基于Hertz理論的落石撞擊橋墩沖擊力計(jì)算公式及參數(shù)研究

鐘漢清，呂梁，辜友平，趙雷

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

1 前言

中國西部山區(qū)地勢險(xiǎn)要，易發(fā)生滑坡、泥石流、崩塌等地質(zhì)災(zāi)害，山區(qū)橋梁時(shí)常遭受落石撞擊，特別是大塊石的沖擊，對橋梁承載能力和正常使用造成嚴(yán)重影響，危及人身及財(cái)產(chǎn)安全。因此橋墩防撞設(shè)計(jì)是山區(qū)橋梁設(shè)計(jì)中需要重點(diǎn)考慮的環(huán)節(jié)，而中國現(xiàn)行橋梁規(guī)范尚未對落石沖擊橋墩的計(jì)算方法作出規(guī)定，因此落石撞擊橋墩的沖擊力計(jì)算研究對于山區(qū)橋梁具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前落石沖擊力計(jì)算多采用Hertz彈性碰撞理論、基于動量定理的計(jì)算方法和幾種經(jīng)驗(yàn)公式。如日本道路公團(tuán)以及瑞士公式。羅征等以矩形橋墩為對象，進(jìn)行矩形墩柱沖擊試驗(yàn)，從動態(tài)損傷拓展、撞擊力及墩頂動力響應(yīng)等方面研究矩形墩柱的沖擊響應(yīng)過程和破壞機(jī)理；葉四橋等提出應(yīng)考慮落石沖擊過程中落石重量和反彈效應(yīng)對落石的影響，并基于沖量定理推導(dǎo)了落石沖擊力計(jì)算方法；陳馳等以沖量定理為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了落石最大沖擊力的近似計(jì)算方法，該公式考慮了落石形狀、質(zhì)量、沖擊速度等影響因素；陳世剛對幾種半經(jīng)驗(yàn)半理論的落石沖擊力計(jì)算方法進(jìn)行了探討分析；劉茂以彈塑性修正的Hertz接觸理論為基礎(chǔ)，考慮落石沖擊緩沖層的復(fù)雜過程和緩沖層厚度的影響，結(jié)合路基規(guī)范方法的落石沖擊深度公式，得出落石最大沖擊力計(jì)算方法；郭紹平等對現(xiàn)有落石計(jì)算方法進(jìn)行了對比研究，針對其中存在的問題，將可以反映落石質(zhì)量、緩沖土層厚度及沖擊速度影響的沖擊歷時(shí)公式引入隧道計(jì)算方法，同時(shí)引入放大系數(shù)k，形成改進(jìn)的隧道公式；聶洪琳等基于動力學(xué)原理，利用鋼結(jié)構(gòu)柔性吸能，提出了一種橋墩防落石碰撞柔性設(shè)計(jì)，并利用ANSYS/LS_DYNA有限元軟件模擬驗(yàn)證了所提出的防撞設(shè)計(jì)思路的合理性和優(yōu)越性；余志祥等針對外套鋼板筒與加厚素混凝土保護(hù)層兩種防護(hù)措施展開數(shù)值模擬；顧?quán)l(xiāng)等研究落石沖擊雙柱式橋墩的損傷，對比分析落石沖擊高度、速度、偏心距、沖擊角度等因素對墩柱的損傷程度。

關(guān)于落石沖擊力的已有文獻(xiàn)主要針對明洞、棚洞、攔石墻及柔性網(wǎng)等主動防護(hù)結(jié)構(gòu)，而針對落石沖擊橋梁的相關(guān)文獻(xiàn)則較少。該文基于Hertz彈性接觸理論和Thornton彈塑性接觸理論，建立落石沖擊橋墩的理論計(jì)算模型，推導(dǎo)落石對橋墩的彈性和彈塑性沖擊力表達(dá)式，并且討論落石沖擊速度、角度及落石半徑對沖擊力的影響；建立落石-橋墩有限元模型，將數(shù)值模擬得到的彈性與彈塑性沖擊力與理論值進(jìn)行對比，在此基礎(chǔ)上引入折減系數(shù)對理論公式進(jìn)行優(yōu)化與修正，以期為山區(qū)橋墩防撞設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù)。

