泡沫鋁本構(gòu)行為研究進(jìn)展1)

賈 然 趙桂平

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

引言

多孔材料(cellular materials) 是一種由形成孔穴(cell,也稱(chēng)胞孔) 的棱邊和壁面所組成的相互連接的網(wǎng)絡(luò)體,其相對(duì)密度一般小于0.3,孔隙率一般大于0.7[1].自然界中存在種類(lèi)繁多的多孔材料,例如骨骼、蜂窩、軟木等,如圖1 所示.隨著生產(chǎn)工藝的進(jìn)步,人們已經(jīng)能夠生產(chǎn)各式各樣的多孔材料,如泡沫金屬[2]、泡沫陶瓷[3]、泡沫聚合物[4]、金屬蜂窩結(jié)構(gòu)[5-6]、點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)[7]等,范圍覆蓋正泊松比及負(fù)泊松比[8].

圖1 自然界中的多孔材料[9]Fig.1 Cellular materials in nature[9]

作為泡沫金屬的重要分支,泡沫鋁是以鋁(或鋁合金) 為基材,由包含金屬和孔洞的復(fù)合結(jié)構(gòu)所構(gòu)成,如圖2 所示.從胞孔結(jié)構(gòu)上看泡沫鋁可分為兩類(lèi)[10-11]:開(kāi)孔泡沫鋁、閉孔泡沫鋁.泡沫鋁兼具多孔材料和金屬材料的特點(diǎn),是一種結(jié)構(gòu)和功能一體化的新型材料.作為結(jié)構(gòu)材料,泡沫鋁具有高比強(qiáng)度、高比剛度、高效吸能等特點(diǎn);作為功能性材料,泡沫鋁具有隔聲、隔熱、阻燃、減震、電磁屏蔽等特性.

圖2 泡沫鋁材料[12]Fig.2 Aluminum foam[12]

與傳統(tǒng)的鋁或鋁合金等致密金屬材料相比,泡沫鋁具有明顯的不同特性,前者在塑性階段幾乎不可壓縮,因此單軸壓縮試樣在大應(yīng)變時(shí)表現(xiàn)出體積守恒的橫向膨脹,而泡沫鋁具有明顯的體積可壓縮特性[13].存在這種差異的主要原因是泡沫鋁自身特殊的孔隙結(jié)構(gòu),因此泡沫鋁的材料特性及力學(xué)性能表征也主要圍繞其孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行.一般來(lái)說(shuō),主要有以下幾個(gè)參數(shù)或特征:

(1)相對(duì)密度或孔隙率;

(2)孔徑大小及其不均勻性[14];

(3)胞孔形狀及其不規(guī)則度[15].

作為材料參數(shù),相對(duì)密度、孔隙率的表達(dá)形式已為大家熟知.其中,孔隙率的計(jì)算公式

式中,θ 為材料孔隙率,Vo為材料總體積,Vp為材料中孔隙所占體積,Vs為材料中致密基材所占體積.相對(duì)密度與孔隙率之間的關(guān)系為

式中,ρr為材料相對(duì)密度,ρ?為材料表觀密度,ρs為材料致密基材密度.

1 泡沫鋁試驗(yàn)研究進(jìn)展

為明確各參數(shù)(孔隙率、相對(duì)密度、孔徑等)對(duì)泡沫鋁本構(gòu)模型的影響,確定本構(gòu)模型關(guān)鍵參數(shù),進(jìn)而建立準(zhǔn)確可靠的本構(gòu)模型,人們對(duì)泡沫鋁進(jìn)行了單軸壓縮、單軸拉伸、扭轉(zhuǎn)、靜水壓縮、三軸比例壓縮、動(dòng)態(tài)單軸壓縮、分離式霍普金森桿(SHPB)撞擊及三點(diǎn)彎曲等多種載荷條件下的試驗(yàn)研究,如圖3及表1 所示.

總體來(lái)說(shuō),已有的試驗(yàn)研究可按以下性質(zhì)分類(lèi):

(1)加載方向:單軸加荷、雙軸加荷、三軸比例加荷以及靜水加荷;

(2)加載方式:壓縮、拉伸、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)及簡(jiǎn)單的復(fù)合加載;

(3)加載速率:靜態(tài)、準(zhǔn)靜態(tài)、動(dòng)態(tài).

圖3 泡沫鋁試驗(yàn)載荷種類(lèi)示意[16]Fig.3 Types of aluminum foam test loads[16]

表1 泡沫鋁本構(gòu)行為試驗(yàn)研究列表Table 1 Experimental study on constitutive behavior of aluminum foams

在以泡沫鋁本構(gòu)模型構(gòu)建為導(dǎo)向的試驗(yàn)研究中,人們進(jìn)行最多也最成功的是單軸壓縮及拉伸試驗(yàn).Harte 等[17-18]在試驗(yàn)中觀察到Alporas 和Duocel 兩種泡沫鋁的單軸拉伸屈服強(qiáng)度與單軸壓縮屈服強(qiáng)度近似相等,這對(duì)陳常青等[19-21]的本構(gòu)模型構(gòu)建產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響,以上述為代表的本構(gòu)方程的函數(shù)形狀在平均應(yīng)力?有效應(yīng)力平面上關(guān)于有效應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng).以Miller 等[13,22]為代表的學(xué)者則認(rèn)為泡沫鋁拉伸、壓縮屈服強(qiáng)度的差異性不能忽略,因此提出了函數(shù)形狀在平均應(yīng)力?有效應(yīng)力平面上關(guān)于有效應(yīng)力軸非對(duì)稱(chēng)的本構(gòu)方程.

由于泡沫鋁材料受壓時(shí)表現(xiàn)出良好的吸能特性,引起人們對(duì)其動(dòng)態(tài)壓縮性能的關(guān)注,并開(kāi)展了大量的沖擊載荷、爆炸載荷等動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn).在此過(guò)程中,大家對(duì)泡沫鋁的吸能機(jī)理有了深入的認(rèn)識(shí),也推進(jìn)了泡沫鋁在相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用.泡沫鋁動(dòng)態(tài)性能試驗(yàn)的加載設(shè)備也從傳統(tǒng)的材料試驗(yàn)機(jī)發(fā)展到落錘試驗(yàn)機(jī)、雙擺沖擊裝置[23]、分離式霍普金森桿(SHPB)[24]、高速動(dòng)力加載系統(tǒng)[25]等,實(shí)現(xiàn)了各種應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)加載.在相關(guān)研究的基礎(chǔ)上,學(xué)者們提出了多種泡沫鋁高應(yīng)變率一維本構(gòu)模型[26-36].

在單軸拉、壓試驗(yàn)的同時(shí),三軸壓縮試驗(yàn)也得到了進(jìn)一步的發(fā)展.泡沫鋁三軸壓縮邊界條件主要通過(guò)兩種方式實(shí)現(xiàn):(1)圍壓裝置,(2)三軸加載儀.

圍壓裝置可分為主動(dòng)圍壓裝置[31]和被動(dòng)圍壓裝置[37].前者通過(guò)液壓設(shè)備,提供大小可控的圍壓,如圖4(a)所示;后者采用圓形或者方形的套筒(鋼制或其他),通過(guò)限制泡沫鋁受壓時(shí)的橫向變形,被動(dòng)的提供圍壓,如圖4(b)所示.

主動(dòng)圍壓裝置所用試件需密封處理.Deshpand與Fleck[20]采用鋁墊片(厚度25 μm) 及橡膠薄膜包裹試件,然后用楔形結(jié)構(gòu)密封,如圖5 所示,首次成功進(jìn)行了三軸壓縮試驗(yàn),并提出了經(jīng)典的自相似模型(self-similar model)及微分強(qiáng)化模型(differential hardening model).Ruan 等[38]利用主動(dòng)圍壓裝置對(duì)泡沫鋁多軸加載下的初始屈服面進(jìn)行測(cè)試,發(fā)現(xiàn)Deshpand 和Fleck 提出的自相似模型受塑性泊松比影響嚴(yán)重,認(rèn)為獲得準(zhǔn)確的塑性泊松比十分重要.被動(dòng)圍壓裝置與SHPB 結(jié)合,可以實(shí)現(xiàn)泡沫鋁的動(dòng)態(tài)三軸加載,如圖6 所示,王二恒等[39-40]采用這種方式,對(duì)Chen-Lu 本構(gòu)進(jìn)行了應(yīng)用驗(yàn)證.

