雙肢薄壁墩連續(xù)剛構(gòu)橋的參數(shù)優(yōu)化

徐智杰， 郭細(xì)偉

(武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430063)

0 引 言

隨著我國基礎(chǔ)設(shè)施事業(yè)的發(fā)展,連續(xù)剛構(gòu)橋以其施工方便、造型簡潔優(yōu)美、養(yǎng)護(hù)成本低等優(yōu)點(diǎn)被設(shè)計(jì)者們廣泛采納,好的連續(xù)剛構(gòu)橋參數(shù)可以提高梁體受力性能、減少混凝土用量,因此連續(xù)剛構(gòu)橋的參數(shù)優(yōu)化成了現(xiàn)在研究的一大熱門問題,徐岳等[1]以墩身體積最小為目標(biāo)函數(shù),考慮強(qiáng)度和穩(wěn)定性約束條件,利用有限元軟件ANSYS對(duì)墩身進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。吳俊虢[2]等運(yùn)用向量回歸法得出連續(xù)剛構(gòu)橋優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,從而指導(dǎo)主梁設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化。這種優(yōu)化方法簡單高效,但實(shí)際剛構(gòu)橋的優(yōu)化往往是多目標(biāo)函數(shù)、多設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化,且由于連續(xù)剛構(gòu)橋墩梁固結(jié)的特性,設(shè)計(jì)變量應(yīng)考慮梁體參數(shù)和雙肢薄壁墩參數(shù)的耦合性。為解決以上問題,本文提出了以響應(yīng)面法原理為基礎(chǔ),建立多目標(biāo)函數(shù)與多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的響應(yīng)面模型,利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)的方法,為連續(xù)剛構(gòu)橋的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 響應(yīng)面法原理及在橋梁工程中的應(yīng)用

響應(yīng)面法(response surface methodology,RSM)最早是由Box和Wilson在20世紀(jì)50年代提出[3]，最初在化學(xué)計(jì)量學(xué)中應(yīng)用的較為廣泛。RSM由現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)組合而成,將經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c試驗(yàn)設(shè)計(jì)相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,一般用線性或平方多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)所研究的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述,可以得出試驗(yàn)單個(gè)因素對(duì)整體因素之間的相互關(guān)系。最后運(yùn)用尋優(yōu)算法求解響應(yīng)面模型,可以得到優(yōu)化結(jié)果。

當(dāng)我們對(duì)橋梁工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化時(shí),如果目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量能夠存在一定的顯性表達(dá)式,那么優(yōu)化就會(huì)變得簡單,但是往往實(shí)際情況是眾多的設(shè)計(jì)變量很難通過理論推得一個(gè)簡潔的表達(dá)式。為解決此類情況,研究者通過構(gòu)造最小二乘法響應(yīng)面函數(shù)來解決此類問題。近似函數(shù)的選取極大地影響著響應(yīng)面函數(shù)的精度,合適的近似函數(shù)使得模擬結(jié)果更為精確。但是在實(shí)際工程中,設(shè)計(jì)變量往往多而雜,所以難以確定設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)之間的關(guān)系。實(shí)踐表明,二次多項(xiàng)式就可以達(dá)到實(shí)際工程應(yīng)用的精度。二次多項(xiàng)式的表達(dá)式為:

y=α0+∑ki=1αixi+∑ki=1αiix2i

(1)

y=α0+∑ki=1αixi+∑ki=1∑kj=1αijxixj+∑ki=1αiix2i

(2)

式中:αi,αij為表達(dá)式的待定系數(shù);k為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)。

表1 α的個(gè)數(shù)與近似函數(shù)形式的關(guān)系

試驗(yàn)設(shè)計(jì)(design of experiment)[4]是響應(yīng)面法非常重要的一個(gè)步驟,決定著響應(yīng)面模擬的精度和響應(yīng)面構(gòu)建的成本。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的核心是試驗(yàn)點(diǎn)的選取,它決定著試驗(yàn)設(shè)計(jì)的成功與失敗,同時(shí)影響著響應(yīng)面函數(shù)待定系數(shù)的取值。響應(yīng)面法試驗(yàn)最常用的設(shè)計(jì)有正交設(shè)計(jì)、拉丁超立方抽樣試驗(yàn)設(shè)計(jì)、Three Level Factorial Design、Box-Behnken Design(BBD)、Central Composite Design(CCD)和Doehlert Design等。本文采用Box-Behnken Design,Box-Behnken Design(BBD)以其試驗(yàn)設(shè)計(jì)次數(shù)少、效率高等優(yōu)點(diǎn)成為響應(yīng)面設(shè)計(jì)中最常用的方法[5-7]。在BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)中,抽樣點(diǎn)是選取N維超立方體每個(gè)邊的中點(diǎn),如圖1所示，它常用于考慮因素的非線性影響進(jìn)行研究時(shí)的試驗(yàn),每個(gè)影響因素設(shè)置為3個(gè)水平,分別編碼為-1,0,1,其中-1為試驗(yàn)中變量的最小值,0為中心點(diǎn),1為變量最大值[7]。

