高職一元函數(shù)微積分概念的教學(xué)策略研究

(湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430079)

1 數(shù)學(xué)概念的意義

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，具有抽象性和具體性雙重特點(diǎn)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)基本概念是形成學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)內(nèi)容的全部展開(kāi)，都立于數(shù)學(xué)概念之上，概念理解正確與否，直接影響到數(shù)學(xué)公式、法則、定理的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，不僅要記住它的定義，認(rèn)清它代表的符號(hào)，更重要的是要真正把握它的本質(zhì)、屬性[1]。高職學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)在提高學(xué)生素質(zhì)與數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，還應(yīng)提高學(xué)生的應(yīng)用能力，即用數(shù)學(xué)解決生活或?qū)I(yè)問(wèn)題的能力，而數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用對(duì)提高學(xué)生的這一能力尤為重要，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生出錯(cuò)或產(chǎn)生困難的主要原因往往在于不理解概念，特別是對(duì)同一數(shù)學(xué)概念的不同表達(dá)形式，概念之間的相互關(guān)系等缺乏系統(tǒng)概括的理解，因此高職數(shù)學(xué)教學(xué)必須十分重視概念教學(xué)。

2 高職學(xué)生概念學(xué)習(xí)中的問(wèn)題

數(shù)學(xué)概念是高職數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于高職學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)欠缺，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中存在許多問(wèn)題[2]：

(1)不重視數(shù)學(xué)概念，認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)主要是學(xué)會(huì)用公式、定理等算題，做題時(shí)往往忽視概念。

(2)對(duì)數(shù)學(xué)概念倒背如流，但不懂其含義。如函數(shù)的概念，很多學(xué)生能很熟練地背出來(lái)，但若要例舉生活中的函數(shù)關(guān)系或建立實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，往往不知所措。

(3)對(duì)數(shù)學(xué)概念片面理解。如函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的概念，認(rèn)為只要函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在或有意義就一定連續(xù)，而事實(shí)上函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)要同時(shí)具備三個(gè)條件(在某點(diǎn)處有意義、有極限、極限等于函數(shù)值)。

(4)不會(huì)應(yīng)用概念解釋實(shí)際問(wèn)題。如導(dǎo)數(shù)(函數(shù)增量與自變量增量的比值當(dāng)自變量增量無(wú)限趨于零時(shí)的極限)概念的使用。

(6)不明白概念所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法。如定積分概念所體現(xiàn)的逼近思想、以直代曲、以不變代變的方法和極限的方法等。

(7)受已有知識(shí)的理解或影響而對(duì)概念產(chǎn)生誤解。如曲線的切線的概念，很多學(xué)生受圓的切線的概念影響，認(rèn)為曲線的切線就是與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，事實(shí)上是曲線在切點(diǎn)處的割線的極限位置，是曲線的局部特征。

3 高職學(xué)生一元函數(shù)微積分概念教學(xué)的幾種策略

3.1 提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)

3.1.1通過(guò)實(shí)例引入概念

3.1.2介紹數(shù)學(xué)概念與法則、公式、性質(zhì)等之間的關(guān)系

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，認(rèn)為概念的意義不大，只要是會(huì)用性質(zhì)、法則或定理等做數(shù)學(xué)題。如求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般會(huì)用到求導(dǎo)公式、法則等，尤其是高職學(xué)生，很少會(huì)用導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)。所以高職學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念只是停留在“函數(shù)增量與自變量增量的比值當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限”這句話上面，很少會(huì)主動(dòng)去理解導(dǎo)數(shù)概念的意義。而事實(shí)上導(dǎo)數(shù)的公式、法則等并不是脫離其概念而存在的，而是由其概念推廣、引申出來(lái)的或是深層次的表述，所有的公式或法則都可以通過(guò)定義證明或理解。再比如函數(shù)的極限、微分、積分公式與法則或性質(zhì)也都可以由其概念進(jìn)行理解與證明。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不只是要教學(xué)生會(huì)做題，更主要的是應(yīng)該教學(xué)生會(huì)學(xué)、會(huì)用，而數(shù)學(xué)方法有很多，但是萬(wàn)變不離“概念”。

3.2 引導(dǎo)學(xué)生理解概念，提高分析能力和應(yīng)用能力

3.2.1引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述抽象的文字性概念

學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力直接影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、等式與文字之間的關(guān)系不能對(duì)應(yīng)起來(lái)，所以平時(shí)的教學(xué)中，尤其要注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)與文字或描述性語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如函數(shù)極限的描述性定義為：當(dāng)自變量無(wú)限增大(或無(wú)限接近于某一固定點(diǎn))時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則該常數(shù)就是函數(shù)當(dāng)自變量趨于無(wú)窮(或固定點(diǎn))時(shí)的極限。我們可結(jié)合利用圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表1進(jìn)行對(duì)比，解釋該概念的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，同時(shí)強(qiáng)調(diào)A、δ、N、ε的意義。然后通過(guò)實(shí)例進(jìn)行講解，讓學(xué)生理解描述性語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

