向量參數(shù)方程與杠桿原理的平面幾何應(yīng)用研究

摘要：闡述了向量參數(shù)方程的基本內(nèi)涵和杠桿原理的數(shù)學(xué)含義，分析了向量參數(shù)方程和杠桿原理在高中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用案例，比較了應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理解決相同平面幾何問(wèn)題的運(yùn)算結(jié)果，提出了杠桿原理在高中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用建議。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);向量參數(shù)方程;杠桿原理;平面幾何;應(yīng)用研究

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）08-081-1

隨著近代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科的聯(lián)系更加緊密，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以運(yùn)用物理學(xué)的原理得以解決。筆者通過(guò)采取比較分析的研究方法，對(duì)比了向量參數(shù)方程和杠桿原理解決相同高中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題，其運(yùn)算結(jié)果高度一致。

一、向量參數(shù)方程的基本內(nèi)涵

平面向量是指在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量，物理學(xué)中也稱(chēng)作矢量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線(xiàn)段。其基本定理為：如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1，a2，使a=a1e1+a2e2。

以平面向量基本定理為依據(jù)，有如下引理：已知A，B是直線(xiàn)L上任意兩點(diǎn)，O是L外一點(diǎn)，則對(duì)直線(xiàn)L上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使關(guān)于基底{OA，OB}的分解式為=（1-t）OA+t OB. ①，其中AP=t AB.并且滿(mǎn)足①式的點(diǎn)P一定在L上。由此，對(duì)直線(xiàn)L上任意一點(diǎn)P，一定存在唯一的實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足向量等式①;反之，對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)t，在直線(xiàn)L上都有唯一的一個(gè)點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)。向量等式①叫做直線(xiàn)L的向量參數(shù)方程式，其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。

二、杠桿原理的數(shù)學(xué)含義

在“重心”理論的基礎(chǔ)上，阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，即“二重物平衡時(shí)，它們離支點(diǎn)的距離與重量成反比，計(jì)算公式為：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2。

杠桿原理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣描述：一條線(xiàn)段的點(diǎn)（支點(diǎn)）到兩端點(diǎn)的距離之比等于這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的受力之反比，即L1L2=F2F1;支點(diǎn)所承受的力等于兩端點(diǎn)受力之和，即Fo=F1+F2。

三、應(yīng)用分析

應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理解決高中數(shù)學(xué)相同平面幾何問(wèn)題。

例1：如圖，AF：FC=1：x，BD：DC=1：y，求AE：AD的值。

1.應(yīng)用向量參數(shù)方程求解

設(shè)AB=a，AC=b.

由引理得AD= （1-t）a+t b①，其中BD=t BC，所以t=11+y，代入①式，有AD=y1+ya+11+yb，那么AE=λ AD=λy1+ya+11+yb，另一方面，同理得AE=（1-s）a+ s AF= （1-s）a+s1+xb，這樣由平面向量基本定理有

2.應(yīng)用杠桿原理求解

以D為支點(diǎn)，BC為杠桿，設(shè)B處掛有1kg物體，由杠桿原理mBBD=mcDC，得mC=1/y kg，mD=mE+mC=（1+1/y） kg。同理由mAAF=mCFC，得mA=x/y kg，mAAE= mDED，得AE：ED=（1+y）/x，從而AE：AD=（1+y）/（1+y+x）。同樣也可以求出BE：BF的值。

例2：如上圖，BD：DC=4：1，AF：FC=2：5，求AE：ED的值。

1.應(yīng)用向量參數(shù)方程求解

運(yùn)用上述結(jié)論，由已知得BD：DC=1：1/4 ，AF：FC=1：5/2，其中y=1/4，x=5/2，所以有AE：ED= （1+y）/x = （1+1/4）/（5/2） =1/2.

2.應(yīng)用杠桿原理求解

設(shè)mE=1kg，由BD：DC=4：1得mC=4kg，進(jìn)而mD=5kg，由AF：FC=2：5得mA=10kg，從而AE：ED =mD/mA=1/2 .

通過(guò)以上比較分析，得出如下結(jié)論：應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理在解決相同高中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題時(shí)，其運(yùn)算結(jié)果一致，重現(xiàn)性好，可以逐步推廣。

應(yīng)用杠桿原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法簡(jiǎn)單易行，效果良好。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要結(jié)合高中課程改革的新要求，積極探索不同學(xué)科間的聯(lián)系、融合、滲透與應(yīng)用，不斷提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

[參考文獻(xiàn)]

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作者簡(jiǎn)介：欒德權(quán)（1988.08-），男，遼寧沈陽(yáng)人，一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)法研究。

（作者單位：沈陽(yáng)市第二十七中學(xué)，遼寧 沈陽(yáng) 110011）