相關(guān)性模型的準(zhǔn)確性,基于該模型產(chǎn)生隨機(jī)樣本并求解得到相關(guān)性系數(shù),該相關(guān)性系數(shù)與原樣本集相關(guān)性系數(shù)進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖10 中相關(guān)性矩陣所示.相關(guān)性矩陣上對(duì)角矩陣的相關(guān)性系數(shù)為原樣本集計(jì)算得到的結(jié)果,下三角矩陣的相關(guān)系數(shù)為Vine Copula 模型計(jì)算得到的結(jié)果.對(duì)比矩陣?yán)锩娴脑乜砂l(fā)現(xiàn)相關(guān)性系數(shù)幾乎一致,絕對(duì)誤差最大僅為0.03,說明構(gòu)造的相關(guān)性模型精度很高.

圖10 相關(guān)性矩陣對(duì)比Fig.10 Comparison of correlation matrix

基于獨(dú)立性轉(zhuǎn)換方法將原樣本集Y轉(zhuǎn)換為用于不確定性傳遞的樣本集,圖11 給出了(C11yarn,C22yarn)在空間Y→U→→轉(zhuǎn)換過程.可以看出,最終獲得了相互獨(dú)立的樣本集.基于該樣本集并采用前述的PCE 方法來實(shí)現(xiàn)平紋機(jī)織CFRP 單胞的力學(xué)性能預(yù)測.設(shè)定多項(xiàng)式階數(shù)為5,預(yù)測得到的結(jié)果如表5 所示.

圖11 樣本集轉(zhuǎn)換過程Fig.11 Transformation of samples

表5 單胞力學(xué)性能隨機(jī)預(yù)測結(jié)果Table 5 Stochastic prediction results of mechanical properties of unit cell

所構(gòu)造的PCE 模型的驗(yàn)證誤差最大為0.080 6,模型精度很高.由于偏度系數(shù)值在0 左右,峰度系數(shù)值在3 左右,說明單胞彈性力學(xué)性能參數(shù)基本服從正態(tài)分布.將單胞力學(xué)性能隨機(jī)預(yù)測結(jié)果與表1 中的確定性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),隨機(jī)預(yù)測結(jié)果的均值與確定性結(jié)果基本一致,這說明了平紋機(jī)織CFRP 軸向拉伸彈性模量和面內(nèi)剪切模量的多尺度模型非線性程度較低,使得隨機(jī)預(yù)測結(jié)果的均值相對(duì)于確定性結(jié)果波動(dòng)較小; 也從側(cè)面證明了傳統(tǒng)確定性方法實(shí)際上就是基于隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行分析.此外,通過計(jì)算得到隨機(jī)預(yù)測結(jié)果的變異系數(shù)分別為1.64%,2.02%,2.32%,2.63%,1.38%,1.13%相比較于輸入?yún)?shù)1%的變異系數(shù)來說均有所提高,表明不確定性相互耦合且傳遞之后會(huì)對(duì)隨機(jī)預(yù)測結(jié)果的方差產(chǎn)生放大的影響.

4 結(jié)論

本文針對(duì)現(xiàn)有平紋機(jī)織CFRP 力學(xué)性能預(yù)測研究中的考慮隨機(jī)參數(shù)不夠全面,不確定性傳遞方法大多具有局限性以及對(duì)隨機(jī)參數(shù)之間的相關(guān)性考慮不夠充分等問題,提出一種基于PCE 和Vine Copula的平紋機(jī)織CFRP 隨機(jī)力學(xué)性能多尺度預(yù)測方法.具體工作與結(jié)論如下:

(1)該方法綜合考慮了平紋機(jī)織CFRP 微觀及介觀尺度的材料、結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù),基于層級(jí)傳遞的策略逐尺度地研究了力學(xué)性能參數(shù)的不確定性.本方法從根源上量化了不確定性,并逐尺度地揭示了參數(shù)的不確定性對(duì)各尺度力學(xué)性能的影響作用.

(2)隨機(jī)力學(xué)性能預(yù)測結(jié)果表明,所構(gòu)造的各尺度PCE 模型的交叉驗(yàn)證誤差均很低,說明非嵌入式PCE 方法能夠準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)各尺度力學(xué)性能的隨機(jī)預(yù)測.同時(shí),由于PCE 模型能夠解析地給出預(yù)測結(jié)果的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度系數(shù)和峰度系數(shù),能夠進(jìn)一步得到參數(shù)的PDF.

(3)該方法在預(yù)測過程中充分考慮了隨機(jī)變量之間的高維相關(guān)性,基于Vine Copula 方法和Rosenblatt轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)了對(duì)相關(guān)性的建模與轉(zhuǎn)換.相關(guān)性矩陣中系數(shù)之間的絕對(duì)誤差最大為0.03,表明所構(gòu)造的相關(guān)性模型能夠很好地反映原數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性;而Rosenblatt 轉(zhuǎn)換與所構(gòu)造的相關(guān)性模型相結(jié)合則能夠很好地實(shí)現(xiàn)樣本集的獨(dú)立性轉(zhuǎn)換.