當(dāng)響應(yīng)面函數(shù)擬合完成后,要通過一些標(biāo)準(zhǔn)來判斷響應(yīng)面的擬合程度,最常用的判斷方法是修正復(fù)相關(guān)系數(shù)R2adj、復(fù)相關(guān)系數(shù)R2是否接近于1,越接近1證明響應(yīng)面結(jié)果越可靠。

圖1 Box-Behnken矩陣抽樣法樣本示意圖

2 連續(xù)剛構(gòu)橋的參數(shù)優(yōu)化

2.1 工程概況

采用貴州地區(qū)跨徑為(48+88+48) m的某跨河三跨連續(xù)剛構(gòu)橋,該橋主梁為三跨預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)箱梁,截面形式為單箱雙室,邊跨合攏段梁高與跨中梁高均為2.2 m,箱梁根部梁高為5 m,梁底曲線冪次為1.8。兩主墩為混凝土實(shí)心雙肢薄壁墩,墩高都為24 m,高跨比為0.272,橋型布置及主要截面尺寸如圖2、圖3所示。

圖2 主橋橋型布置圖(單位:m)

圖3 主梁橫截面圖(單位:mm)

2.2 目標(biāo)函數(shù)的選取和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.2.1 選取目標(biāo)函數(shù)

混凝土用量:對(duì)于混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋,混凝土的總用量在很大程度上影響了工程造價(jià),混凝土方量越小工程造價(jià)就會(huì)越低,同時(shí)橋梁的總重也會(huì)變小,從而結(jié)構(gòu)的主要受力性能也有所提高,所以在此考慮連續(xù)剛構(gòu)橋的混凝土總用量,即上部梁體結(jié)構(gòu)和下部墩身結(jié)構(gòu)混凝土用量之和,故:

f1=∑mi=1Vi+∑nj=1Vj

(3)

式中:Vi為主梁的第i個(gè)單元的體積;Vj為橋墩的第j個(gè)單元的體積;m表示主梁單元個(gè)數(shù);n表示橋墩單元總數(shù)。

穩(wěn)定性安全系數(shù):橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性安全系數(shù)反映了結(jié)構(gòu)的安全儲(chǔ)備能力,考慮了截面應(yīng)力滿足要求的情況下發(fā)生屈曲失穩(wěn)的可能。穩(wěn)定性安全系數(shù)越大，則安全儲(chǔ)備值越高,安全系數(shù)的表達(dá)式為:

f2=λ

(4)

主梁的彎曲應(yīng)變能:主梁彎曲應(yīng)變能在很大程度上反映了主梁彎矩分布均勻性的大小指標(biāo),其值越小則表明主梁的受力狀態(tài)越好、彎矩分布越均勻。彎曲應(yīng)變能的表達(dá)式為:

f3=Ub=∑mi=1Li4(EI)i(M2iL+M2iR)

(5)

式中:MiL和MiR分別表示主梁第i個(gè)單元的左端彎矩和右端彎矩;Li表示第i個(gè)單元的長度,m表示主梁單元總數(shù)。

單墩強(qiáng)度:雙肢薄壁墩連續(xù)剛構(gòu)橋在使用階段的整體抗彎剛度由雙薄壁墩提供,即Ej=ab36+2abe2,(a為梁底寬度,b為單肢壁厚,e為雙肢間距的一半),由該式可知,雙肢薄壁墩的抗彎剛度較大,整體剛度和穩(wěn)定性達(dá)到要求時(shí),需考慮每一肢單墩的抗壓(拉)強(qiáng)度,兩肢墩沿橋梁縱向水平力相同,沿橋梁豎向的軸力相差較大,單墩強(qiáng)度表示剛構(gòu)墩墩身強(qiáng)度儲(chǔ)備。所以對(duì)小軸力墩按大偏壓構(gòu)件設(shè)計(jì),并按對(duì)稱配筋考慮,則單墩強(qiáng)度應(yīng)滿足[1]:

ndγbγcRaab≤0.55

(6)

式中：nd為墩底軸力；γb和γc分別為工作條件安全系數(shù)和混凝土材料安全系數(shù)；Ra為混凝土極限抗壓強(qiáng)度；a為單墩沿橋梁縱向的壁厚；b為單墩沿橋梁橫向的寬度(一般與箱梁底板寬度相同)。由式(6)可知，比值越小則單墩的強(qiáng)度儲(chǔ)備越大,墩身結(jié)構(gòu)越安全。單墩強(qiáng)度的表達(dá)式為:

f4=ndγbγcRaab

(7)