2 落石碰撞接觸理論

2.1 Hertz接觸理論

Hertz假設(shè)兩球相撞，且其接觸面為半徑為a的圓，給出了兩球在壓力P作用下接觸問題的完備解，對應(yīng)的接觸面壓應(yīng)力分布公式為：

(1)

式中：p(r)為接觸面壓應(yīng)力；P為接觸壓力；a為接觸面半徑；r為接觸面半徑變量，取值范圍0～a。

從式(1)可以看出，當(dāng)r=0時(shí)，有：

(2)

接觸面半徑與接觸面變形量之間的關(guān)系：

a2=Rδ

(3)

(4)

δ=δ1+δ2

(5)

式中：R為等效半徑；R1和R2分別為兩個(gè)碰撞球體的半徑；δ為總變形量；δ1和δ2分別為兩球體的變形量。

兩球碰撞的接觸力與變形量之間的關(guān)系：

(6)

(7)

式中：E為等效彈性模量；μ1、μ2分別為兩個(gè)碰撞球體的泊松比；E1、E2分別為兩個(gè)碰撞球體的彈性模量。

2.2 Thornton彈塑性接觸理論

當(dāng)最大壓應(yīng)力pmax達(dá)到材料屈服強(qiáng)度時(shí)，就會在接觸面上產(chǎn)生塑性變形區(qū)，初始屈服接觸壓應(yīng)力py與初始屈服對應(yīng)的接觸半徑ay的關(guān)系為：

(8)

Thornton假設(shè)碰撞系統(tǒng)為理想彈塑性材料，塑性區(qū)的接觸壓應(yīng)力始終為py，如圖1所示。

圖1 理想彈塑性材料壓應(yīng)力分布

在某荷載作用下，半徑為ap的接觸面產(chǎn)生屈服，而在a≥ap的區(qū)域仍然滿足Hertz接觸應(yīng)力分布：

(9)

聯(lián)立式(8)、(9)，可以得到：

(10)

兩接觸物體間的接觸壓力為：

(11)

式中：Pe為等效彈性接觸力。

3 落石撞擊橋墩沖擊力

3.1 落石沖擊力的彈性解

根據(jù)Hertz彈性碰撞理論，質(zhì)量m1、速度v1的球體與質(zhì)量m2、速度v=0的球體發(fā)生對心碰撞，假定沖擊球體的半徑遠(yuǎn)小于被沖擊球體，即r2?r1。故可將落石視為質(zhì)量為m1、撞擊速度為v1、回彈速度為v2的沖擊球體，將質(zhì)量為m2的橋墩視為被沖擊球體?；谏鲜黾僭O(shè)，該文推導(dǎo)的理論公式主要適用于圓形截面的橋墩。落石對橋梁墩柱的沖擊模型見圖2。

圖2 落石對橋墩的沖擊模型

落石撞擊橋梁墩柱可分為兩個(gè)過程：① 壓縮階段：從落石接觸橋墩表面到接觸變形量達(dá)到最大值，此時(shí)落石處于靜止?fàn)顟B(tài)，橋墩所受沖擊力最大；② 反彈階段：橋墩所受沖擊力逐漸減小，直至落石脫離接觸面。因落石的速度、所受沖擊力的方向及接觸變形量的方向在不斷改變，導(dǎo)致整個(gè)碰撞過程較為復(fù)雜，為方便計(jì)算，可設(shè)沖擊力方向與水平線成θ角，接觸變形量方向與水平線成ɑ角，沖擊角度為γ角。

根據(jù)牛頓第二定律可知：

Px=m1d(v1x+v2x)/dt

(12)

Py=m1d(v1y-v2y)/dt

(13)

采用Hertz彈性接觸理論可得：

(14)

(15)

其中δx=δcosɑ，δy=δsinɑ，代入式(14)和(15)并與式(12)和(13)聯(lián)立可得Px與δx、Py與δy的關(guān)系式：

(16)