表1 概論的數(shù)學(xué)符號(hào)表示

3.2.2引導(dǎo)學(xué)生剖析概念所涉及的數(shù)學(xué)方法與思想

掌握數(shù)學(xué)概念，最主要的是會(huì)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問(wèn)題，以及用到了什么方法或數(shù)學(xué)思想。比如定積分的概念，我們一般是通過(guò)曲邊梯形的面積和已知變速直線運(yùn)動(dòng)的速度求路程兩個(gè)問(wèn)題而引入的，在教學(xué)中我們可引導(dǎo)學(xué)生首先分析曲邊梯形的面積和已知變速直線運(yùn)動(dòng)的速度求路程這兩個(gè)問(wèn)題的共同特點(diǎn)是“不規(guī)則性(非穩(wěn)恒性)”與“可加性”，然后啟發(fā)學(xué)生解決這一類(lèi)問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法是先切割，再“化不規(guī)則為規(guī)則” 或“化變?yōu)椴蛔儭?即利用近似的方法)，最后求和、利用無(wú)限逼近的思想(即極限思想)。這樣不僅能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力還能讓學(xué)生形成良好的分析問(wèn)題的習(xí)慣，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)歸納并梳理自己平時(shí)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法，從而理解概念所涉及的數(shù)學(xué)方法與思想，提高學(xué)生的分析能力與應(yīng)用能力，這還有助于學(xué)生進(jìn)一步理解與之相關(guān)的概念或數(shù)學(xué)方法。

3.2.3引導(dǎo)學(xué)生將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成概念中的具體因素

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，許多學(xué)生理解概念，也理解概念解決的問(wèn)題領(lǐng)域，但是如何用概念或數(shù)學(xué)表達(dá)式表示問(wèn)題、解決問(wèn)題通常無(wú)從下手。主要原因是找不出問(wèn)題中的變量以及變量間的關(guān)系。如導(dǎo)數(shù)的概念，許多同學(xué)知道與變化率相關(guān)的問(wèn)題可用導(dǎo)數(shù)的概念，當(dāng)對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，如何判斷一個(gè)問(wèn)題是否為變化率的問(wèn)題，問(wèn)題中誰(shuí)是函數(shù)，誰(shuí)是自變量等都有一定的難度。那么在教學(xué)中，我們就要引導(dǎo)學(xué)生分析要求的量與哪些因素有關(guān)，在物理學(xué)或其他領(lǐng)域是如何定義的，如已知路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，我們知道速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率，即要求的量“速度”與兩個(gè)因素有關(guān)，“時(shí)間”和“路程”，而路程與時(shí)間的關(guān)系是已知的，即該問(wèn)題中路程是已知函數(shù)，時(shí)間為自變量，所以直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度就是路程(函數(shù))對(duì)時(shí)間(自變量)的導(dǎo)數(shù)(可參考通過(guò)實(shí)例引入概念，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí))，再比如交流電路中已知電量與時(shí)間的關(guān)系求電流(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電量)，即電量對(duì)時(shí)間的變化率，所以電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就為電流。

3.3 理清概念間的關(guān)系，提高學(xué)生的思維能力

3.3.1掌握極限是微積分的基礎(chǔ)

我們知道，極限的概念因抽象而不好理解，所以在教學(xué)中，我們一方面可以結(jié)合圖像、對(duì)比表一、通過(guò)應(yīng)用加強(qiáng)高職學(xué)生對(duì)極限概念的理解，另一方面微積分的大部分概念都是通過(guò)極限定義的，如無(wú)窮小量、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、反常積分等，所以我們可以通過(guò)這些概念的講解進(jìn)一步幫助學(xué)生鞏固對(duì)極限概念的理解。

3.3.2區(qū)分概念間的相互關(guān)系

在一元函數(shù)微積分的教學(xué)中，有的概念與某量有關(guān)系，如一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的概念中都用到了函數(shù)的增量，即當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，若函數(shù)在某點(diǎn)處的增量的極限為零，則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)；若函數(shù)增量與自變量增量比值的極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；若函數(shù)增量可表示成自變量增量的一個(gè)線性函數(shù)與一個(gè)自變量的較高階無(wú)窮小(當(dāng)自變量增量趨于零時(shí))的和，則函數(shù)在該點(diǎn)處可微。由這三個(gè)概念，我們可得出函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；而且導(dǎo)數(shù)是增量比值的極限，而微分是自變量增量的線性函數(shù)(主要部分)。有的概念是“個(gè)別”與“全體”的關(guān)系[4]，比如原函數(shù)與不定積分，原函數(shù)指的是一個(gè)函數(shù)，而不定積分指的是原函數(shù)族(即所有原函數(shù))。還有的概念從計(jì)算方面有聯(lián)系，比如不定積分與定積分，定積分是一個(gè)和式的極限，定積分用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算時(shí)與被積函數(shù)的原函數(shù)有關(guān)，而原函數(shù)可以通過(guò)不定積分求出來(lái)。有的概念看似是另一概念的推廣，而且解決的問(wèn)題也類(lèi)似，但定義不同，比如定積分與反常積分，實(shí)際上反常積分是一個(gè)函數(shù)(變上限或變下限函數(shù))的極限。

4 結(jié) 語(yǔ)

總之，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生概念學(xué)習(xí)情況，有針對(duì)性地選擇教學(xué)策略，注重引導(dǎo)，加強(qiáng)應(yīng)用，讓學(xué)生理解概念、用好概念，為學(xué)生后續(xù)相關(guān)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。