圖4 圍壓裝置Fig.4 Confining pressure device

圖5 試件密封組裝[20]Fig.5 Sealed assembly of test pieces[20]

圖6 泡沫鋁動(dòng)態(tài)三軸加載示意圖[39-40]Fig.6 Schematic of dynamic triaxial loading of aluminum foam[39-40]

相較于圍壓裝置,三軸加載儀通過(guò)復(fù)雜的傳動(dòng)設(shè)計(jì)及液壓伺服控制,使泡沫鋁在三個(gè)方向獨(dú)立受壓,可以實(shí)現(xiàn)更加復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài),但是其傳動(dòng)機(jī)構(gòu)復(fù)雜,加載速度與行程受限.此外,部分三軸加載儀所用試件需要特殊處理.Shafiq 等[41]設(shè)計(jì)的三軸加載儀如圖7 所示.Combaz 等[42]利用三軸加載儀研究了開(kāi)孔泡沫鋁拉伸和壓縮下的初始屈服面,并提出屈服面取決于第一、第二及第三應(yīng)力張量不變量的觀點(diǎn).

圖7 三軸加載儀(拉壓)[41]Fig.7 Triple loader(tension and compression)[41]

在泡沫鋁多軸加載的實(shí)驗(yàn)研究中,其雙軸加載得到了較好的實(shí)現(xiàn).Wu 等[43]采用如圖8 所示的MTS 雙軸試驗(yàn)機(jī)對(duì)泡沫鋁進(jìn)行了雙軸加載試驗(yàn),尤其是雙軸拉伸數(shù)據(jù)的采集,為泡沫鋁屈服面的研究及本構(gòu)模型的驗(yàn)證工作提供了重要依據(jù).

為了對(duì)泡沫鋁的抗剪性能有深入的認(rèn)識(shí),專(zhuān)家們還對(duì)泡沫鋁進(jìn)行了剪切、扭轉(zhuǎn)、拉伸?扭轉(zhuǎn)、壓縮?剪切及拉伸?剪切等試驗(yàn).Ashby 等[44]通過(guò)圖9所示原理的裝置,測(cè)試了泡沫金屬的剪切強(qiáng)度.Blazy等[45]基于拉伸裝置,增加扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu),研發(fā)了拉伸?扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)裝置,對(duì)泡沫鋁進(jìn)行了拉伸?扭轉(zhuǎn)試驗(yàn).Doyoyo 等[46]及Zhou 等[47]基于Arcan 裝置[48]的改進(jìn)設(shè)備(圖10),對(duì)泡沫鋁進(jìn)行了壓縮?剪切、拉伸?剪切試驗(yàn).通過(guò)對(duì)SHPB 裝置及落錘試驗(yàn)機(jī)的改造,崔云霄等[49-50]實(shí)現(xiàn)了雙試件的沖擊壓剪加載,如圖11(a)所示; Sun 等[51]實(shí)現(xiàn)了單個(gè)試件的沖擊壓剪,如圖11(b)所示,葉福慶等[52]以此試驗(yàn)裝置為參考,對(duì)泡沫鋁的動(dòng)態(tài)壓剪性能進(jìn)行了數(shù)值研究.

圖8 MTS 雙軸試驗(yàn)機(jī)[43]Fig.8 MTS biaxial testing machine[43]

圖9 剪切試驗(yàn)原理圖[44]Fig.9 Schematic of shear test[44]

圖10 改進(jìn)的Arcan 裝置[53]Fig.10 Improved Arcan device[53]

圖11 沖擊壓剪試驗(yàn)裝置示意圖Fig.11 Schematic diagram of impact compression shear test device

在對(duì)泡沫鋁力學(xué)性能的試驗(yàn)研究中,采用合理的試驗(yàn)方法,準(zhǔn)確觀測(cè)其在各種邊界條件下的變形是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.為了觀察到泡沫鋁在高速?zèng)_擊載荷下的變形過(guò)程,楊寶等[54]將高速攝影技術(shù)引入泡沫鋁SHPB 試驗(yàn)中.由于泡沫鋁試件的外表面并不平整,接觸式測(cè)量方式(應(yīng)變片或機(jī)械引伸計(jì)) 存在諸多困難.為了準(zhǔn)確獲得泡沫鋁試驗(yàn)過(guò)程的形貌特征及變形數(shù)據(jù),程潔[55]、Schüler 等[56]將三維數(shù)字圖像技術(shù)(3D digital image correlation,3D DIC) 引入試驗(yàn)研究中.此外,為了研究泡沫鋁變形時(shí)內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律,汪敏等[57]將同步輻射X 射線計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)(synchrotron X-ray computed tomography,SXR-CT)引入到泡沫鋁的壓縮試驗(yàn)中.

通過(guò)大量且系統(tǒng)的試驗(yàn)研究,人們獲取了豐富的數(shù)據(jù),對(duì)泡沫金屬變形機(jī)理及力學(xué)特性的認(rèn)識(shí)逐漸加深.這為泡沫鋁本構(gòu)模型的研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2 有限元數(shù)值分析研究進(jìn)展

2.1 細(xì)觀模型研究現(xiàn)狀

泡沫鋁的另一個(gè)重要特點(diǎn)是其細(xì)觀組織結(jié)構(gòu)尺度在亞毫米或毫米級(jí)別,容易辨識(shí),因此建立合適的細(xì)觀模型,采用有限元軟件來(lái)研究泡沫鋁的力學(xué)性能,并服務(wù)于泡沫鋁本構(gòu)模型的構(gòu)建及驗(yàn)證工作,是一種常用的方法.

在有限元數(shù)值分析中,學(xué)者們提出了多種代表性體積單元(representative volume element,RVE)[58],用來(lái)表征泡沫鋁復(fù)雜的幾何構(gòu)型.總的來(lái)說(shuō),這些模型可以劃分為3 類(lèi)[57]:球體幾何模型(geometric model)、結(jié)構(gòu)模型(structural model)和離散模型(discrete model),如表2 所示[59].

表2 閉孔泡沫鋁有限元模型[59]Table 2 Finite element model of closed-cell aluminum foam[59]

球體幾何模型通常采用球或橢球形來(lái)表示泡沫鋁的孔結(jié)構(gòu),球形胞孔常采用規(guī)則分布[60-61],如簡(jiǎn)單立方(primitive cubic)、體心立方(body centered cubic)及面心立方(face centered cubic); 橢球形胞孔一般會(huì)施加不用程度的隨機(jī)擾動(dòng),使胞孔的空間分布呈現(xiàn)不規(guī)則性,此外橢球形胞孔的尺寸也常表現(xiàn)出一定的不均勻性[62].幾何模型和高相對(duì)密度的球形胞孔泡沫鋁具有較高的相似度.

結(jié)構(gòu)模型用殼(shell)單元或梁(beam)單元來(lái)構(gòu)造胞孔的孔壁或棱,其模型構(gòu)造形式有Kelvin 十四面體模型[63]、高斯隨機(jī)場(chǎng)模型[64]、十字形錐體模型[65]、十字形半球模型、切角立方體模型、球面立方模型[66]、橢球立方模型[67]、橢球金字塔模型[68]、球體三角形模型[69]及Voronoi 模型[14,70-71]等.在有限元軟件中,梁?jiǎn)卧俣ㄆ溟L(zhǎng)度遠(yuǎn)大于另外兩維尺寸,殼單元假定其厚度遠(yuǎn)小于另外兩維尺寸[72],因此,結(jié)構(gòu)模型僅適用于低相對(duì)密度泡沫鋁的數(shù)值分析.

結(jié)構(gòu)模型種類(lèi)繁多,實(shí)際使用中常與幾何模型組合使用,產(chǎn)生了眾多混合模型.混合模型可適用于高相對(duì)密度及低相對(duì)密度泡沫鋁的數(shù)值分析[73].因此,其應(yīng)用愈來(lái)愈廣泛.

離散模型(也稱(chēng)逆向重構(gòu)模型)基于Micro CT 斷層掃描技術(shù)構(gòu)建,可更加真實(shí)地反應(yīng)泡沫鋁(或其他多孔材料)內(nèi)部胞孔的形狀及分布.離散模型的數(shù)據(jù)與試驗(yàn)結(jié)果有良好的吻合度,但是其建模過(guò)程復(fù)雜(圖12),模型計(jì)算量巨大.隨著建模技術(shù)的不斷成熟,越來(lái)越多的研究人員將其運(yùn)用到泡沫鋁(尤其是閉孔泡沫鋁)力學(xué)性能及本構(gòu)模型的研究中.

