雙路連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)協(xié)議的有限碼長效應(yīng)分析*

楊 鑫，孫游東，王天一

（貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

0 引 言

通信加密方式中，量子密鑰分發(fā)（Quantum Key Distribution，QKD）近幾年成為研究熱門[1]。30 多年的發(fā)展中，QKD 理論安全性分析以及實(shí)驗(yàn)得到了很好的驗(yàn)證。QKD 協(xié)議雙方Alice 和Bob 基于量子態(tài)的傳輸進(jìn)行密鑰分發(fā)，保證密鑰的真隨機(jī)性。QKD 安全性由量子力學(xué)的海森堡測不準(zhǔn)原理和量子不可克隆定理保證[2]。通信過程中，假定存在竊聽者Eve 掌握信道資源，以達(dá)到最壞情況下量子密鑰分發(fā)安全性是否有保證。QKD 又分為離散變量協(xié) 議（Discrete-Variable Quantum Key Distribution，DV-QKD）和連續(xù)變量協(xié)議（Continuous-Variable Quantum Key Distribution，CV-QKD）。其中，BB84協(xié)議為典型離散變量協(xié)議[3]，GG02 為典型連續(xù)變量協(xié)議[4]。CV-QKD 在實(shí)際條件中具有先天優(yōu)勢，可結(jié)合當(dāng)前光纖網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行鋪設(shè)，傳輸距離上優(yōu)于DV-QKD，所以成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)。

CV-QKD 雖具有很多優(yōu)點(diǎn)，但其安全碼率受過量噪聲影響嚴(yán)重[5]。在過量噪聲情況下，CV-QKD安全碼率下降很快，導(dǎo)致安全傳輸距離無法過長[6]。為了提高CV-QKD 可容忍噪聲，人們提出了雙路CV-QKD 協(xié)議[7]。雙路CV-QKD 有很好的過量噪聲可容性，并會對竊聽者Eve 的攻擊造成影響[8]。雙路CV-QKD 協(xié)議中，竊聽者Eve 必須對前后信道同時攻擊。例如，若對前信道攻擊會對后信道加入過量噪聲，使得Eve 在竊聽過程中加入更多的噪聲，增加Eve 的竊聽難度[9]。因此，雙路協(xié)議具有很大的發(fā)展空間。

量子密鑰分發(fā)發(fā)展至今，各種量子密鑰分發(fā)通信協(xié)議在無限碼長情況下的安全性證明已經(jīng)成熟。在實(shí)際應(yīng)用過程中，交換信號數(shù)量達(dá)不到近似無限碼長條件，因此研究有限碼長效應(yīng)對量子密鑰分發(fā)安全性能影響很有必要[10-11]。CV-QKD[12]和設(shè)備無關(guān)協(xié)議（Continuous-Variable Measurement-Device-Independent Quantum Key Distribution，CV-MDIQKD）[13]進(jìn)行有限碼長效應(yīng)下的研究已經(jīng)完成，并得到了相應(yīng)的分析結(jié)果。

單路CV-QKD 協(xié)議的安全傳輸距離容易受過量噪聲的影響。為了提高CV-QKD 的可容忍噪聲，人們提出了雙路CV-QKD 協(xié)議。但是，目前尚未對雙路CV-QKD 協(xié)議進(jìn)行有限碼長效應(yīng)分析，具體會產(chǎn)生何種影響結(jié)果未知。

本文其余部分安排如下：第1 節(jié)介紹雙路協(xié)議的主要過程，詳細(xì)研究雙路協(xié)議在有限碼長效應(yīng)下參數(shù)估計(jì)過程，并介紹有限碼長效應(yīng)分析方法和公式；第2 節(jié)給出安全碼率的仿真結(jié)果；第3 節(jié)進(jìn)行全文總結(jié)。

1 雙路CV-QKD 協(xié)議和參數(shù)估計(jì)

雙路協(xié)議的PM 模型流程如圖1 所示。圖1 中，LS1 和LS2 表示激光光源，A 表示幅度調(diào)制器，φ表示相位調(diào)制器，m、n、r 和s 表示隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。Bob 發(fā)送一個相干態(tài)發(fā)給Alice。Alice 制備一個高斯調(diào)制的相干態(tài)，并且用一個分束片TA對他制備的態(tài)與收到的態(tài)進(jìn)行耦合。Alice 通過對模A2進(jìn)行零差檢測得到xA2。Bob 對收到的模進(jìn)行外差測量得到位置變量xB2X和動量變量pB2P。中間信道假定為被竊聽者Eve 所掌控。最后，Bob 通過得到的兩個數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)后處理、數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)和密鑰放大，得到最終的安全密鑰。

