2019年全國高考卷Ⅲ第23題的推廣及應(yīng)用

重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (404000) 黃 浩 蘭晨曦 陳曉春

2019年高考全國卷Ⅲ第23題(1)：

設(shè)x,y,z∈R，且x+y+z=1，求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.

上述不等式為條件不等式，將其一般化，可得到如下的不等式：

不等式1 設(shè)x,y,z,x0,y0,z0∈R,且Ax+By+Cz=S，其中A,B,C,D是常數(shù)，且A2+B2+C2≠0，則(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2≥

再將結(jié)論的左邊添加系數(shù)并將指數(shù)推廣有：

特別地，當(dāng)A=B=C=1，x0=y0=z0=0時有：

不等式2及不等式3，結(jié)構(gòu)對稱，形式優(yōu)美，對證明分式不等式十分有效，下面舉例說明：

例1 已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1，證明：(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.(2019年高考全國卷Ⅰ第23題(2))

證明:記原不等式左端為M，注意到在條件x+y+z=1，由冪平均不等式有xn+1+yn+1+zn+1≥

從不等式2的證明可以看出，可將不等式2及不等式3進一步推廣為：