2.2 數(shù)值分析研究現(xiàn)狀

相較于試驗(yàn)研究,有限元數(shù)值分析在參數(shù)控制、加載方式及邊界條件的實(shí)現(xiàn)上,有巨大的優(yōu)勢(shì).泡沫鋁試件由于制備工藝的局限不可避免地存在分散性(或無(wú)序性)[1,10],包括胞孔形狀、孔壁厚度、孔徑及內(nèi)部缺陷等在泡沫鋁試件中分布的無(wú)序性,使得試驗(yàn)結(jié)果有很大的離散性,同時(shí),試驗(yàn)中無(wú)法清楚觀測(cè)到試件高速變形的過(guò)程.這些是泡沫鋁本構(gòu)模型的試驗(yàn)研究和驗(yàn)證工作的主要困難之一.數(shù)值分析中,可以根據(jù)研究對(duì)象和目的,選取球體幾何模型(geometric model)、結(jié)構(gòu)模型(structural model)或離散模型(discrete model)[58]等,合理設(shè)置和控制胞孔形狀、孔壁厚度、孔徑、孔隙率及內(nèi)部缺陷等相關(guān)參數(shù)[9,14-15],實(shí)現(xiàn)參數(shù)的精準(zhǔn)控制,進(jìn)而減輕或消除泡沫鋁分散性的影響.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)一定的技術(shù)手段,研究人員實(shí)現(xiàn)了對(duì)泡沫鋁各種加載速度(或應(yīng)變率)、加載方式及邊界條件的數(shù)值分析,包括單軸加載、側(cè)面耦合單軸加載、雙軸加載、三軸比例加載、三軸靜水加載及其他特殊的邊界條件.對(duì)泡沫鋁的宏觀性能和細(xì)觀結(jié)構(gòu)、孔壁材料性能之間的關(guān)系,包括楊氏模量、體積模量、屈服強(qiáng)度、塑性泊松比、屈服面及其強(qiáng)化規(guī)律等,有了更深入的認(rèn)識(shí).

圖12 閉孔泡沫鋁三維影像重構(gòu)過(guò)程示例[59]Fig.12 Example of closed-cell foam aluminum 3D image reconstruction process[59]

Grenestedt 等[74]使用Kelvin 模型研究了孔壁厚度對(duì)閉孔泡沫材料彈性剛度的影響.Youssef 等[75]通過(guò)逆向重構(gòu)模型研究了多孔材料壓縮過(guò)程中的初始組織和局部變形機(jī)理.Bardenhagen 等[76-77]采用物質(zhì)點(diǎn)法模擬了開(kāi)孔泡沫材料致密化的過(guò)程,并分析了其物理特性.Demiray 等[78]對(duì)開(kāi)孔泡沫材料的初始及后繼屈服面進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.劉耀東等[79]對(duì)多孔金屬速率敏感性進(jìn)行了數(shù)值研究.宋延澤等[63]基于十四面體模型對(duì)閉孔泡沫材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行了有限元分析.Marcadon 與Feyel[80]采用空心球堆疊模型,討論了模型結(jié)構(gòu)體系及其對(duì)本構(gòu)方程的影響.Giorgi 等[81]對(duì)比分析了Kelvin 十四面體及不規(guī)則分布橢球兩種胞元結(jié)構(gòu)對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果的影響.

Machado 等[82]將無(wú)網(wǎng)格伽遼金算法(elementfree Galerkin method) 引入到泡沫材料的力學(xué)性能研究中,并將ABAQUS 中體積強(qiáng)化可壓縮本構(gòu)模型的屈服面演化與ABAQUS 中各向同性強(qiáng)化可壓縮模型的非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則組合應(yīng)用,捕捉到了更高的變形和變形梯度.宮偉偉[83]將自相似模型引進(jìn)到物質(zhì)點(diǎn)法程序中,并加入了失效準(zhǔn)則,用于模擬泡沫鋁的動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn).Zhang 等[84]基于3D Voronoi 技術(shù),分析了閉孔泡沫金屬材料的倒塌與斷裂行為的細(xì)觀力學(xué)表現(xiàn).張健等[59,85]采用逆向重構(gòu)泡沫鋁模型,確定了三種本構(gòu)模型的材料參數(shù),并驗(yàn)證了其在多軸載荷下屈服面演化的適用性.

張樂(lè)等[86]、王長(zhǎng)峰等[87]及張健等[59,85]分別在Kelvin 模型、3D Voronoi 模型及泡沫金屬逆向重構(gòu)模型的壓縮過(guò)程中觀察到泡沫鋁的塑性泊松比呈現(xiàn)倒S 形走勢(shì),張健等[59,85-86]提出了平均塑性泊松比的概念.范志庚等[88]用三維隨機(jī)有限元模型模擬閉孔泡沫鋁,發(fā)現(xiàn)在中、低應(yīng)變率下,泡沫鋁材料率相關(guān)性能主要取決于其基體材料的應(yīng)變率敏感性,高應(yīng)變率下,泡沫鋁材料率相關(guān)性能受基體材料的應(yīng)變率敏感性以及微結(jié)構(gòu)慣性聯(lián)合作用.

隨著研究的深入和建模技術(shù)的發(fā)展,采用離散模型進(jìn)行泡沫鋁本構(gòu)行為的數(shù)值分析研究逐漸成為一大研究趨勢(shì).Jeon 等[89]采用離散模型對(duì)閉孔泡沫鋁的塑性破壞行為進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)塑性應(yīng)變局部帶的塑性鉸是引起泡沫鋁塑性破壞的主要原因.張健等[85](2015) 采用逆向重構(gòu)模型,確定了3 個(gè)有代表性的泡沫鋁本構(gòu)模型的本構(gòu)參數(shù),并對(duì)其在單軸壓縮和靜水壓縮下的模型屈服面準(zhǔn)確性進(jìn)行了評(píng)估.李侯貞強(qiáng)等[90]基于映射網(wǎng)格思想,提出一種建立閉孔泡沫鋁三維離散模型的簡(jiǎn)化方法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)泡沫鋁試件在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)壓縮下的受力、變形與破壞過(guò)程更加詳細(xì)的模擬分析.雖然基于Micro-CT 斷層掃描技術(shù)的離散模型建模復(fù)雜,中間處理步驟繁多且往往需借助于多套大型商業(yè)軟件來(lái)實(shí)施,但是其可最大程度還原泡沫鋁的胞孔形態(tài)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征,具有其他模型無(wú)法比擬的仿真程度,因而備受青睞.

通過(guò)商業(yè)化有限元軟件(包括ANSYS、ABAQUS、LS-DYNA 等)及非商業(yè)開(kāi)源軟件提供的數(shù)據(jù)接口,人們開(kāi)發(fā)了多種描述多孔材料性能的本構(gòu)子程序,極大提高了分析效率并簡(jiǎn)化了操作流程,同時(shí)也為泡沫鋁在工程項(xiàng)目中的應(yīng)用帶來(lái)了方便,推動(dòng)了眾多內(nèi)置于有限元軟件的數(shù)值分析模型的誕生.Reyes等[91]通過(guò)增加單元?jiǎng)h除準(zhǔn)則來(lái)模擬斷裂和失效,同時(shí)考慮材料質(zhì)量的非均勻分布,并通過(guò)用戶子程序?qū)⑵渲踩胗邢拊浖﨤S-DYNA 中.Shahbeyk 等[92]針對(duì)自相似模型編制了ABAQUS 的VUMAT 接口子程序,研究了泡沫金屬填充鋁管的壓潰性能.羅紹鴻[12]以自相似模型為基礎(chǔ),增加材料破壞準(zhǔn)則,利用ABAQUS 平臺(tái)開(kāi)發(fā)了一套包含彈塑性分析和破壞特征描述的泡沫鋁VUMAT 程序.為描述高孔隙率泡沫鋁的應(yīng)變率效應(yīng),寇玉亮等[94]建立了一種率相關(guān)的橫觀各向同性泡沫鋁本構(gòu)模型,開(kāi)發(fā)了基于ABAQUS 平臺(tái)的VUMAT 子程序,并采用一個(gè)單元和多個(gè)單元驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的收斂和穩(wěn)定性.張健[59]基于各向同性可壓縮泡沫本構(gòu)模型框架,采用特征應(yīng)變、兩參數(shù)對(duì)稱(chēng)屈服面、體積強(qiáng)化和非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,加入破壞準(zhǔn)則,建立了閉孔泡沫鋁的唯象本構(gòu)模型,并編寫(xiě)了ABAQUS 的VUMAT 接口子程序.