圖1 雙路CV-QKD 協(xié)議的PM 方案

以上為雙路協(xié)議的PM 過程。PM 方案在實(shí)際中容易實(shí)現(xiàn)，但是比較難于進(jìn)行安全性分析。在進(jìn)行安全性分析時，通常使用等效的EB 方案。雙路協(xié)議的EB 方案如圖2 所示，有兩個獨(dú)立的高斯糾纏克隆機(jī)，方差分別為W1和W2。圖2 中箭頭旁邊的字母如B1表示箭頭處的模。ΓK是連續(xù)變量C-NOT門[9]。Bob 用外差測量他的EPR 對的一個模并把另一個模發(fā)給Alice。Alice 對她的EPR 對的一個模A1進(jìn)行外差測量，并對從分束片TA出射的一個模進(jìn)行零差測量，然后把從分束片TA出射的另一個模發(fā)給Bob。Bob 對收到的模B2進(jìn)行外差測量得到B2X和B2P，再通過兩個對稱變換ΓK把模B1P、B2P、B1X和B2X變換成模B5、B6、B3和B4。通過對模B4和B6的零差測量，可以得到xB和pB。最后，Bob通過得到的兩個數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)后處理、數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)和密鑰放大，得到最終的安全密鑰。

圖2 雙路CV-QKD 協(xié)議的EB 方案

有限碼長效應(yīng)下的安全碼率計(jì)算公式為[11-12]：

其中A和B分別為Alice 和Bob 經(jīng)過量子態(tài)測量后的經(jīng)典數(shù)據(jù)，E為竊聽者的量子態(tài)。I(AB)為Alice 和Bob 之間的互信息，用香農(nóng)熵表示。SεPE(BE)是Bob 和Eve 之間的互信息，在個體攻擊中仍用香農(nóng)熵表示，而在集體攻擊中用馮諾依曼熵來表示。由于集體攻擊優(yōu)于個體攻擊，所以后續(xù)研究中都采用集體攻擊的情況仿真分析。εPE為參數(shù)估計(jì)出錯的概率。N為Alice 和Bob 之間交換數(shù)據(jù)的總長度，n為最后作為密鑰的數(shù)據(jù)長度。對于聯(lián)合竊聽，β[11]為數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)階段的協(xié)調(diào)效率，Δ(n)為保密增強(qiáng)階段的修正參數(shù)，與協(xié)議的失敗概率有關(guān)。

式中HX為對應(yīng)于未處理密鑰中的變量x的希爾伯特空間，ε～為一個平滑參數(shù)，εPA為私鑰放大過程中失敗的概率。平滑參數(shù)ε～和εPA都是中間變量，可以任意指定，取值越小越好。

計(jì)算安全碼率最重要的一個參數(shù)為SεPE(BE)。為了滿足安全通信，在分析協(xié)議安全性能時需要做最壞的打算——竊聽者Eve 可獲得最大的信息量，即SεPE(BE)盡可能取最大值。在有限碼長效應(yīng)下，由于用來參數(shù)估計(jì)的樣本值不是無限的，導(dǎo)致采樣波動較大，Alice 和Bob 對Eve 的竊聽估計(jì)可能出現(xiàn)偏差。這里選擇計(jì)算SεPE(BE)值時使其最大化。

SεPE(BE)的值計(jì)算依賴通信過程中的協(xié)方差矩陣。有限碼長效應(yīng)會對協(xié)方差矩陣中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)造成波動影響，具體為前后信道的透射率T1和T2、兩條信道各自的過量噪聲ε1和ε2以及Bob 和Alice的調(diào)制方差V和VA。協(xié)方差矩陣ΓAB如下：

其中各個元素如下：

erf是誤差函數(shù)，定義為：

2 模擬仿真

進(jìn)行雙路CV-QKD 協(xié)議在有限碼長效應(yīng)下的模擬仿真。仿真主要分為兩種情況，首先考慮只針對一條通信信道進(jìn)行有限碼長效應(yīng)下的參數(shù)估計(jì)，并且為了便于模擬，只考慮兩個信道具有相同參數(shù)的情況，即T1=T2、ε1=ε2及K=1，在此前提下進(jìn)行建模仿真，如圖3 所示。其中，方塊線、十字線、三角線、星號線和直線分別對應(yīng)碼長為106、108、1010、1012以及無限碼長的仿真曲線。

