形狀記憶合金鼓包的撓度控制研究*

（南京航空航天大學航空學院機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016）

激波控制鼓包（Shock Control Bump，SCB）是一種流動控制技術，在減小激波阻力的同時具有不附加黏性阻力的特點[1]。鼓包的外形極大影響減阻的效果，很多研究者根據飛行條件研究鼓包的最佳設計參數。Qin等[2]將鼓包分為三維和二維兩種，三維鼓包邊界全貼合于機翼表面，二維鼓包是部分貼合，比較了兩者的減阻效果。李沛峰等[3]利用CFD 仿真計算，系統(tǒng)闡述了鼓包的位置、高度和長度對激波弱化的影響。

但是固定式鼓包的設計參數，如高度、位置等固定，在無激波阻力時鼓包會破壞機翼原有的設計結構，反而會增加飛行阻力。Jlinks 等[4]設計了一種可變撓度的鼓包，采用一塊0.6mm 厚的鋁制薄板，利用80N 的力驅動器可以產生13mm 的撓度行程，而且可以隨時根據飛行條件進行撓度的優(yōu)化。聶瑞等[5]提出了形狀記憶合金（Shape Memory Alloy，SMA）鼓包，通過仿真研究，鼓包升溫時撓度變大，降溫時撓度變小，在相變過程中的撓度變化可達長度的4%。溫度驅動式的鼓包相比于力驅動的鼓包，驅動器設計更為容易，但是在溫差過大時耗能會很嚴重。在飛行器巡航過程中一般環(huán)境溫度可達–50℃，如果利用環(huán)境溫度使鼓包為凸起狀態(tài)，而僅在起飛和降落過程中加熱鼓包使其變平則可以大大減少耗能。因此，一個升溫撓度變小、降溫撓度變大的鼓包更加符合實際應用。

SMA 的驅動控制一般采用閉環(huán)控制，其反饋量一般有溫度、位移、電阻3 種。電阻反饋一般用在小型的嵌入式驅動器中，以便于系統(tǒng)的集成[6]。對驅動位置的控制精度要求高時，可采用位移反饋[7]。由于絲的精確溫度獲取不易，采用溫度反饋不多見，但對加熱速率關心的控制可采用溫度反饋[8]。SMA 的控制策略一般分為有模型控制和無模型控制。無模型控制一般是利用PID 控制或結合智能控制的PID 聯(lián)合控制。Ahn等[9]結合模糊控制和PID 控制策略，用試驗證明了其可以成功地進行SMA 絲的位置控制，且效果較單獨的PID 控制更好。Ahola 等[10]將抗飽和PI 控制與神經網絡控制進行比較，兩種方法各有優(yōu)缺點。有模型控制即先對SMA 絲的溫度–位移遲滯效應進行建模，常采用Preisach 模型[11]和Prandtl-Ishlinskii（PI）模型[7]兩種，然后根據逆模型進行控制。有模型控制和無模型控制都可以進行穩(wěn)態(tài)控制，需要快速跟蹤控制時適合采用有模型控制，無模型控制的優(yōu)點在于控制算法較為簡單，適合在計算資源不豐富的情況下使用。

驅動器中使用的多為SMA 絲，可以通過電流來加熱，響應速度快，且散熱容易。SMA 鼓包是板狀材料，只能采用接觸式和輻射式的加熱方式，驅動速度慢，相變導致的宏觀位移變化也比較復雜，因此板狀SMA 的驅動控制研究較少。SMA 絲作為驅動器一般需要設計額外的傳動裝置，SMA 鼓包則不需要，SMA 鼓包的優(yōu)點是一體性好，因此對其進行驅動控制研究也有重要的意義。

本文針對具有雙程記憶效應的SMA 鼓包，建立了溫度–撓度的遲滯模型，并用試驗驗證了應用該模型可以提高撓度的控制效果，為SMA 鼓包的驅動控制提供了一種思路，同時也為驗證SMA 鼓包可以應用在SCB上打下了基礎。

1 SMA 鼓包簡介

SMA 鼓包的材料是Ni50.1Ti49.9，半徑60mm，厚度0.55mm，變形區(qū)的半徑為40mm。經過訓練可獲得雙程記憶效應，即在通過施加壓力使鼓包產生彎曲，再進行高低溫循環(huán)數10 次，如圖1所示。

關于訓練的詳細說明可參考文獻[12]。將訓練好的鼓包安裝在平臺上，凸起的面朝上，如圖2所示。以鼓包在–20℃時的中心點位置為零參考點，在外界環(huán)境溫度不變、不施加外載荷的條件下，鼓包的溫度和中心點撓度的關系如圖3所示，可回復位移約為1.2mm，占鼓包長度的1.5%。圖3中曲線的Ⅰ～Ⅱ段和Ⅲ～Ⅳ段是鼓包的相變階段，0～I 段和II～III 段是鼓包的熱膨脹階段，相變溫度分別為As=50℃，Af=120℃，Ms=62℃，Mf=5℃。