采用有限元數(shù)值方法研究泡沫鋁材料本構(gòu)關(guān)系也有其局限性.首先是數(shù)值分析計(jì)算精確性的問(wèn)題.不同軟件、模型、邊界條件等眾多因素,都會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果的精確度造成影響.其次,是計(jì)算效率問(wèn)題.由于泡沫鋁材料本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,為了得到可靠的分析結(jié)果,人們往往傾向于選用簡(jiǎn)化程度較低的模型,進(jìn)而導(dǎo)致其計(jì)算效率降低.為了提高計(jì)算效率,在數(shù)值分析中常采用質(zhì)量縮放(mass scaling)、對(duì)稱(chēng)性邊界條件等[95-96]技術(shù)手段.最后,雖然在有限元軟件中各種載荷邊界條件相對(duì)于試驗(yàn)更容易實(shí)現(xiàn),但是,泡沫鋁的三軸比例加載(加載比例為1:1:x)及非比例加載(加載比例為1:x:y)依舊存在大變形下的應(yīng)力比例難以維持恒定的問(wèn)題[59].

3 現(xiàn)有本構(gòu)模型概述

泡沫鋁在宏觀上具有非線性大變形、體積可壓縮、拉壓不對(duì)稱(chēng)和應(yīng)變率相關(guān)等復(fù)雜特性.以大量的試驗(yàn)研究、數(shù)值模擬及理論分析為基礎(chǔ),人們建立了不同的本構(gòu)模型來(lái)表征泡沫鋁的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系,并確定了一些關(guān)鍵本構(gòu)參數(shù)(楊氏模量、塑性泊松比、壓縮及拉伸屈服強(qiáng)度等) 與泡沫鋁材料參數(shù)之間的關(guān)系.其中,有些模型最初并非是針對(duì)泡沫鋁材料建立,但是通過(guò)相關(guān)的試驗(yàn)研究和數(shù)值分析,發(fā)現(xiàn)其對(duì)泡沫鋁具有較好的適用性,因此被一些學(xué)者用于泡沫鋁力學(xué)性能及本構(gòu)模型的研究中.

3.1 一維本構(gòu)模型概述

一維本構(gòu)模型主要用于分析泡沫鋁的動(dòng)態(tài)壓縮行為及吸能性能.應(yīng)力增強(qiáng)和變形局部化是泡沫鋁在動(dòng)態(tài)壓縮下最明顯的兩個(gè)特征,基于此專(zhuān)家們提出了一系列的一維本構(gòu)模型.

Reid 和Penguin[35]對(duì)木材在沖擊載荷下的力學(xué)性能進(jìn)行研究后,提出了R-P-P-L (rigid-perfectly plastic-locking) 模型,Tan 等[33,42]基于該模型預(yù)估了泡沫鋁在工程設(shè)計(jì)中的一階近似動(dòng)態(tài)響應(yīng),Main等[31,35]通過(guò)該模型定量表征了泡沫鋁在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)壓潰行為.R-P-P-L 模型核心參數(shù)動(dòng)態(tài)塑性壓潰應(yīng)力σd與密實(shí)應(yīng)變?chǔ)臘的關(guān)系式為

式中,σqs為準(zhǔn)靜態(tài)塑性壓潰應(yīng)力,ρ0為材料初始表觀密度,Vi為初始沖擊速度.

Tan 等[30]認(rèn)為泡沫鋁在壓縮吸能中經(jīng)歷的塑性變形遠(yuǎn)大于彈性變形,因而可以忽略其彈性變形,采用R-P-P(rigid-perfectly plastic)模型來(lái)表征其壓縮行為更簡(jiǎn)便.

Lopatnikov 等[32,97-98]認(rèn)為泡沫鋁在壓縮吸能中經(jīng)歷的彈性變形不能忽略,采用E-P-P-R (elasticperfectly plastic-rigid) 模型和 E-P-R (elastic-plasticrigid)模型來(lái)研究泡沫鋁的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為,體現(xiàn)泡沫金屬?gòu)椥宰冃坞A段對(duì)低速?zèng)_擊響應(yīng)的影響.E-P-P-R模型關(guān)鍵參數(shù)臨界應(yīng)力,即名義應(yīng)力?應(yīng)變曲線中線彈性階段與準(zhǔn)平臺(tái)階段(quasi-plateau region)的切線交點(diǎn)[32,35],其表達(dá)式為

式中,E0為彈性模量,εmax為最大理論應(yīng)變,由泡沫金屬的相對(duì)密度ρr確定,即εmax=1 ?ρr,為泡沫金屬準(zhǔn)靜態(tài)壓縮時(shí)的單位體積能.E-P-R 模型關(guān)鍵參數(shù)最大理論應(yīng)力σmax與塑性模量EP的表達(dá)式分別為

式中,σcr為模型臨界應(yīng)力,εcr為臨界應(yīng)變.

Pattofatto 等[28,99]和Harrigan 等[100]分別用R-PLH (rigid-power law hardening) 模型和E-P-P-H(elastic-perfectly plastic-hardening) 模型研究泡沫金屬的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為.R-PLH 模型的表達(dá)式為

式中,σ0為初始?jí)簼?yīng)力,K為強(qiáng)度指標(biāo),n為應(yīng)變硬化指數(shù).

Zheng 等[101]提出用R-LHP-L(rigid-linearly hardening plastic-locking) 模型研究泡沫金屬在沖擊模式和過(guò)渡模式下的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為,成功預(yù)測(cè)并給出了泡沫金屬3 種變形模式(均勻模式、過(guò)渡模式和沖擊模式)臨界速度,為R-P-P-L 模型補(bǔ)充了解析解.

Wang 等[29]考慮應(yīng)變率效應(yīng)的影響,使用D-RLHP-L (dynamic-rigid-linear hardening plastic-locking)模型和D-R-P-P-L (dynamic-rigid-perfectly plastic-locking)模型研究了泡沫金屬桿內(nèi)塑性波或沖擊波產(chǎn)生的臨界速度和能量守恒條件.

Zheng 等[26-27]分別用R-PH (rigid-plastic hardening)模型和D-R-PH(dynamic-rigid-plastic hardening)模型表征了泡沫金屬的準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力?應(yīng)變曲線和沖擊模式下的應(yīng)力?應(yīng)變曲線,得到了泡沫金屬完整的動(dòng)態(tài)應(yīng)力?應(yīng)變狀態(tài)曲線,并且發(fā)現(xiàn)D-R-PH 模型能夠更好地預(yù)測(cè)沖擊速度足夠高時(shí)的沖擊波速.R-PH模型的表達(dá)式為

式中,σ0為初始?jí)簼?yīng)力,C為應(yīng)變硬化參數(shù).

3.2 一維本構(gòu)模型總結(jié)

以是否忽略泡沫鋁在壓縮變形過(guò)程中的彈性變形為標(biāo)準(zhǔn),可以將一維本構(gòu)模型分為兩大類(lèi).R-P-P模型、R-P-P-L 模型及R-PLH 模型等忽略了泡沫鋁壓縮過(guò)程中的彈性變形階段,因而適用于高相對(duì)密度、高剛度的泡沫鋁材料;而低相對(duì)密度、低剛度的泡沫鋁材料的彈性階段相對(duì)較長(zhǎng),因此更宜選取E-P-P-R模型、E-P-R 模型或E-P-P-H 模型.

對(duì)于含有鎖定(locking) 的一維模型,其關(guān)鍵參數(shù)鎖定應(yīng)變(即壓實(shí)應(yīng)變) 的確定有多種方法.Gibson 和Ashby[1]將多孔材料應(yīng)力?應(yīng)變曲線中切線模量等于彈性模量的位置所確定的應(yīng)變作為鎖定應(yīng)變,并給出了鎖定應(yīng)變與材料相對(duì)密度的線性關(guān)系.Reid 和Peng[35]將準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力?應(yīng)變曲線中平臺(tái)階段和密實(shí)階段切線的交點(diǎn)位置所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變作為壓實(shí)應(yīng)變.Tan 等[102]采用能量吸收效率法確定鎖定應(yīng)變,這種方法一定程度上避免了人為選擇的隨意性,因而被廣泛應(yīng)用.雖然已經(jīng)有了一些確定鎖定應(yīng)變的方法,但是,其不唯一性依舊是阻礙含有鎖定的一維模型應(yīng)用的一個(gè)問(wèn)題.