(17)

化簡可得：

(18)

(19)

綜合式(16)、(17)、(18)和(19)可求得彈性沖擊力Pe。

(20)

(21)

(22)

式中：ex、ey為橫向和豎向速度恢復(fù)系數(shù)，ex=v2x/v1x，ey=v2y/v1y。

3.2 落石沖擊力的彈塑性解

在落石沖擊橋墩過程中，當(dāng)速度較小時(shí)，落石沖擊接觸為彈性接觸，可直接用上述公式求解彈性沖擊力。而隨著速度的增加，當(dāng)最大接觸應(yīng)力pmax達(dá)到接觸屈服應(yīng)力py，碰撞接觸面開始出現(xiàn)塑性區(qū)，此時(shí)對應(yīng)的落石速度稱為臨界速度vc，初始屈服狀態(tài)對應(yīng)的接觸面半徑記作ay，此時(shí)Hertz彈性理論還適用，臨界接觸屈服壓力Pe可由式(22)得到。

Vu-Quoc以Hertz接觸理論推導(dǎo)了接觸屈服壓力與材料屈服強(qiáng)度之間的關(guān)系式:

(23)

式中：μ為落石的泊松比；η(μ)為μ的函數(shù)，η(0.3)=1.613，η(0.4)=1.738，當(dāng)μ為其他值時(shí)，作線性插值處理；σy為橋墩的屈服強(qiáng)度。

將式(20)、(21)與式(23)聯(lián)立可求得臨界速度分量vcx和vcy，從而求得臨界速度vc。

在實(shí)際工程運(yùn)用中，當(dāng)落石速度小于臨界速度時(shí)，可按式(22)求解碰撞接觸力，當(dāng)落石速度大于臨界速度時(shí)，接觸面上會產(chǎn)生塑性區(qū)，還需要考慮塑性區(qū)的拓展對落石沖擊力的影響。將式(1)代入式(11)，并對式(11)進(jìn)行積分得：

(24)

4 實(shí)例研究與分析

4.1 實(shí)例研究

為驗(yàn)證該文所推導(dǎo)公式的合理性，與文獻(xiàn)[18]的泥石流大塊沖擊攔擋壩實(shí)例進(jìn)行對比，沖擊物為落石和泥石流大塊，被沖擊物為橋墩和攔擋壩，落石與橋墩分別采用與泥石流大塊和攔擋壩相同的材料參數(shù)，如表1所示，將文獻(xiàn)[18]計(jì)算所得結(jié)果與該文推導(dǎo)的落石沖擊力理論公式進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示。由于整個(gè)碰撞過程在極短的時(shí)間內(nèi)完成，為方便計(jì)算在此假定θ和ɑ與速度的水平夾角近似相等。

式(22)、(23)中ex、ey為速度恢復(fù)系數(shù)，若落石撞擊為完全彈性碰撞，則恢復(fù)系數(shù)為1，即落石反彈速度等于入射速度，若落石撞擊不發(fā)生反彈，則恢復(fù)系數(shù)為0，而實(shí)際中落石撞擊橋墩的速度恢復(fù)系數(shù)為0～1?；謴?fù)系數(shù)在落石沖擊力計(jì)算中是一個(gè)非常關(guān)鍵的參數(shù)，可通過開展野外試驗(yàn)，利用高速攝像系統(tǒng)及配套軟件解析落石碰撞前后的速度，從而求得法向和切向的恢復(fù)系數(shù)，該文參考文獻(xiàn)[20]中的碰撞恢復(fù)系數(shù)取值ex=0.453，ey=0.737。