鼓包在真實的應用環(huán)境中會承受外加載荷并受到環(huán)境溫度的影響。非均勻溫度場會改變鼓包在升降溫過程中的撓曲線，但不影響鼓包的最大變形能力[13]。隨著鼓包表面壓強的增加，鼓包的變形性能會逐漸衰減。對于一個0.55mm 厚度的SMA 鼓包，在鼓包的上表面承受4000Pa 壓強時，鼓包的最大變形能力會衰減12.5%，衰減之后的變形能力依然可以滿足激波控制的要求[13]。

圖1 SMA鼓包訓練示意圖Fig.1 Training diagram of SMA bump

圖2 SMA鼓包的安裝Fig.2 Installation of SMA bump

圖3 SMA鼓包中心點撓度與溫度的關系Fig.3 Relationship between temperature and deflection of center point of bump

2 SMA 鼓包的遲滯模型

遲滯現象是指系統(tǒng)輸出不僅與當前的系統(tǒng)輸入有關，而且與系統(tǒng)的歷史輸入極值有關的一類現象。具體表現為體統(tǒng)的輸入與輸出并非一一映射關系。在SMA鼓包中，遲滯現象即表現為溫度與撓度之間的多映射關系，如圖3所示。

2.1 Preisach理論

Preisach 模型常被用來描述壓電[14]、SMA 材料[15]的遲滯行為。Preisach 模型由一系列連續(xù)的雙穩(wěn)態(tài)單元組成，如圖4所示。γαβ是一個基本的遲滯算子，可由矩形狀的環(huán)表示，α和β分別表示輸入的上下切換值，即表示一個雙穩(wěn)態(tài)，當輸入值大于α時，γαβ值為1，當輸入值小于β時，γαβ值為0。數學表達式可以寫作：

式中，μ（α，β）表示密度函數；u（t）表示輸入量。

假設一個系統(tǒng)的輸入量從0 開始變化，其Preisach模型的幾何解釋如圖5所示。

三角形表示Preisach 平面，γαβ和（α，β）在三角形內具有一一對應關系，密度函數μ（α，β）在內部為非負函數，在外部取0。當輸入量增加到α1時，其對應的Preisach 平面以α=α1為分界線，S+表示γαβ為1，S–表示γαβ為0。當輸入量下降到β1時，會產生一條豎直方向的分界線β=β1，此時S+的面積會縮小。當輸入量增大到α2時，此時的分割線為α=α2。由此可發(fā)現規(guī)律，即輸入量上升時會產生水平分割線，下降時會產生豎直分割線。由此可得，在任意一個瞬時，輸出表達式可以寫作：

式（2）表明，Preisach 模型的輸出與三角形S+的動態(tài)劃分有關，即與輸入量的極值有關。

2.2 數值實現

由于式（1）的Preisach 模型是一個雙積分式，其中基本算子的數量是無限的，為了節(jié)省計算資源和滿足實時控制的需求，一般要進行離散處理。文獻[16]提供了一種思路，首先定義等價函數：

式中，yα是輸入量為α時的輸出；yαβ是輸入量由α單調下降到β時的輸出，又稱一次下降曲線。

由圖5中的（b）可得，密度函數在S+區(qū)域的積分就是輸入量為α1和β1時的輸出差值。即：

圖6是一個典型的輸入變化時的S+區(qū)域的動態(tài)劃分，其中圖6（a）表示輸入最終減小為某一個值u（t），圖6（b）表示輸入最終增加到某一個值u（t）。S+可以由一系列的Qk組成，表達式可以寫作：

圖4 Preisach 模型原理Fig.4 Principle of Preisach model

圖5 Preisach模型的幾何解釋Fig.5 Geometric interpretation of Preisach model

Qk面積即可以表示為T（Mk，mk–1）和T（Mk，mk）面積之差：

又因為：

由式（6）、（7）、（8）可得：

由式（2）、（5）、（9）可得：

由圖6（a）可得，當輸入量最終增加至某一個值u（t）時，有mn=u（t），式（10）可以寫作：

若輸入量最終減小到某一個值u（t）時，有Mn=mn=u（t），式（10）可以寫作：

由以上分析得，可以用一系列離散的的一次下降曲線來近似表示系統(tǒng)的輸出。

2.3 模型辨識

通過2.2 節(jié)的討論，將一節(jié)下降曲線中的端點溫度離散處理，用試驗的方式可獲取各個離散溫度下的一次下降曲線[17]。對Preisach 平面進行以下網格的劃分：

則一共為110 個網格點，排除α、β的35 個網格點，實際需要測量75 組數據。設鼓包在馬氏體相變結束溫度以下為負飽和狀態(tài)，在奧氏體相變結束溫度以上為正飽和狀態(tài)。從負飽和狀態(tài)開始升溫，分別測量每個離散溫度對應的格點上的F（α，β），通過MATLAB 中的線性插值將網格點細分，每1℃設置一個網格點，可以得到Preisach 平面，如圖7所示。