事實(shí)上,泡沫鋁應(yīng)力?應(yīng)變曲線密實(shí)階段是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程,基于這個(gè)認(rèn)識(shí),學(xué)者們提出了更加符合實(shí)際的一維模型,以考慮非線性塑性硬化行為,這是目前一維本構(gòu)模型的一個(gè)主要發(fā)展方向.

一維模型中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的模型占比較少,明確率效應(yīng)對(duì)泡沫鋁一維本構(gòu)模型的影響,將其引入一維本構(gòu)模型中,也是一個(gè)十分重要的研究方向.Wang 等[29],Ding 等[26-27]在這方便的研究工作具有很好的參考意義.

3.3 三維本構(gòu)模型概述

在工程上泡沫鋁越來(lái)越多地被用于各種多軸載荷的復(fù)雜工況.泡沫鋁自身復(fù)雜的結(jié)構(gòu),導(dǎo)致其多軸加載情況下變形機(jī)理更加復(fù)雜[103-104],由于建立細(xì)觀參數(shù)與宏觀力學(xué)性能之間的關(guān)系存在較多的困難,建立宏觀唯象本構(gòu)模型就順理成章的成為泡沫鋁本構(gòu)研究的重要途徑.目前,經(jīng)過(guò)專(zhuān)家學(xué)者們的研究,已提出了多種本構(gòu)關(guān)系的模型,其中部分模型經(jīng)過(guò)修改內(nèi)置于大型通用有限元分析(FEA)軟件LS-DYNA和ABAQUS 中[72,93,105-106],為泡沫鋁在軍事國(guó)防、航空航天及工業(yè)與民用領(lǐng)域的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供理論和技術(shù)支撐.

(1)GAZT 模型

Gibson 等[1,107-109]從蜂窩材料雙軸加載出發(fā),基于Gibson-Ashby 泡沫模型、梁變形分析和量綱分析,給出了如式(9)所示的屈服面函數(shù)

式中,σe為von Mises 等效應(yīng)力,σm為靜水壓力(平均應(yīng)力),σy為泡沫鋁單軸壓縮平臺(tái)應(yīng)力,ρ?為泡沫鋁表觀密度,ρs為泡沫鋁基材料密度.GAZT 模型僅對(duì)初始屈服面進(jìn)行了表征,沒(méi)有給出相應(yīng)的強(qiáng)化及流動(dòng)法則,但其依舊是泡沫鋁材料(及其他多孔材料)的經(jīng)典本構(gòu)模型之一.

GAZT 模型的屈服面在(σm,σe) 平面內(nèi)為對(duì)稱(chēng)拋物線,即認(rèn)為泡沫材料單軸壓縮屈服強(qiáng)度與單軸拉伸屈服強(qiáng)度相等.Triantafillou 等[108]完成了模型的試驗(yàn)驗(yàn)證,并發(fā)現(xiàn)其較好地描述了泡沫材料多軸行為的主要特征.該模型基于規(guī)則模型得到,特別適合形狀規(guī)整且內(nèi)部無(wú)缺陷的開(kāi)孔泡沫材料,但對(duì)閉孔泡沫鋁的屈服面描述不夠準(zhǔn)確.Andrews 等[110]比較了GAZT 模型對(duì)開(kāi)孔及閉孔泡沫鋁的適用性,發(fā)現(xiàn)模型會(huì)高估閉孔泡沫鋁的楊氏模量和抗壓強(qiáng)度,但對(duì)于開(kāi)孔泡沫鋁有很好的適用性.Miller[13]認(rèn)為GAZT模型屈服面幾乎是不可壓縮的,單軸壓縮情況下會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的側(cè)向變形,無(wú)法模擬泡沫金屬材料的貫入實(shí)驗(yàn).

圖13 Gibson-Ashby 模型Fig.13 Gibson-Ashby model

(2)Zhang 模型

Zhang 等[22,111]對(duì)泡沫材料多軸試驗(yàn)測(cè)得的屈服點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,提出了一種中心不在原點(diǎn)的橢圓屈服模型,其屈服面函數(shù)為

其中,a,b與x0均為材料參數(shù),a,b表示屈服面橢圓的長(zhǎng)、短軸半軸的二次冪,x0表示橢圓中心位置,三者均可以通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到.Peroni 等[16]發(fā)現(xiàn)該屈服面能很好地吻合多軸試驗(yàn)的材料屈服數(shù)據(jù).

Zhang 模型采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,即塑性流動(dòng)勢(shì)函數(shù)φ 與屈服面函數(shù)f不相等,其塑性勢(shì)函數(shù)為

式(11)中,β 為控制體積塑性流動(dòng)的材料參數(shù).參數(shù)β 的表達(dá)式為

式(12)中,νpl為材料的塑性泊松比.

Zhang 模型的強(qiáng)化通過(guò)體積強(qiáng)化實(shí)現(xiàn),并以塑性體積應(yīng)變?chǔ)舦p為變量的材料參數(shù)x0(εvp),a(εvp) 和b(εvp) 來(lái)表征,通過(guò)改變式(10) 中的材料參數(shù),使屈服面隨塑性體積應(yīng)變的增大而增大.

張健[59]通過(guò)對(duì)閉孔泡沫鋁逆向重構(gòu)模型進(jìn)行有限元數(shù)值分析發(fā)現(xiàn),Zhang 模型靜水壓縮下的屈服面演化與數(shù)值結(jié)果吻合較好,單軸壓縮和三軸等比加載(加載比例為1:1:x)的屈服點(diǎn)僅在應(yīng)變較小時(shí)吻合較好.

(3)Miller 模型

Miller[13]基于連續(xù)介質(zhì)思想、Drucker-Prager 準(zhǔn)則[112]、關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則、率無(wú)關(guān)及各向同性硬化假設(shè),引入大變形和對(duì)數(shù)應(yīng)變張量,推導(dǎo)出一個(gè)增量形式的模型.Miller 認(rèn)為泡沫金屬的屈服面必須與實(shí)驗(yàn)觀察到的3 個(gè)特征相符,即存在可壓縮塑性變形,拉伸和壓縮屈服點(diǎn)存在差異及可壓縮至密實(shí)化的應(yīng)力?應(yīng)變曲線.Miller 模型的屈服面表達(dá)式為

式中,γ,α 和d為待定參數(shù),通過(guò)試驗(yàn)的應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)確定.由式(13) 可知,Miller 模型的屈服面是一個(gè)關(guān)于有效應(yīng)力和平均應(yīng)力的多項(xiàng)式,其形狀為(σm,σe)平面內(nèi)的不對(duì)稱(chēng)橢圓.式(13)中存在一個(gè)平均應(yīng)力的一次冪,因而其屈服面可描述不同的拉伸和壓縮屈服行為.

Miller 模型采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,即塑性流動(dòng)勢(shì)函數(shù)φ 與屈服面函數(shù)f相等,模型強(qiáng)化法則的核心思想表達(dá)式為

當(dāng)滿足式(15)時(shí),Miller 屈服面退化為GAZT 屈服面

Ruan 等[113]發(fā)現(xiàn)Miller 模型在塑性泊松比vpl較大時(shí)會(huì)形成一個(gè)馬鞍形屈服面,與屈服面應(yīng)是外凸面的要求不符.

(4)自相似模型(self-similar model)

Deshpande 和Fleck 依據(jù)開(kāi)孔泡沫鋁Duocel (相對(duì)密度7%) 和閉孔泡沫鋁Alporas(相對(duì)密度8.4%,16%)的多軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù),提出了自相似模型(selfsimilat model)[20].自相似模型的屈服面表達(dá)式為

該模型為唯象模型.Deshpande 和Fleck 明確指出可將唯象理論引入到泡沫鋁的本構(gòu)模型研究中,這對(duì)泡沫鋁本構(gòu)模型的后續(xù)研究具有深遠(yuǎn)的影響.

由式(16) 及式(17) 可知,自相似模型的屈服面在(σm,σe)平面為對(duì)稱(chēng)橢圓.與Miller 模型相同,自相似模型同樣采用了關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則.

自相似模型的強(qiáng)化法則綜合考慮了泡沫鋁單軸壓縮及靜水壓縮對(duì)其后繼屈服面的影響,其表達(dá)式為

式中,Y0表示單軸壓縮的初始屈服應(yīng)力,hσ(εu) 和hp(εvol) 分別表示單軸和靜水壓縮下的切線模量,用于表征泡沫鋁壓縮下的強(qiáng)化響應(yīng).

