基于正則化弱相關(guān)的分布式MWC重構(gòu)算法

薛 歡，李 健，李 智

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都，610065）

引 言

隨著通信技術(shù)的飛速發(fā)展，在諸多重要領(lǐng)域，寬帶或者超寬帶信號(hào)已成為主流，傳統(tǒng)Nyquist采樣方法所面臨的高采樣率是目前許多硬件設(shè)備無法完成的，而且采樣后巨大的數(shù)據(jù)量給傳輸、存儲(chǔ)和處理都造成極大的壓力。壓縮感知（Compressed sensing,CS）[1-2]的出現(xiàn)為信號(hào)的欠采樣技術(shù)帶來了契機(jī)，其中，調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（Modulated wideband converter,MWC）[3-5]從理論到實(shí)際硬件電路，實(shí)現(xiàn)了寬帶稀疏信號(hào)的欠采樣和盲重構(gòu)。目前，MWC因其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)[6]，信號(hào)參數(shù)估計(jì)[7]等領(lǐng)域。然而，當(dāng)信號(hào)稀疏度變大時(shí)，MWC為保證重構(gòu)性能需要成倍增加通道數(shù)為代價(jià)，過大的硬件開銷顯得不切實(shí)際。此外，在一些實(shí)際的分布式應(yīng)用下，如認(rèn)知無線電頻譜感知[8-10]，單個(gè)MWC無法解決多徑衰落、陰影等問題。

為了解決MWC面臨的問題，分布式調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Distributed modulated wideband converter,DMWC)[11]在MWC的基礎(chǔ)上融入無線傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，該系統(tǒng)將每一個(gè)分布式感知節(jié)點(diǎn)看做MWC的一個(gè)通道，完成信號(hào)的采樣，然后各節(jié)點(diǎn)將采樣數(shù)據(jù)獨(dú)立發(fā)送至融合中心，由融合中心作出統(tǒng)一判決。文獻(xiàn)[12]引入馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)作為添加傳感節(jié)點(diǎn)的選擇方法，該方法提高了所選傳感節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量，使DMWC即使在時(shí)變支撐集環(huán)境下，仍能完美重構(gòu)信號(hào)支撐集。相繼地，Eldar等提出了基于均勻線性陣列（Uniform linear array,ULA）的MWC系統(tǒng)[13],在完成信號(hào)欠采樣的同時(shí)，通過陣列中各節(jié)點(diǎn)接收到的信號(hào)差異，得到信號(hào)的來波方向。同年，Wang等提出了基于互質(zhì)陣列（Coprime array,CA）的MWC系統(tǒng)[14]，可進(jìn)一步降低ULA-MWC系統(tǒng)的采樣率。由此可見，基于多節(jié)點(diǎn)、分布式的頻譜感知已經(jīng)成為發(fā)展趨勢(shì)，DMWC感知網(wǎng)絡(luò)在實(shí)現(xiàn)分布式頻譜感知領(lǐng)域中具有一定的研究?jī)r(jià)值。

在DMWC系統(tǒng)中，由于感知節(jié)點(diǎn)分布的位置不同，信號(hào)到達(dá)節(jié)點(diǎn)時(shí)存在一定的路徑傳輸衰減。在信號(hào)傳輸衰減較小時(shí)，采用正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)算法[15]即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的理想恢復(fù)，然而OMP算法迭代過程需要依賴信號(hào)稀疏度作為收斂條件。為了使DMWC更貼合實(shí)際的應(yīng)用，本文提出基于正則化弱相關(guān)的DMWC重構(gòu)算法（RwcOMP），與OMP不同的是，RwcOMP結(jié)合了“弱相關(guān)性”原則和正則化標(biāo)準(zhǔn)來篩選索引集，可提高原子的準(zhǔn)確性和效率，最后再由支撐集越界條件，刪除索引集中無效的原子，得到最終的支撐集。仿真結(jié)果表明，在信號(hào)稀疏度未知時(shí)，DMWC采用RwcOMP算法，能大大提高自身對(duì)信號(hào)傳輸衰減的容忍度；此外，與原來的OMP算法相比，RwcOMP算法重構(gòu)效果更佳。

