具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階微分方程的特征根解

馬俊風(fēng)，陳茜瑤

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

17世紀(jì)末Newton和Leibniz創(chuàng)立微積分，到19世紀(jì)末分?jǐn)?shù)階微積分的理論體系才被逐步建立、發(fā)展和完善起來。分?jǐn)?shù)階微積分在Maxwell模型、Voigt模型和Kelvin模型中有廣泛的應(yīng)用[1]，文獻(xiàn)[2]歸納和總結(jié)了分?jǐn)?shù)階微分方程，文獻(xiàn)[3]給出了Fokker-Planck方程的數(shù)值解，這里主要討論的是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。眾所周知，時(shí)滯分?jǐn)?shù)階微分方程具有很重要的特性，是討論分?jǐn)?shù)階微分方程解不可或缺的部分。文獻(xiàn)[4]討論了不含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階微分方程的特征根解法，本文在其基礎(chǔ)上考慮具有時(shí)滯項(xiàng)對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程特征根的影響，使得所討論的分?jǐn)?shù)階微分方程更具有普遍性。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[5]設(shè)函數(shù)f(t)定義在區(qū)間(a,b)上，σ＞0，n是大于等于σ的最小整數(shù)，則階數(shù)為σ的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為其中n是大于等于σ的 最 小 整 數(shù) ，f(n)(ξ) 為 函 數(shù)f(ξ) 的n階 導(dǎo) 數(shù) ，Γ(?) 是 Gamma 函 數(shù) ，Γ(n-σ)=

引理2[6]有關(guān)指數(shù)函數(shù)f(t)=eλt和常數(shù)f(t)=c在Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如下：

其中n是大于σ的最小整數(shù)。

這里令積分下限t-ξ=u，所以du=-dξ，則

2 主要結(jié)果

接下來分兩種情形進(jìn)行討論。

情形1求類型下的解。先考慮的是當(dāng)?shù)那闆r，即求qf(t-τ)=0，q為正常數(shù)的通解。

解令f(t)=eλt，則有是方程的解，顯然當(dāng)f(t)=0 時(shí)也是方程的解。故方程的解為f(t)=為任意常數(shù)。

解令f(t)=eλt，則有

根據(jù)Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有的線性性質(zhì)，所以原方程的通解為

f(t)=C1y1+C2y2+C3y3+…+Cm-1ym-1+Cmym,其中Ci(i=1,2,3,…,m)為任意常數(shù)。

接下來給出以下兩個(gè)例子。

例1求是正常數(shù)）的通解。

根據(jù)Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有的線性性質(zhì)，所以原方程的通解為

例2求是正常數(shù))的通解。

解令f(t)=eλt，則有得

由Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有的線性性質(zhì)可知，原方程的通解為

情形2考慮類型得解。

解令f(t)=eλt,則有從而得到

由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)，所以原方程的通解為

（2）當(dāng)n=2m+1,m∈ ?+時(shí)，求的通解。

解令f(t)=eλt，則有或

由Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的線性性質(zhì)，所以原方程的通解為f(t)=C0+C1y1+C2y2+…+C2my2m+C2m+1y2m+1，其中Ci(i=0,1,2,3,…,2m+1)為任意常數(shù)。

3 總 結(jié)

對(duì)于指數(shù)和常數(shù)類的分?jǐn)?shù)階微分方程可以使用常微分方程中特征根的解法進(jìn)行求解，對(duì)于含時(shí)滯的微分方程可以看出其結(jié)果與時(shí)滯項(xiàng)有很大的關(guān)系，通過給出的例子與運(yùn)算結(jié)果可以看出，時(shí)滯項(xiàng)包含了τ=0的一般情況時(shí)，在結(jié)果上，不光影響實(shí)數(shù)部分，對(duì)于虛數(shù)部分也有很大的影響，取決于f(τ)的數(shù)值大小。