由上,得出本文需要優(yōu)化的4個(gè)目標(biāo)函數(shù),以上優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)在設(shè)計(jì)當(dāng)中被重視的程度清晰明了,故可運(yùn)用加權(quán)法將4個(gè)目標(biāo)函數(shù)聯(lián)系在一起,構(gòu)成一個(gè)綜合目標(biāo)函數(shù),作為最終的優(yōu)化目標(biāo)。由于各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的單位數(shù)量級(jí)不同,并且f1、f3、f4的值越小越優(yōu),f2的值應(yīng)盡量大，因此可將f1、f3、f4分別除以各自的平均值后得到f1、f3、f4,將f2除以平均值后取其倒數(shù),記為f2，則最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為:

f=λ1f1+λ2f2+λ3f3+λ4f4

(8)

式中：λ1、λ2、λ3、λ4為目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù),均為正值,且滿足λ1+λ2+λ3+λ4=1,相關(guān)研究資料顯示,好的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)在滿足結(jié)構(gòu)安全和受力合理的情況下盡量減少工程造價(jià),所以在本文中將λ1、λ2、λ3、λ4的大小分別定為:0.4、0.3、0.2、0.1。所以,在此整個(gè)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為求解一組自變量x1、x2、x3、x4使得f的值最小。

2.2.2 設(shè)計(jì)變量的選取

連續(xù)剛構(gòu)橋的參數(shù)優(yōu)化需綜合考慮上部結(jié)構(gòu)與下部結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的耦合作用[8]。本文選取邊中跨比x1、梁底曲線冪次x2、雙肢間距x3、單肢壁厚x4為4個(gè)設(shè)計(jì)變量,根據(jù)文獻(xiàn)調(diào)查[9],確定這4個(gè)設(shè)計(jì)變量的取值范圍為:0.48≤x1≤0.7;1.5≤x2≤2;3≤x3≤7;0.8≤x4≤2。

2.3 響應(yīng)面模型的建立與分析

依據(jù)2.2節(jié)的分析,建立BBD響應(yīng)面模型模擬試驗(yàn),運(yùn)用MIDAS/Civil橋梁有限元分析軟件建立29組試驗(yàn)?zāi)Ｐ?每組模型中除了4個(gè)自變量發(fā)生變化外,其余參數(shù)均按原橋型的設(shè)計(jì)參數(shù)不發(fā)生變化,提取模型的各個(gè)單元的截面慣性矩、兩端彎矩、單元長度、主梁彈性模量、單墩墩底軸力、整體重量和穩(wěn)定性安全系數(shù)。將得到自變量與目標(biāo)函值的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表1。

表2 BBD模擬試驗(yàn)結(jié)果表

2.4 粒子群算法優(yōu)化求解

采用Design-expert V8.0.5軟件對(duì)表2進(jìn)行響應(yīng)面結(jié)果分析,得出復(fù)相關(guān)系數(shù)R2=0.968、修正復(fù)相關(guān)系數(shù)R2adj=0.975,證明該響應(yīng)面模型較為可信度較高。圖4為綜合目標(biāo)函數(shù)預(yù)測(cè)得出綜合目標(biāo)函數(shù)的回歸方程,采用粒子群優(yōu)化算法通過計(jì)算軟件MATLAB對(duì)綜合目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu),由圖5可知經(jīng)過粒子群迭代尋優(yōu),迭代至10代即發(fā)生收斂。

圖4 綜合目標(biāo)函數(shù)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比圖

圖5 粒子群迭代收斂圖

以最優(yōu)參數(shù)組合建立橋型,與原設(shè)計(jì)橋型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果見表。優(yōu)化后橋梁穩(wěn)定性系數(shù)增加了16.3%,梁體彎曲應(yīng)變能減少了14.4%,雙肢薄壁墩有更好的強(qiáng)度儲(chǔ)備,證明優(yōu)化后橋梁結(jié)構(gòu)受力更加合理；混凝土總用量雖然增加了5.3%,但綜合目標(biāo)函數(shù)提高了8.3%,說明橋梁結(jié)構(gòu)受力性能更好、穩(wěn)定性和橋墩安全儲(chǔ)備得到了很大的提高。

表3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3 結(jié) 論

(1)以最優(yōu)參數(shù)組合建立橋型，與原設(shè)計(jì)橋型進(jìn)行對(duì)比，數(shù)據(jù)證明優(yōu)化后的橋梁結(jié)構(gòu)受力更加合理，穩(wěn)定性和橋墩安全儲(chǔ)備得到了很大提高。

(2) 采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)響應(yīng)面模型回歸方程進(jìn)行迭代尋優(yōu)的收斂速度較快,且可為其他參數(shù)不同的雙肢薄壁墩連續(xù)剛構(gòu)橋優(yōu)化提供參考。

(3) 響應(yīng)面法應(yīng)用于連續(xù)剛構(gòu)橋優(yōu)化時(shí)應(yīng)盡量多地設(shè)置設(shè)計(jì)變量,這樣優(yōu)化結(jié)果才更完善,但是增加設(shè)計(jì)變量會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)次數(shù)的大量增加,從而使得工作量大大提升,應(yīng)盡量采用更為智能化的計(jì)算方式計(jì)算目標(biāo)函數(shù),減少試驗(yàn)工作量。