表2表明：當(dāng)碰撞區(qū)不考慮彈塑性時(shí)，根據(jù)式(22)求得的落石彈性沖擊力為30 703.8 kN，若采用這么高的沖擊荷載進(jìn)行橋墩防撞設(shè)計(jì)是很不經(jīng)濟(jì)的。求解彈塑性沖擊力時(shí)，首先根據(jù)式(24)求得的接觸屈服壓力Pe=56.9 kN，當(dāng)碰撞接觸力達(dá)到接觸屈服壓力時(shí)，根據(jù)式(22)、(23)及(24)聯(lián)立可得臨界橫向速度vcx為0.023 m/s，臨界豎向速度vcy為0.07 m/s，這是因?yàn)槁涫Q向沖擊力較小，其達(dá)到臨界屈服力所需的速度就更大，但此時(shí)落石橫向沖擊力已達(dá)到臨界屈服力，所以該文以臨界橫向速度為標(biāo)準(zhǔn)求得其臨界速度為0.026 m/s。根據(jù)式(6)求得臨界狀態(tài)下的接觸變形量δy，再代入式(3)和(8)聯(lián)立可得臨界狀態(tài)下的屈服壓應(yīng)力py=25.75 MPa和初始屈服狀態(tài)下的接觸半徑ay=10.3 mm。通過式(20)和(21)可求得總接觸變形量δ=10.3 mm，從而得出接觸半徑a=90.7 mm，該文落石采用速度為5.6 m/s，遠(yuǎn)大于臨界速度，在接觸區(qū)內(nèi)將產(chǎn)生大范圍的塑性區(qū)，其塑性區(qū)接觸半徑ap為90.1 mm。將上述所求參數(shù)代入式(24)，其彈塑性沖擊力為6.61 MN，僅為彈性沖擊力的21.58%。

表1 落石沖擊力計(jì)算參數(shù)

表2 文獻(xiàn)[18]與該文推導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果對比

該文推導(dǎo)公式計(jì)算所得的落石沖擊力比文獻(xiàn)[18]計(jì)算得到的沖擊力大，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[18]中泥石流大塊不發(fā)生回彈，即ex與ey為0，而該文恢復(fù)系數(shù)取值均大于0，因此該文計(jì)算所得落石沖擊力較大是合理的。

4.2 落石沖擊參數(shù)分析

為研究落石沖擊參數(shù)對落石沖擊力的影響，保持落石其他參數(shù)不變，改變其沖擊速度，得到彈性和彈塑性沖擊力與沖擊速度的關(guān)系如表3所示。保持落石其他參數(shù)不變，改變落石沖擊角度，得到落石沖擊力與沖擊速度夾角的關(guān)系如表4所示。落石沖擊力與落石半徑的關(guān)系如表5所示。圖3為落石沖擊力與落石半徑、落石沖擊速度之間的關(guān)系。表3～5中修正系數(shù)k為彈塑性沖擊力Pep與彈性沖擊力的P的比值。

表3 落石沖擊力與沖擊速度的關(guān)系

注：落石半徑為0.8 m，落石沖擊速度夾角為30°。

表4 落石沖擊力與沖擊速度夾角的關(guān)系

注：落石半徑為0.8 m，落石沖擊速度為5.6 m/s。

表5 落石沖擊力與落石半徑的關(guān)系

注：落石沖擊速度夾角為30°，落石沖擊速度為5.6 m/s。

圖3 落石沖擊力與落石半徑的關(guān)系

從表3～5、圖3可知：

(1) 落石彈性沖擊力隨著落石沖擊速度增加而急劇增大，而落石彈塑性沖擊力則增加得較為緩慢；塑性區(qū)半徑先是急劇增長，而后逐漸平穩(wěn)；相應(yīng)的修正系數(shù)k則是急劇下降，而后逐漸平穩(wěn)。這是因?yàn)殡S著落石沖擊速度的增加其碰撞接觸面上的塑性區(qū)拓展的范圍越來越大，而在塑性區(qū)內(nèi)接觸壓應(yīng)力保持不變，相應(yīng)的落石沖擊力因受到塑性區(qū)壓應(yīng)力的限制而增加平緩。因此在橋墩碰撞區(qū)表面，鋪設(shè)適當(dāng)厚度的低強(qiáng)度混凝土可以有效降低落石對橋墩的沖擊力，從而達(dá)到一定的防撞效果。