1 DMWC系統(tǒng)模型

DMWC是壓縮感知和多節(jié)點(diǎn)協(xié)作頻譜感知的相互結(jié)合。如圖1所示，整個(gè)系統(tǒng)模型包括一個(gè)信號(hào)源、m個(gè)分布式感知節(jié)點(diǎn)以及一個(gè)融合中心。每一個(gè)分布式節(jié)點(diǎn)可看作MWC的一個(gè)通道，節(jié)點(diǎn)中包含隨機(jī)混頻、低通濾波、低速采樣模塊，各節(jié)點(diǎn)獨(dú)立地執(zhí)行信號(hào)的欠采樣任務(wù)，然后再將壓縮采樣數(shù)據(jù)發(fā)送到數(shù)據(jù)處理中心，由融合中心對(duì)欠采樣數(shù)據(jù)做出統(tǒng)一的判決。

圖1 DMWC協(xié)作頻譜感知網(wǎng)絡(luò)Fig.1 DMWC collaborative spectrum sensing network

由于源信號(hào)在實(shí)際傳輸過程中存在一定的路徑損耗，各分布式感知節(jié)點(diǎn)的接收信號(hào)必然存在差異。如圖1所示，設(shè)基站發(fā)射的源信號(hào)為x(t)，每一個(gè)感知節(jié)點(diǎn)與源信號(hào)的距離為di(i=1,2,3,…,m)。對(duì)于融合中心而言，節(jié)點(diǎn)與基站的距離是已知的，即di是先驗(yàn)知識(shí)。設(shè)αi是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)xi(t)相對(duì)于x(t)的路徑傳輸衰減系數(shù)，可定義為節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)功率與源信號(hào)功率的比值，根據(jù)電磁波在室外的傳輸模型，αi可表示為

式中：Pa表示接收功率，Pt表示發(fā)射功率，G表示系統(tǒng)增益，λ表示信號(hào)波長(zhǎng)，F(xiàn)表示表示系統(tǒng)損耗因子。如圖1所示，第i個(gè)感知節(jié)點(diǎn)的接收信號(hào)xi(t)可表示為

式中αi∈(0,1]。DMWC感知節(jié)點(diǎn)分布的位置不同，信號(hào)到達(dá)節(jié)點(diǎn)時(shí)存在不同的路徑傳輸損耗，因此，可結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)，根據(jù)式（1）估計(jì)αi的值。此外，文獻(xiàn)[11]指出，當(dāng)αi≥0.8，DMWC頻譜重構(gòu)性能不受傳輸衰減的影響。

如圖2（a）所示，在第i個(gè)通道中，節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)αix(t)與混頻序列pi(t)相乘后，輸出信號(hào)的傅里葉變換如下

混頻函數(shù)的參數(shù)如圖2(b)所示，從式（3）可以看出，混頻的過程實(shí)質(zhì)是將信號(hào)頻譜以fp為步長(zhǎng)搬移到基帶。再經(jīng)低通濾波后，以1/Ts的速率采樣，第i個(gè)通道的輸出采樣序列yi(n)的離散時(shí)間傅里葉變換表示為

圖2 DMWC系統(tǒng)及其參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of DMWC system and its parameters

式中：y(f)為長(zhǎng)度為m的向量。未知向量z(f)=[z1(f),…,zL(f)]T的長(zhǎng)度為zi(f)=X(f+(i-L0-1)fp),1≤i≤L,f∈FS，測(cè)量矩陣A的元素取值為由于cil的偽隨機(jī)特性，A依然是一個(gè)隨機(jī)測(cè)量矩陣，滿足RIP性[16]。

在融合中心從樣本序列yi[n]恢復(fù)原信號(hào)x(t)可歸結(jié)為求式（5）的最稀疏解z(f)，其融合規(guī)則主要是通過圖3所示的從連續(xù)到有限（Continuous to finite,CTF）模塊重構(gòu)信號(hào)支撐集S。

圖3 CTF模塊Fig.3 CTF module

圖中，構(gòu)造低維矩陣V的方式為

式中：y[n]=[y1[n],…,ym[n]]T是在nTS時(shí)刻的采樣矢量，對(duì)Q特征值分解后即可得到降維后的矩陣V，進(jìn)而構(gòu)造出圖3所示的新多測(cè)量向量模型V=Az(f)，采用OMP算法求出最稀疏解z(f)，即可得到原信號(hào)的支撐集S，一旦求得信號(hào)的支撐集，則可根據(jù)式（7）求得原信號(hào)。