為了便于應(yīng)用,自相似模型有一個(gè)簡(jiǎn)化版.簡(jiǎn)化版自相似模型(simplified version of the self-similar model) 的強(qiáng)化響應(yīng)直接由單軸壓縮響應(yīng)給出,其原理如式(20)所示

式中,H表示強(qiáng)化函數(shù),為等效應(yīng)變.

自相似模型及其簡(jiǎn)化版的屈服面均以幾何自相似的方式演化,這與試驗(yàn)觀察并不完全一致[31].與GAZT 模型一樣,自相似模型及其簡(jiǎn)化版本同樣沒(méi)有考慮泡沫鋁單軸拉伸和壓縮的不對(duì)稱(chēng)性.

(5)微分強(qiáng)化模型(differential hardening model)

為使屈服面的演化不受幾何自相似方式的約束,進(jìn)而更準(zhǔn)確地描述后繼屈服面的演化,Deshpande 和Fleck 還提出了更復(fù)雜同時(shí)也更為精確的微分強(qiáng)化模型(differential hardening model)[33].微分強(qiáng)化模型的屈服面表達(dá)式為

式中,S,P分別為單軸壓縮與靜水壓縮下的屈服強(qiáng)度.

微分強(qiáng)化模型的屈服面在(σm,σe) 平面同樣為對(duì)稱(chēng)橢圓,其流動(dòng)法則也采用了關(guān)聯(lián)的形式.

微分強(qiáng)化模型的特點(diǎn)在于其準(zhǔn)確卻極其復(fù)雜的強(qiáng)化法則.該模型允許后繼屈服面形狀同時(shí)沿平均應(yīng)力和有效應(yīng)力兩個(gè)方向演化,因而能夠細(xì)致地描述金屬泡沫塑性屈服面演化的整個(gè)過(guò)程.其強(qiáng)化法則如式(22)所示

式中,hαβ為強(qiáng)化參數(shù)

由于其強(qiáng)化法則過(guò)于復(fù)雜,微分強(qiáng)化模型的實(shí)用性受到限制.

(6)Chen-Lu 模型

Chen 和Lu[19]基于彈性余能表達(dá)式,引入無(wú)量綱的特征應(yīng)力和特征應(yīng)變,結(jié)合相應(yīng)的應(yīng)力勢(shì)和屈服流動(dòng)法則,提出了可適用于泡沫金屬塑性可壓縮和塑性不可壓縮材料的彈塑性本構(gòu)模型理論框架.

Chen-Lu 模型的應(yīng)力勢(shì)函數(shù)以特征應(yīng)力及特征應(yīng)變?yōu)閰⒆兞?因而不用區(qū)分彈性部分與塑性部分,也不需要任何初始屈服面的信息,從而規(guī)避了唯象本構(gòu)模型中將彈性階段與塑性階段分離的做法.

特征應(yīng)力 ˉσ、特征應(yīng)變ˉε 的表達(dá)式及其關(guān)系如下

其中

Chen-Lu 模型沒(méi)有區(qū)分彈性和塑性,不存在塑性本構(gòu)框架內(nèi)的屈服面,因此定義類(lèi)似“屈服面”的應(yīng)力勢(shì)函數(shù)如下

Chen-Lu 模型采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,通過(guò)單軸壓縮下的特征應(yīng)力?特征應(yīng)變曲線和靜水壓縮下的特征應(yīng)力?特征應(yīng)變曲線來(lái)表征后繼屈服面的演化.

王二恒等[39-40]將Chen-Lu 本構(gòu)應(yīng)用到泡沫金屬,對(duì)照比例加載和側(cè)向約束加載試驗(yàn)結(jié)果和模型理論值,發(fā)現(xiàn)兩者走勢(shì)相同.此外,王二恒[40]還將其簡(jiǎn)單推廣至動(dòng)態(tài)加載條件下的應(yīng)用.

(7)Lode 角模型

Wicklein 和Thoma[114]首次提出Lode 角參數(shù)影響泡沫金屬屈服面形狀的觀點(diǎn),并根據(jù)Lode 角的取值范圍將屈服點(diǎn)數(shù)據(jù)分成三類(lèi):拉伸、剪切、壓縮.竺汝彬等[115]也發(fā)現(xiàn)Lode 角對(duì)泡沫鋁屈服面存在影響.但是,Wicklein 和Thoma、竺汝彬等均未提出包含Lode 角的屈服面函數(shù).

Combaz 等[42,116]研究了3D 開(kāi)孔泡沫金屬和泡沫塑料在雙軸、三軸加載工況下的屈服性能,認(rèn)為常規(guī)的兩個(gè)變量(von Mises 等效應(yīng)力和靜水壓力)不能充分表征多孔材料的屈服面,多孔材料的屈服面受到第三偏應(yīng)力不變量的影響.由此,在拋物線和橢圓屈服函數(shù)的基礎(chǔ)上,引入Lode 角對(duì)von Mises 等效應(yīng)力和靜水壓力進(jìn)行修正.修正后的變量表達(dá)式如下

修正后的拋物線和橢圓屈服函數(shù)為

式(27)～式(29)中,a1,a2,A,B,A1,B1均為擬合參數(shù),σc為單軸壓縮屈服強(qiáng)度,θ 為L(zhǎng)ode 角.

這種修正的數(shù)據(jù)驗(yàn)證不足,屈服函數(shù)是否合理有待商榷.

(8)Forest 模型

Forest 等[21]提出了一種基于可壓縮塑性框架的連續(xù)介質(zhì)模型,主要基于以下3 點(diǎn)的考慮:(1)基于橢圓勢(shì)的可壓縮塑性模型; (2)由層析圖像導(dǎo)出的非均勻初始孔隙度圖; (3)將固有長(zhǎng)度尺度納入連續(xù)體模型的正則化過(guò)程.該模型適用于應(yīng)變局部帶化的模擬.模型的屈服面函數(shù)如下

式中,C,F為取決于材料的孔隙度的參數(shù),R為強(qiáng)化函數(shù).

Forest 模型的初始屈服面在(σm,σe)平面內(nèi)為對(duì)稱(chēng)橢圓,模型采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,其強(qiáng)化函數(shù)如下

式中,R0、H為材料強(qiáng)化參數(shù)(文獻(xiàn)[34]中給出的值為R0=200 MPa,H=10 MPa),μ為剪切模量,εu為單軸壓縮真實(shí)軸向應(yīng)變.

Badiche 等[117]和Dillard 等[118]在Forest 模型的基礎(chǔ)上引入各向異性和一個(gè)簡(jiǎn)單的韌性損傷法則,進(jìn)而能夠考慮拉伸載荷下帶孔鎳泡沫板裂紋擴(kuò)展的各向異性.

3.4 三維本構(gòu)模型總結(jié)

基于將泡沫鋁作為一種各向同性材料的假設(shè),已經(jīng)建立了多種體系成熟的本構(gòu)模型.但早在1999年,Deshpande 和Fleck 就發(fā)現(xiàn),當(dāng)高相對(duì)密度泡沫鋁Alporas 單向壓縮至對(duì)數(shù)軸向應(yīng)變0.70 時(shí),隨后的橫向強(qiáng)度約為軸向強(qiáng)度的兩倍,表明泡沫金屬在較大塑性應(yīng)變下呈現(xiàn)各向異性,而各向同性硬化本構(gòu)模型不能表征這種各向異性的發(fā)展趨勢(shì)[20].對(duì)此,Gioux等[103]提出歸一化方法,其主要思路為將各向同性屈服函數(shù)的應(yīng)力變量通過(guò)歸一化替代為無(wú)量綱變量,進(jìn)而在保持屈服函數(shù)形式不變的前提下得到適合各向異性材料的屈服函數(shù).Gioux 等[103]考慮泡沫鋁三個(gè)方向屈服強(qiáng)度的差異提出了如式(33)所示的歸一化等效應(yīng)力和平均應(yīng)力

其中,σpl1,σpl2,σpl3是泡沫鋁沿著3 個(gè)方向的單軸屈服強(qiáng)度.用歸一化變量代替變量σe,σm之后便得到適合各向異性材料的屈服準(zhǔn)則.Doyoyo 等[46]采用類(lèi)似方法歸一化應(yīng)力第一不變量和偏應(yīng)力第二不變量,基于各向同性的屈服函數(shù),建立了適合各向異性的屈服準(zhǔn)則.Alkhader 和Vural[119-120]基于彈性應(yīng)變能密度,歸一化推導(dǎo)出無(wú)量綱彈性能密度,建立了針對(duì)2D 多孔材料的屈服準(zhǔn)則,并進(jìn)一步推導(dǎo)出三軸加載時(shí)橫觀各向同性泡沫材料屈服等效應(yīng)力、等效應(yīng)變以及屈服函數(shù)的表達(dá)式.