3 SMA 鼓包的撓度控制系統(tǒng)設計

3.1 PID控制

PID 控制是一種線性控制方法，它根據目標值r（t）和實際輸出值y（t）構成控制偏差e（t），即e（t）=r（t）–y（t），對偏差e（t）進行比例、積分、微分運算，將3 種運算結果相加，得到控制輸入u（t）。圖8是PID 控制的原理。

PID 控制在連續(xù)時間域的表達式為：

式中，kp為比例系數；Ti為積分時間常數；Td為微分時間常數。

數字控制系統(tǒng)是一種采樣控制，只能根據采樣時刻的偏差值計算控制量，因此式（14）不能直接用于數字控制系統(tǒng)，需要進行離散處理。以一系列的kT（T為周期）代表連續(xù)時間t，可近似得到以下用于實時數字控制系統(tǒng)的離散化的PID 表達式：

圖6 Preisach模型的動態(tài)劃分Fig.6 Dynamic division of Preisach model

圖7 插值得到的Preisach平面Fig.7 Interpolated plane of Preisach

圖8 PID控制原理Fig.8 Principle of PID control

式中，kp為比例系數；ki為積分系數，ki=kp/Ti；kd為微分系數，kd=kpTd；u（k）為第k次采樣時控制器輸出；e（k）為第k次采樣時刻輸入控制系統(tǒng)的偏差值；e（k–1）為第k–1 次采樣時刻輸入控制系統(tǒng)的偏差值；T為采樣周期。

3.2 控制系統(tǒng)設計

圖9是控制流程的示意圖。

利用PXI 系統(tǒng)搭建了控制平臺，全部的試驗裝置及連接如圖10所示。

傳感器使用熱電偶采集溫度，激光位移傳感器采集位移，兩者通過相應的采集卡將信號傳輸給控制器。控制器是一臺計算機，在其上運行LABVIEW 軟件，對采集的數據進行PID 計算并輸出相應控制量，一路通過PID 計算得到u1信號控制加熱，另一路通過開關量u2控制冷卻。驅動器分為加熱驅動器和冷卻驅動器，分別采用兩根電阻加熱棒輻射加熱和液氮噴氣冷卻。利用采集卡PXIE–4300 采集位移信號，PXIE–4353采集溫度信號，其中參與PID 反饋運算的是位移信號，NI–9264 是用來輸出兩路控制的信號。

鼓包的LABVIEW 程序中溫度誤差和位移誤差同時參與PID 計算，只有兩類誤差均為0，才會停止輸出控制量，防止當位移誤差不再變化時，溫度變化導致熱膨脹產生。圖11是三維鼓包的LABVIEW 控制程序的結構。

4 試驗結果

控制試驗僅針對在外界溫度保持不變（30℃）、鼓包不承受外加氣動載荷的條件下進行。設此時的撓度值為0，根據圖7的Preisach 平面，按照極值點盡量少的準則，可根據目標位置確定溫度變化的過程，如表1所示。圖12是Preisach 平面的動態(tài)劃分。

利用Z–N 整定法確定PID 參數，在試驗中記錄撓度和溫度數據，撓度和溫度數據分別如圖13和14 所示。

圖15展示了控制過程中撓度和溫度的關系。階段4 的曲線較其他3 個階段不平緩，這是由于鼓包表面的冰霜的凝結與消融過程所導致。

當不考慮溫度與撓度之間的關系時，可利用撓度反饋的PID 控制進行試驗，圖16比較了無模型控制和有模型控制的效果，有模型控制的穩(wěn)態(tài)誤差和超調量均有不同程度的減小。

表2展示了有模型控制和無模型控制過程中的部分時域性能指標，其中有模型控制的最大相對誤差為第4 階段的5.17%，無模型控制的最大相對誤差為第4 階段的7.33%。

圖9 控制系統(tǒng)的流程圖Fig.9 Flow chart of control system

圖10 試驗儀器Fig.10 Experimental apparatus

圖11 LABVIEW程序結構Fig.11 Program structure of LABVIEW

圖12 控制目標的Preisach平面動態(tài)劃分Fig.12 Dynamic division of Preisach planes for control targets

表1 控制目標Table1 Control targets

圖13 撓度隨時間的變化Fig.13 Deflection change over time

圖14 溫度隨時間變化Fig.14 Temperature change over time

圖15 撓度與溫度的關系Fig.15 Deflection vs temperature

圖16 有模型和無模型控制對比Fig.16 Comparison of control with and without a model

表2 時域性能指標Table2 Time domain performance index

5 結論

本文以被動式的激波控制鼓包為應用背景，提出了具有雙程記憶效應的SMA 鼓包，并在不承受外加氣動載荷的室溫環(huán)境下對其進行了撓度控制，研究表明：

（1）經過訓練后的具有雙程記憶效應的SMA鼓包，可實現通過控制溫度以改變撓度，可恢復變形達到鼓包長度的1.5%；

（2）利用Preisach 模型可以建立SMA 鼓包溫度—撓度的遲滯模型，得到目標撓度和目標溫度的對應關系；

（3）在遲滯模型的基礎上，利用撓度和溫度的雙目標PID 控制可以對鼓包的撓度進行精確控制，且比無模型的單目標PID 控制效果更好。