式中：z[n]=[z1[n],…,zL[n]]T,zi[n]是zi(f)的反離散時(shí)間傅里葉變換，支撐集是頻譜切片Zi(f)非零子帶的所在位置。

2 基于正則化弱相關(guān)的DMWC重構(gòu)算法

由于OMP算法需要已知稀疏信號(hào)的頻帶數(shù)作為停止迭代的條件之一，而實(shí)際的電磁頻譜環(huán)境下，信號(hào)的稀疏度是難以獲得的。為了使DMWC更加貼合實(shí)際應(yīng)用，本文提出了一種基于正則化弱相關(guān)的DMWC重構(gòu)算法，該算法不依賴信號(hào)稀疏度作為收斂條件，通過給定一個(gè)固定的迭代次數(shù)Iter，即可高概率重構(gòu)信號(hào)支撐集。在具體介紹RwcOMP算法流程時(shí)，首先引入原子“弱相關(guān)性”的概念，它表示每次迭代是按門限值th來選取一定數(shù)量的弱相關(guān)原子，而不是僅選取一個(gè)相關(guān)性最大的值，門限值計(jì)算為

式中：門限參數(shù)的取值β∈(0,1]；pi是測(cè)量矩陣各列向量與殘差矩陣的內(nèi)積值，可用于表示向量之間的相關(guān)性。當(dāng)pi大于該門限時(shí)，就可通過初選加入索引集J。然后將索引集正則化，符合條件的原子才能加入支撐集候選集Λt。接著更新殘差，直到殘差的能量達(dá)到設(shè)定的閾值，則停止迭代；最后判斷支撐集是否越界，刪除其中相關(guān)性較小的無效原子。其中，正則化可表示為

圖4給出了RwcOMP算法的具體流程。

圖4 RwcOMP算法流程圖Fig.4 RwcOMP algorithm flow chart

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)的原始信號(hào)是寬帶稀疏多子帶調(diào)制信號(hào)x(t)，設(shè)置信號(hào)頻帶數(shù)N=4，其信號(hào)時(shí)域模型為

式中：能量系數(shù)Ei={1,2}，帶寬B={50,50,50}MHz，時(shí)間時(shí)延τi={0.7,0.4}，fnyquist=10 GHz，fi∈[0,fnyquist/2]，fs=fp=fnyquist/195≈51.3 MHz。為了體現(xiàn)抗噪性能，在原始調(diào)制信號(hào)中加入高斯白噪聲w(t)，即仿真的信號(hào)是x(t)+w(t)，信噪比SNR=10log(‖x‖2/‖w‖2)。所有實(shí)驗(yàn)都進(jìn)行500次蒙特卡洛循環(huán)。

為了找到RwcOMP算法的最佳門限參數(shù)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置通道數(shù)m={15,20,25,30}，迭代次數(shù)S=10，傳輸衰減系數(shù)αi=0.8，對(duì)比不同信噪比下，門限參數(shù)β從0.4增大到1.0時(shí)，支撐集恢復(fù)成功率pr的情況，如圖5所示。其中，pr的計(jì)算參照文獻(xiàn)[3]。在一定通道數(shù)和信噪比的條件下，pr隨著門限參數(shù)的變大而逐漸提高，當(dāng)β增大到一定限度時(shí)，若再繼續(xù)增大反而會(huì)使恢復(fù)率降低。從圖5（a）—（d）的全局對(duì)比來看，在本文設(shè)置的參數(shù)條件下，β的最優(yōu)值取0.9。

圖5 門限參數(shù)和支撐集恢復(fù)成功率的關(guān)系Fig.5 Relationship between threshold parameters and the support set recovery

圖6 衰減系數(shù)和支撐集恢復(fù)成功率的關(guān)系Fig.6 Relationship between attenuation coefficient and the support set recovery