(2) 隨著沖擊速度夾角的增加，落石的彈性沖擊力和彈塑性沖擊力均逐漸減小，說明落石對橋墩的沖擊效應(yīng)以橫向沖擊為主，水平運(yùn)動速度分量越大，落石沖擊力越大。隨著沖擊角度的增加，塑性區(qū)半徑緩慢減小，修正系數(shù)k則緩慢增加，而當(dāng)沖擊角度增加至45°時(shí)，塑性區(qū)半徑開始急劇下降，修正系數(shù)k急劇增加，這是因?yàn)殡S著塑性區(qū)半徑的減小，落石沖擊力也隨之減小。

(3) 隨著落石半徑的增大，修正系數(shù)k保持不變，而塑性區(qū)半徑則一直增大。彈塑性沖擊力隨著落石半徑增大而增加，當(dāng)落石半徑較小時(shí)，其彈塑性沖擊力增幅較小，總體上較為平緩。隨著落石半徑的增加，在沖擊速度較低時(shí)增幅較小，而在沖擊速度較大時(shí)，特別地對于R>1 m的落石，其彈塑性沖擊力隨沖擊速度的增加而急劇增長。因此設(shè)計(jì)橋墩防撞設(shè)施前應(yīng)當(dāng)對周邊環(huán)境展開詳細(xì)的調(diào)查，以確定落石的等效半徑。

4.3 有限元數(shù)值模擬

該文推導(dǎo)公式中，假定被沖擊物不產(chǎn)生剛體位移和變形，因此對于工程實(shí)際而言，該沖擊力公式具有一定的局限性，因而當(dāng)采用彈塑性沖擊力作為設(shè)防依據(jù)時(shí)，為滿足經(jīng)濟(jì)性宜考慮一定程度的折減。該節(jié)采用山區(qū)某半徑為0.9和2 m的橋墩，分別建立彈性和考慮HJC本構(gòu)的彈塑性模型，對比理論公式計(jì)算所得的落石沖擊力，討論彈塑性折減系數(shù)。彈塑性模型中，混凝土采用HJC(Holmquist-Johnson-Cook)損傷本構(gòu)模型，此模型可同時(shí)考慮高壓、應(yīng)變率及損傷，其材料參數(shù)如表6所示。

表6 混凝土材料參數(shù)

注：MID為材料編號；RO為材料密度；G為剪切模量；A為規(guī)范化黏聚強(qiáng)度參數(shù)；B為規(guī)范化壓力硬化系數(shù)；C為應(yīng)變率敏感系數(shù)；N為壓力硬化指數(shù)；FC為準(zhǔn)靜態(tài)單軸抗壓強(qiáng)度；T為最大拉伸靜水壓力；ESP0為應(yīng)變率；EFMIN為斷裂前塑性應(yīng)變量；SFMAX為規(guī)范化應(yīng)力最大值；PC為壓碎時(shí)靜水壓力；UC為壓碎時(shí)體積應(yīng)變；PL為體積閉鎖時(shí)的壓力；UL為體積閉鎖時(shí)的應(yīng)變；D1、D2為損傷參數(shù)；K1、K2、K3為壓力參數(shù)；FS為失效類型。

通過大型顯式通用有限元軟件LS-DYNA建立落石-橋墩有限元模型，落石采用Solid164實(shí)體單元模擬，材料為剛性材料，其參數(shù)見表1。橋墩和蓋梁為鋼筋混凝土實(shí)體模型，其中混凝土亦采用Solid164單元，受力鋼筋與螺旋箍筋采用Link160單元，其材料參數(shù)如表7所示；蓋梁頂部施加Mmass166質(zhì)量單元用于模擬上部結(jié)構(gòu)對橋墩的壓重，其重量為400 t。落石沖擊橋墩有限元模型如圖4所示。落石沖擊力理論與有限元值對比如表8所示。

表7 鋼筋材料參數(shù)

注：E為彈性模量；PR為泊松比；SIGY為屈服強(qiáng)度；ETAN為切線模量；BETA為硬化系數(shù)；SRC為應(yīng)變率系數(shù)；SRP為應(yīng)變率參數(shù)；FS為失效應(yīng)變。其他參數(shù)意義同前。