圖3 有限碼長效應(yīng)下對一個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的安全碼率與傳輸距離變化情況

圖3 為對一個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況下的有限碼長效應(yīng)對雙路CV-QKD 協(xié)議安全碼率與安全傳輸距離關(guān)系的影響。其中，協(xié)調(diào)效率β=95%，信道過量噪聲ε1=ε2=0.2，TA=0.2，Alice 和Bob 的調(diào)制方差VA=VB=10，曲線從左至右分別為碼長N=106、108、1010、1012以及無限碼長。由圖3 可知，碼長為N=106時的安全傳輸距離與N=102時的安全傳輸距離相差接近1 倍；傳輸數(shù)據(jù)越長，安全傳輸距離越接近于無限碼長時的傳輸距離。

圖4 為只對一個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況下的有限碼長效應(yīng)對雙路CV-QKD 協(xié)議安全碼率與調(diào)制方差關(guān)系的影響。其中，協(xié)調(diào)效率β=95%，信道過量噪聲ε1=ε2=0.2，TA=0.2，Alice 與Bob 之間的傳輸距離設(shè)置為55 km。由圖4 可知，當(dāng)調(diào)制方差為23 左右的時候，安全碼率降至最低點(diǎn)；在調(diào)制方差0 ～23區(qū)間，傳輸碼長越小，安全碼率下降越快；調(diào)制方差過23 后，安全碼率逐步上升，且碼長N=106、108、1010、1012四條曲線逐步減小差距。

下面將兩條信道同時在有限碼長效應(yīng)下作參數(shù)估計(jì)，即后信道作參數(shù)估計(jì)時考慮前信道參數(shù)所帶來的影響。圖5 為兩個信道同時進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況下的有限碼長效應(yīng)對雙路CV-QKD 協(xié)議安全碼率與安全傳輸距離關(guān)系的影響。其中，協(xié)調(diào)效率β=95%，信道過量噪聲ε1=ε2=0.2，TA=0.2，Alice 和Bob 的調(diào)制方差VA=VB=10，曲線從左至右分別為碼長N=106、108、1010、1012以及無限碼長。由圖5 可知，傳輸數(shù)據(jù)越少，用于參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)相應(yīng)減少，導(dǎo)致安全傳輸距離大幅度減少；在碼長N=106的情況下，最大安全傳輸距離為54 km；碼長N=102的情況下，最大安全傳輸距離達(dá)到96 km，且趨勢逐步與無限碼長條件接近。

圖4 有限碼長效應(yīng)下對一個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的安全碼率與調(diào)制方差變化情況

圖5 有限碼長效應(yīng)下對兩個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的安全碼率與傳輸距離變化情況

圖6 為兩個信道同時進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況下的有限碼長效應(yīng)對雙路CV-QKD 協(xié)議安全碼率與調(diào)制方差關(guān)系的影響。其中，協(xié)調(diào)效率β=95%，信道過量噪聲ε1=ε2=0.2，TA=0.2。為了方便，只對一條信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況進(jìn)行對比，Alice 與Bob之間的傳輸距離設(shè)置為55 km。由圖6 可知，碼長N=106、調(diào)制方差為23 時，安全碼率下降幅度更大，對比只對一條信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)情況安全碼率減少更加劇烈。

圖6 有限碼長效應(yīng)下對兩個信道進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的安全碼率與調(diào)制方差變化情況

3 結(jié) 語

雙路CV-QKD 協(xié)議的理論安全性分析基于通信雙方交換無限多信號數(shù)進(jìn)行，但是實(shí)際情況下無法達(dá)到交換無限多的信號數(shù)，因此必須謹(jǐn)慎考慮交換信號數(shù)有限情況下的理論安全性分析。由以上模擬仿真可以得出，交換信號碼長過小的情況下，N=106的安全傳輸距離與無限碼長條件下的安全傳輸距離相差接近1 倍，且安全碼率也在一定幅度上隨著傳輸距離的增加相應(yīng)減少。但是，只要通信雙方交換碼長大于N=1012，安全傳輸距離與無限碼長條件的安全傳輸距離相差不大。從調(diào)制方差與安全碼率關(guān)系的模擬仿真結(jié)果來看，雙方通信碼長過小會導(dǎo)致調(diào)制方差不能小于50，將會引起安全碼率急劇下降的情況。