由于DMWC感知節(jié)點(diǎn)分布位置不同，節(jié)點(diǎn)接受信號(hào)存在不同程度的傳輸衰減，為了驗(yàn)證在不同的傳輸衰減下，RwcOMP算法的恢復(fù)效果，設(shè)置衰減系數(shù)αi在區(qū)間[0.1,1]以1為步進(jìn)時(shí)，對(duì)比RwcOMP算法和OMP算法下DMWC支撐集恢復(fù)成功率。如圖6所示，在一定信噪比下，αi增大，表明信號(hào)的路徑損耗越小，支撐集恢復(fù)成功率也增大，當(dāng)衰減系數(shù)等于1時(shí)，此時(shí)信號(hào)不存在路徑傳輸損耗，支撐集恢復(fù)率受SNR的影響，而與αi無關(guān)。在SNR較高時(shí)（SNR=20 dB），衰減系數(shù)αi≥0.4，RwcOMP算法的恢復(fù)率就能達(dá)到90%以上，對(duì)比OMP算法，則需要αi＞0.6時(shí)，支撐集恢復(fù)率才能達(dá)到90%以上。當(dāng)信號(hào)存在嚴(yán)重的傳輸衰減時(shí)，如αi=0.3，在SNR為10和20 dB時(shí)，OMP算法的支撐集恢復(fù)率都非常低，但是RwcOMP恢復(fù)成功率比OMP分別提高了24.6%，31.6%。由此可見，RwcOMP算法大大提高了DMWC對(duì)傳輸衰減的容忍度。

在DMWC重構(gòu)過程中，支撐集恢復(fù)率除了受傳輸衰減的影響，感知節(jié)點(diǎn)數(shù)目也是影響恢復(fù)率的因素之一。圖7給出了在一定信噪比下，通道數(shù)在區(qū)間[15,35]內(nèi)以1為步長(zhǎng)變化時(shí)，RwcOMP算法和OMP算法的支撐集恢復(fù)情況，其中衰減系數(shù)取0.8是為了減少信號(hào)傳輸衰減對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。從圖可以看出，隨著通道數(shù)的增加，兩種算法的支撐集恢復(fù)率都在提高，在信噪比分別為5和15 dB的情況下，RwcOMP算法的恢復(fù)成功率在m的整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)均優(yōu)于OMP算法。由此可見，RwcOMP具有一定的抗噪性能。

圖7 通道數(shù)與支撐集恢復(fù)成功率的關(guān)系Fig.7 Relationship between the number of channels and the support set recovery

圖8給出了在一定信噪比下，兩種算法頻帶數(shù)與支撐集恢復(fù)率的關(guān)系，其中，衰減系數(shù)為0.8，頻帶數(shù)N∈[2,14]。在N≤6時(shí)，RwcOMP算法具有更好的恢復(fù)性能，如SNR=20 dB時(shí)，RwcOMP恢復(fù)率為98.4%，而OMP僅92.2%；當(dāng)N＞6時(shí)，由于通道數(shù)目的限制，兩種算法的恢復(fù)性能都急劇下降。當(dāng)N＞12時(shí)，兩種算法幾乎都無法恢復(fù)支撐集，因?yàn)榇藭r(shí)的信號(hào)不再視為稀疏信號(hào)。

圖8 頻帶數(shù)與支撐集恢復(fù)成功率的關(guān)系Fig.8 Relationship between the number of signal bands and the support set recovery

4 結(jié)束語

新近提出的DMWC系統(tǒng)具有靈活的分布式感知節(jié)點(diǎn)，能應(yīng)對(duì)時(shí)變信號(hào)時(shí)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目的彈性變化，提高感知準(zhǔn)確率。由于在實(shí)際電磁頻譜感知場(chǎng)景下，寬帶稀疏信號(hào)的頻帶數(shù)難以預(yù)知。因此，本文提出了基于弱相關(guān)性正則化的DMWC重構(gòu)算法，該算法不依賴信號(hào)稀疏度作為迭代收斂條件。仿真結(jié)果表明，信噪比足夠時(shí)，RwcOMP算法在保證重構(gòu)精度高于90%的前提下，對(duì)傳輸衰減的容忍度提升至0.4。此外，在同等條件下，RwcOMP算法的恢復(fù)性能優(yōu)于OMP算法。綜上所述，本文所提算法從理論上進(jìn)一步提高了DMWC的實(shí)際應(yīng)用前景及價(jià)值。