表8 落石彈性沖擊力、彈塑性沖擊力對比

注：r為落石半徑；R為橋墩半徑；落石沖擊速度為5.6 m/s，落石沖擊速度夾角為30°。

圖4 落石沖擊橋墩有限元模型

從表8可以看出：

(1) 當(dāng)橋墩半徑為0.9 m時(shí)，落石彈性沖擊力有限元值與理論值的比值為0.2～0.4，落石彈塑性沖擊力有限元值與理論值的比值為0.2～0.3；當(dāng)橋墩半徑為2 m時(shí)，落石彈性沖擊力有限元值與理論值的比值為0.4～0.6，落石彈塑性沖擊力有限元值與理論值的比值為0.3～0.4。這是因?yàn)楫?dāng)落石半徑為0.8 m時(shí)，落石和橋墩的尺寸已處于同一維度，落石的沖擊效應(yīng)將會對橋墩產(chǎn)生較大影響。由于塑性區(qū)內(nèi)應(yīng)力保持不變，彈塑性沖擊力受到塑性區(qū)發(fā)展的限制而遠(yuǎn)小于彈性沖擊力。

(2) 該文公式旨在為橋墩防撞設(shè)計(jì)提供參考，當(dāng)采用該文彈塑性沖擊力公式進(jìn)行設(shè)防時(shí)，可在式(24)中引入折減系數(shù)。根據(jù)上述計(jì)算得到的落石彈塑性沖擊力比值，可取折減系數(shù)0.3～0.4。對于鐵路橋和高墩橋，因其墩柱剛度通常較大，可將折減系數(shù)在計(jì)算基礎(chǔ)上適當(dāng)放大。且落石沖擊具有較強(qiáng)隨機(jī)性，并易受地質(zhì)影響，隨著雨水沖刷和地震、泥石流等地質(zhì)災(zāi)害的發(fā)生，斜坡等將發(fā)生較大的地質(zhì)變形，有關(guān)落石尺寸及沖擊速度的調(diào)研可靠性較低。綜上所述對于各類山區(qū)橋型墩柱可偏于安全考慮，其落石彈塑性沖擊力折減系數(shù)可取0.6～0.8。

5 結(jié)論

基于Hertz接觸理論和Thornton彈塑性假設(shè)，建立落石沖擊橋墩的計(jì)算模型，導(dǎo)出了落石對橋墩的彈塑性沖擊力表達(dá)式，并且討論了落石沖擊速度、角度及落石半徑對落石沖擊力的影響，得出以下結(jié)論：

(1) 混凝土材料是典型的彈塑性材料，碰撞區(qū)極易出現(xiàn)塑性區(qū)，不考慮彈塑性所求得的落石彈性沖擊力偏大，考慮材料彈塑性的落石沖擊力更為符合工程實(shí)際，該文求得的彈塑性沖擊力僅為彈性沖擊力的21.58%。

(2) 落石彈性沖擊力隨著落石沖擊速度的增加而急劇增大，而其彈塑性沖擊力由于受到塑性區(qū)壓應(yīng)力的限制而增加得較為緩慢。在進(jìn)行橋墩防撞設(shè)計(jì)時(shí)，在碰撞區(qū)鋪設(shè)一定厚度的低強(qiáng)度混凝土可以有效降低落石對橋墩的沖擊力，增強(qiáng)其抗沖擊性能。

(3) 落石沖擊力隨著沖擊角度的增加而逐漸減小，隨著落石半徑的增加而增大，在進(jìn)行橋墩防撞設(shè)計(jì)前應(yīng)當(dāng)對周邊環(huán)境展開詳細(xì)的調(diào)查，充分了解落石的等效半徑的分布情況，以便估計(jì)落石對結(jié)構(gòu)的沖擊力。

(4) 采用該文彈塑性沖擊力公式進(jìn)行設(shè)防時(shí)，建議引入彈塑性沖擊力折減系數(shù)，且由于落石沖擊具有較強(qiáng)隨機(jī)性，偏于安全考慮其折減系數(shù)取0.6～0.8。