絕大多數(shù)模型均采用平均應(yīng)力及Mises 有效應(yīng)力作為本構(gòu)模型表征參量.也有部分學(xué)者將Lode 角作為表征參量引入泡沫鋁本構(gòu)模型中,構(gòu)建了Lode角模型,但是僅有初始屈服面的方程,并沒(méi)有給出后繼屈服面演化方式[42,114-116].Combaz 等[42,116]基于開(kāi)孔泡沫鋁的三軸拉伸與壓縮試驗(yàn),提出屈服面應(yīng)取決于第一、第二及第三應(yīng)力張量不變量的觀點(diǎn).

現(xiàn)有模型,除Chen-Lu 模型[19]外,均采用了區(qū)分彈性階段和塑性階段的方法,這就產(chǎn)生了屈服判斷的問(wèn)題[96].國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于各自的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析數(shù)據(jù)特征,提出的初始屈服判斷依據(jù)可分為兩大類(lèi).第一類(lèi)是根據(jù)材料應(yīng)力?應(yīng)變或載荷?位移曲線,將某些特征應(yīng)力狀態(tài)定義為初始屈服狀態(tài).Deshpande和Fleck[121]雙軸和立方體加載時(shí),將應(yīng)力?應(yīng)變曲線的彈性階段和塑性階段的交叉點(diǎn)定義為屈服強(qiáng)度;Doyoyo 等[46]壓縮/拉伸?剪切時(shí),定義垂直加載方向載荷?位移曲線的彈性極限位置為屈服狀態(tài).Chen等[122]基于2D 細(xì)觀結(jié)構(gòu)雙軸加載,定義應(yīng)力?應(yīng)變曲線的峰值為屈服狀態(tài).第二類(lèi)是取特定數(shù)值的特征應(yīng)變對(duì)應(yīng)的狀態(tài)定義為初始屈服狀態(tài).Deshpande和Fleck[20,123]三軸對(duì)稱(chēng)壓縮時(shí),定義0.3%殘余軸向應(yīng)變對(duì)應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)為初始屈服狀態(tài).Combaz等[42,116]雙軸和多軸加載時(shí),采用von Mises 等效應(yīng)力?等效應(yīng)變曲線,定義0.2%殘余等效應(yīng)變?yōu)槌跏记顟B(tài).Alkhader 和Vural[119]研究2D 多胞孔結(jié)構(gòu)雙軸加載時(shí),基于彈性應(yīng)變能密度定義特征應(yīng)力和特征應(yīng)變,進(jìn)而定義0.02%塑性特征應(yīng)變對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為初始屈服狀態(tài).但是,這兩類(lèi)判斷方式,都存在一定的數(shù)據(jù)離散性問(wèn)題.Wu 等[124]為改善泡沫鋁屈服面數(shù)據(jù)的離散性問(wèn)題,結(jié)合試驗(yàn)及3D Voronoi 模型數(shù)值分析,提出了在應(yīng)變空間表征泡沫鋁屈服面的思路.張曉陽(yáng)等[125]基于3D Voronoi 模型研究了閉孔泡沫鋁在三軸載荷作用下的屈服特性,為泡沫鋁本構(gòu)模型研究中屈服面確定這一關(guān)鍵問(wèn)題提供了思路.

與一維模型同樣,三維模型中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的模型也占比較少,因此,將對(duì)泡沫鋁率效應(yīng)的研究成果引入三維本構(gòu)模型中,是一個(gè)十分重要的問(wèn)題.就目前被廣泛應(yīng)用的泡沫鋁本構(gòu)模型來(lái)說(shuō),只有ABAQUS 軟件中的各向同性強(qiáng)化可壓縮泡沫模型(crushable foam model with isotropic hardening)和體積強(qiáng)化可壓縮泡沫模型(crushable foam model with volumetric hardening) 明確提出可以通過(guò)應(yīng)力指數(shù)法則(overstress power law)和列表輸入屈服比(tabular input of yield ratio)兩種方式將率效應(yīng)引入模型中[72,106].率敏感性是泡沫鋁本構(gòu)行為研究中的核心科學(xué)問(wèn)題之一,也是近年來(lái)研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn),但是由于泡沫鋁制備方法的多樣性和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)技術(shù)的差異,迄今為止國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究沒(méi)有得出一致的結(jié)論[91,126].甚至對(duì)于相同制備工藝(powder metallurgy technique)生產(chǎn)出的相同相對(duì)密度的泡沫鋁(IFAM)會(huì)得出相悖的應(yīng)變率敏感性結(jié)論[127-129].但是,仍然有一些學(xué)者在這方面做出了努力,提出了一些率相關(guān)本構(gòu)模型[94,130].

現(xiàn)有本構(gòu)模型在流動(dòng)法則的選取及強(qiáng)化法則的側(cè)重點(diǎn)上存在較大分歧,且均不能準(zhǔn)確表征泡沫鋁后繼屈服面的演化.現(xiàn)有本構(gòu)模型的塑性流動(dòng)法則分為兩類(lèi):關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則及非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則.非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則使得材料剛度矩陣是非對(duì)稱(chēng)的[131],因此當(dāng)具有非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的本構(gòu)模型應(yīng)用于有限元分析時(shí),應(yīng)使用非對(duì)稱(chēng)矩陣存儲(chǔ)器和求解策略[72,132].強(qiáng)化法則主要考慮材料單軸壓縮強(qiáng)化響應(yīng)及靜水壓縮強(qiáng)化響應(yīng)兩方面,不同本構(gòu)模型對(duì)兩者的權(quán)重考慮不同.Deshpand 和Fleck[18]提出,非比例加載下,各向異性的發(fā)展可能成為重點(diǎn)且需要相應(yīng)的硬化模型,隨動(dòng)強(qiáng)化(kinematic hardening)是必要的,并建議作為將來(lái)的一個(gè)研究主題.

本構(gòu)模型的驗(yàn)證工作依舊是現(xiàn)階段的工作重點(diǎn).驗(yàn)證工主要由3 部分組成:基材料及本構(gòu)模型參數(shù)的確定、初始屈服面的驗(yàn)證及后繼屈服面演化的驗(yàn)證.張健等[59,86]根據(jù)泡沫鋁單軸壓縮試驗(yàn)及逆向重構(gòu)模型的有限元分析,確定了基體材料參數(shù)及3 種模型(各向同性強(qiáng)化可壓縮本構(gòu)模型[72],Chen-Lu 模型[19]及Zhang 模型[22,111]) 的本構(gòu)參數(shù).驗(yàn)證結(jié)果發(fā)現(xiàn),各向同性強(qiáng)化可壓縮本構(gòu)模型[72]在單軸壓縮時(shí)的結(jié)果吻合良好,而靜水壓縮時(shí)只有初始屈服點(diǎn)吻合良好,試件在特征塑性應(yīng)變?yōu)?.1 時(shí),預(yù)測(cè)的靜水壓縮屈服應(yīng)力和數(shù)值計(jì)算結(jié)果相比就會(huì)產(chǎn)生超過(guò)20%的偏差,而且隨著特征塑性應(yīng)變的增大而增大,可見(jiàn)該模型屈服面在大變形時(shí)會(huì)嚴(yán)重低估閉孔泡沫鋁靜水壓縮的屈服應(yīng)力.Chen-Lu 模型[19]在單軸壓縮時(shí)的結(jié)果吻合良好,靜水壓縮時(shí)初始屈服點(diǎn)吻合良好,而在特征塑性應(yīng)變?yōu)?.4 時(shí),預(yù)測(cè)的靜水壓縮屈服應(yīng)力和數(shù)值計(jì)算結(jié)果相比偏差超過(guò)20%,該模型在大變形時(shí)略微低估閉孔泡沫鋁靜水壓縮的屈服應(yīng)力.Zhang 模型[22,111]在靜水壓縮時(shí)的結(jié)果吻合很好,單軸壓縮和等比加載的屈服點(diǎn)在應(yīng)變較小時(shí)吻合良好,在大應(yīng)變時(shí)雖然有一些偏差,也都在屈服面附近,該模型的屈服面有較好的精度.此外,對(duì)于將塑性泊松比引入其中并處理為常數(shù)的本構(gòu)模型,塑性泊松比在壓縮過(guò)程中的倒S 形走勢(shì)[59,86]也會(huì)對(duì)其后繼屈服面的演化造成顯著影響[92].

