基于非穩(wěn)態(tài)傳熱模型的高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)概述

胡璠樊 郭靜潔

摘 要 本文基于一維條件下，利用非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型解決在一定熱約束要求的條件下，高溫作業(yè)專業(yè)服裝未知層的最優(yōu)厚度。利用非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型，首先通過計(jì)算畢渥數(shù)得到模型的邊界條件，由顯式差分法導(dǎo)出偏微分方程的解析式，利用超越函數(shù)將解析式中的無窮級(jí)數(shù)化為常數(shù)，最后將邊界條件和初值條件代入偏微分方程得出溫度和距離的表達(dá)式。

關(guān)鍵詞 一維非穩(wěn)態(tài)非周期導(dǎo)熱;偏微分方程;最優(yōu)厚度

1問題重述

在高溫環(huán)境下工作時(shí)，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，其中I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。為設(shè)計(jì)專用服裝，將體內(nèi)溫度控制在37?C的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境中，測(cè)量并記錄假人皮膚外側(cè)的溫度[1]。

試解決：當(dāng)環(huán)境溫度為65℃、IV層的厚度為5.5 mm時(shí)，確定II層的最優(yōu)厚度，確保工作60分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47?C，且超過44?C的時(shí)間不超過5分鐘。

2模型的建立與求解

2.1 模型的建立

（1）分析與模型的引入

①分析：要求在環(huán)境溫度為65℃、IV層的厚度為5.5 mm的條件下，工作60分鐘，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，且超過44℃的時(shí)間不超過5分鐘，求Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。分析得出時(shí)間、厚度與溫度的關(guān)系，我們查閱相關(guān)的傳熱理論，引入非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱公式，建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型。用MATLAB畫出超越函數(shù)的圖像并求其根來解偏微分方程，進(jìn)而得出時(shí)間、厚度與溫度的不等式解集，在降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期的目的下，取不等式解集的最小值即為Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。

②模型的引入：通過分析可知，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層的溫度隨時(shí)間的推移不斷地升高，且導(dǎo)熱過程中在熱量傳遞方向上不同位置處的導(dǎo)熱量是處處不同的。在經(jīng)過一定的時(shí)間后，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ層的溫度之間趨于穩(wěn)定，最終達(dá)到熱平衡，為非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，即瞬態(tài)導(dǎo)熱，從而整個(gè)高溫作業(yè)服裝材料的傳熱模型被簡(jiǎn)化為一個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)四層結(jié)構(gòu)的傳熱模型。

在此，引入畢渥數(shù)的概念，它表征固體內(nèi)部單位導(dǎo)熱面積上導(dǎo)熱熱阻與單位面積上換熱熱阻之比：

（）。其中，為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，λ為固體導(dǎo)熱系數(shù)，為特征長(zhǎng)度，即厚度。由于本題設(shè)計(jì)服裝的目的是在高溫環(huán)境下實(shí)現(xiàn)隔熱，故表面對(duì)流換熱熱阻幾乎可以忽略，即，故。

物體內(nèi)部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，此時(shí)可認(rèn)為。那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度[2]。

（2）模型公式的推導(dǎo)

由于，故該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型可看作無限大平壁，進(jìn)而建立一維無限大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型。一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的方程為：

式中，為材料密度，為材料比熱容，為材料熱傳導(dǎo)率，為材料溫度，為防護(hù)服內(nèi)部初始溫度，為時(shí)間，初始條件為。

引入變量過余溫度，令，利用顯式差分計(jì)算方法，對(duì)偏微分方程分離變量并簡(jiǎn)化式子得：

此導(dǎo)熱模型溫度隨時(shí)間的變化而上升，經(jīng)分析可得溫度超過44℃在最后五分鐘內(nèi)，即，且假人皮膚外側(cè)溫度不超過47℃，即。

利用以上所列式子，且已知Ⅳ的厚度與假人半徑，故可求得的溫度解集，同理推得的溫度解集。令的溫度解集為，第II層厚度未知為第I層厚度已知為，且第I層的溫度也已知，可解得的取值范圍為，且，且題目要求降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期，故取兩個(gè)不等式并集的最小值即為最優(yōu)解。

2.2 模型的求解

首先我們利用MATLAB畫出超越方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖像

圖像只給出了的部分，但由兩函數(shù)的特點(diǎn)可知它們有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，但對(duì)于傳熱平板而言，當(dāng)時(shí)，累加系數(shù)趨于0。故定若，只取第一項(xiàng)。將每一層進(jìn)行計(jì)算，得出其的數(shù)值均大于0.2，所以各層只取第一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算[3]。

根據(jù)圖可知各層的第一項(xiàng)即為兩函數(shù)圖像在第一象限中的第一個(gè)交點(diǎn);與的值介于1與2之間;的值大于6;的值介于3與4之間。經(jīng)過計(jì)算，得出

3模型的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)

3.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）利用MATLAB求解溫度分布的數(shù)值，使計(jì)算簡(jiǎn)便快捷。

（2）引入非穩(wěn)態(tài)傳熱模型，并有效利用偏微分方程解決問題。

（3）以多層筒壁熱傳導(dǎo)模型垂直截面作為目標(biāo)，避免隨時(shí)間推移傳熱面積改變?cè)斐蓮?fù)雜情況。

（4）引入了過余溫度的概念，將四個(gè)不同層的偏微分方程聯(lián)系在一起。

3.2 模型的缺點(diǎn)

（1）IV層為空氣層，建立多層筒壁模型時(shí)未考慮該層的熱對(duì)流，而用熱傳導(dǎo)代替，會(huì)使結(jié)果有一定誤差。

（2）未考慮各層界面上熱量的損失。

3.3 模型的改進(jìn)

建立了防熱材料的一維非穩(wěn)態(tài)傳熱模型，提出了一體化多層熱防護(hù)材料服裝設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法，為多層熱防護(hù)材料服裝的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有效工具[4]。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳立明，戴政，谷宇，等.輕質(zhì)多層熱防護(hù)結(jié)構(gòu)的一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，（2）：43-49.

[2] 徐建良，湯炳書.一維熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解[J].淮陰師范學(xué)院報(bào)，2004，（3）：40-44.

[3] 李昂，王岳，陶然.傅里葉熱傳導(dǎo)和牛頓冷卻定律在流體熱血研究中的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用[J].工業(yè)技術(shù)創(chuàng)新，2016，（3）：498-502.

[4] 盧琳珍.多層熱防護(hù)服裝的熱傳遞模型及參數(shù)最優(yōu)決定[D].杭州：浙江理工大學(xué)，2018.