現(xiàn)有泡沫鋁本構(gòu)模型眾多,適用性體系的建立至關(guān)重要.Hanssen 和Hopperstad 等[93]通過(guò)單軸壓縮、單軸拉伸、壓痕測(cè)試、對(duì)角加載及泡沫鋁填充梁的彎曲試驗(yàn)等結(jié)果及有限元數(shù)值模擬結(jié)果的對(duì)比,建立了一個(gè)關(guān)于泡沫鋁和泡沫鋁填充結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù),用于驗(yàn)證各種加載條件下泡沫鋁本構(gòu)模型的適用性,并且對(duì)已有的9 種泡沫鋁材料模型進(jìn)行了討論和比較.為了說(shuō)明數(shù)據(jù)庫(kù)的使用,也通過(guò)數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較對(duì)LS-DYNA 軟件的4種模型進(jìn)行了評(píng)估.張健等[59,86]研究了各向同性強(qiáng)化可壓縮本構(gòu)模型[72],Chen-Lu 模型[19]及Zhang 模型[22,111]單軸壓縮及靜水壓縮下的適用性.

很多學(xué)者在已有本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了補(bǔ)充、修正.王二恒等[39-40]以Chen-Lu 模型為框架,建立了泡沫鋁的準(zhǔn)靜態(tài)本構(gòu)模型,并推導(dǎo)了三軸等比例加載和環(huán)向受約束軸向加載下的宏觀應(yīng)力?應(yīng)變曲線.寇玉亮等[94]基于Tagarielli 等[133]提出的多孔材料橫觀各向同性率無(wú)關(guān)模型,在屈服函數(shù)中考慮應(yīng)變率的因素,構(gòu)建了一種泡沫鋁率相關(guān)本構(gòu)模型并編寫(xiě)了基于ABAQUS 平臺(tái)的VUMAT 子程序.羅紹鴻[12]以自相似模型為基礎(chǔ),增加材料破壞準(zhǔn)則,提出了一個(gè)包含彈塑性分析和破壞特征描述的泡沫金屬本構(gòu)關(guān)系,并編寫(xiě)了ABAQUS 平臺(tái)的VUMAT子程序.習(xí)會(huì)峰等[134]簡(jiǎn)化六參數(shù)的Liu-Subhash 模型[135]為五參數(shù),并將參數(shù)與溫度關(guān)聯(lián),提出了一種考慮溫度效應(yīng)的泡沫鋁靜態(tài)壓縮本構(gòu)模型.王鵬飛等[130]基于Sherwood 和Sherwood 和Frost[136]提出的泡沫材料本構(gòu)關(guān)系框架,對(duì)常溫下的應(yīng)變率敏感系數(shù)進(jìn)行了溫度項(xiàng)修正,得到一種泡沫鋁在一定密度范圍內(nèi)包含溫度項(xiàng)、應(yīng)變率項(xiàng)的本構(gòu)方程.張健[59]基于各向同性可壓縮泡沫本構(gòu)模型框架,加入破壞準(zhǔn)則,編寫(xiě)了基于ABAQUS 平臺(tái)的VUMAT 子程序.朱長(zhǎng)峰[137]基于變化的橢圓率,提出了修正的Deshpand-Fleck 泡沫本構(gòu)模型等等.對(duì)于自相似本構(gòu)模型、Zhang 模型、Miller 模型及各向同性強(qiáng)化可壓縮泡沫模型等包含關(guān)鍵參數(shù)塑性泊松比νpl的確定也是一個(gè)重要的方向.泡沫鋁塑性泊松比的概念最早由Miller 引入[13],即軸對(duì)稱(chēng)試驗(yàn)中徑向塑性應(yīng)變率與軸向塑性應(yīng)變率之比.自相似本構(gòu)模型、Zhang模型、Miller 模型及各向同性強(qiáng)化可壓縮泡沫模型等,在泡沫鋁的整個(gè)變形過(guò)程中均把νpl作為一個(gè)恒定值處理.但是,張樂(lè)等[87]、王長(zhǎng)峰等[88]及張健等[59,86]分別在Kelvin 模型、3D Voronoi 模型及泡沫金屬逆向重構(gòu)模型的壓縮過(guò)程中觀察到泡沫鋁的塑性泊松比呈現(xiàn)倒S 形走勢(shì),因此一些研究者嘗試對(duì)此參數(shù)進(jìn)行修正.張健、張樂(lè)等[59,86-87]提出了平均塑性泊松比的概念,Fang 等[138]將塑性泊松比作為應(yīng)變的指數(shù)函數(shù),提出了一種修正模型,并與LS-DYNA中的#63 模型、#75 模型與#154 模型進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)這樣修正后,模型的數(shù)值穩(wěn)定性和精度有了顯著提高.

迄今為止,描述泡沫鋁本構(gòu)關(guān)系的模型已經(jīng)為數(shù)不少,但仍然存在很多問(wèn)題,其中一個(gè)重要的原因是泡沫鋁材料的可壓縮性以及材料微結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性和隨機(jī)性.此外,各因素之間的耦合作用,如率效應(yīng)與溫度等[139],也有一定影響.因此,確定各種影響因素的權(quán)重對(duì)于泡沫鋁本構(gòu)模型的后續(xù)研究具有重要的意義.

4 結(jié)語(yǔ)

(1)泡沫鋁本構(gòu)模型試驗(yàn)研究的重點(diǎn)主要在于加載條件的實(shí)現(xiàn)及有效數(shù)據(jù)的獲取兩方面.載荷條件實(shí)現(xiàn)方面,三軸比例加載及非比例加載的實(shí)現(xiàn)是本構(gòu)模型試驗(yàn)研究及驗(yàn)證工作的關(guān)鍵[16,25,31,37-43].數(shù)據(jù)獲取方面,例如高速攝影技術(shù)、3D DIC 及SXR-CT 等新技術(shù)已成為獲取有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)的新方向[54-57].

(2) 在采用有限元數(shù)值模擬研究泡沫鋁本構(gòu)模型的過(guò)程中,研究人員構(gòu)建了種類(lèi)豐富的泡沫鋁細(xì)觀模型[58-73],實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜加載條件的技術(shù)突破[12,27,59,74-85,92,95-96,125],編寫(xiě)了本構(gòu)模型的用戶子程序[12,59,75,92-94],為泡沫鋁材料及其夾芯結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析及工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐.

(3) 泡沫鋁本構(gòu)模型種類(lèi)繁多,其中,一維本構(gòu)模型主要用于分析泡沫鋁的單軸動(dòng)態(tài)壓縮行為及吸能特性[27,29-30,97-101],三維本構(gòu)模型主要用于泡沫鋁多軸加載下的宏觀力學(xué)性能研究及工程設(shè)計(jì)與應(yīng)用[13,19,103,107-110],了解各種本構(gòu)模型的不同特點(diǎn)及應(yīng)用的局限性,對(duì)于深入研究泡沫鋁的力學(xué)性能有重要意義.

(4)完善本構(gòu)模型表征所需的特征參量[42,114-116],將各向異性或橫觀各項(xiàng)同性材料假定引入模型構(gòu)建體系[20,94,103,132],明確靜水壓縮響應(yīng)及單軸壓縮響應(yīng)在材料強(qiáng)化中的權(quán)重[13,19-20,111],建立例如隨動(dòng)強(qiáng)化般更加真實(shí)且準(zhǔn)確反映泡沫鋁強(qiáng)化過(guò)程的強(qiáng)化準(zhǔn)則[18],將應(yīng)變率效應(yīng)研究成果引入本構(gòu)模型中等[94,130],均是現(xiàn)有泡沫鋁本構(gòu)模型體系中的重要研究方向.

(5) 已有泡沫鋁本構(gòu)模型的參數(shù)[59,86,114,116]確定,適用性驗(yàn)證[16,20,39-40,108,110,113]及模型修正[12,39-40,94,103,128,135]等相關(guān)的試驗(yàn)工作及理論分析是今后研究的重點(diǎn),現(xiàn)有模型[10,13-14]后繼屈服面演化問(wèn)題還有待進(jìn)一步驗(yàn)證及修正.