一種改進(jìn)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣估計(jì)方法

李嘉惠 張豐收 崔浩陽(yáng)

摘 要：在圖像拼接技術(shù)中，單應(yīng)性矩陣是實(shí)現(xiàn)兩幅圖像正確拼接的關(guān)鍵因素。針對(duì)傳統(tǒng)RANSAC算法誤匹配點(diǎn)概率較高，需要設(shè)置固定的投影誤差閾值t導(dǎo)致迭代次數(shù)多、運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)、估計(jì)的單應(yīng)性矩陣精度低等問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的RANSAC算法以降低誤匹配率。利用特征點(diǎn)周圍灰度梯度相似性，剔除初始匹配中部分誤匹配點(diǎn)，以減少矩陣估計(jì)的迭代次數(shù);通過(guò)快速舍棄錯(cuò)誤的單應(yīng)性矩陣以減少內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)時(shí)間，提高算法運(yùn)行效率;通過(guò)BGD算法最小化損失函數(shù)以擬合精確的單應(yīng)性矩陣。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的RANSAC算法能夠有效剔除誤匹配點(diǎn)，減少內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)時(shí)間，提高單應(yīng)性矩陣H的精度。

關(guān)鍵詞：圖像匹配;RANSAC算法;單應(yīng)矩陣;BGD算法;誤匹配點(diǎn)

DOI：10. 11907/rjdk. 191439 開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

中圖分類號(hào)：TP317.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2020）002-0149-04

英標(biāo)：A Homography Matrix Estimation Method Based on Improved RANSAC Algorithm

英作：LI Jia-Hui1，ZHANG Feng-shou1，CUI Hao-Yang 2

英單：（1.College of Mechanical and Electrical Engineering， Henan University of Science and Technology， Luoyang 471003， China;2.College of Mechanical and Electrical Engineering and Automation， Shanghai University， Shanghai 201900，China）

Abstract： In image stitching technology， the homography matrix is the key factor to achieve the correct stitching of two images. The traditional RANSAC algorithm has a high probability of mismatching points and needs to set a fixed projection error threshold t and it will lead to many iterations， long running time， and low accuracy of the estimated homography matrix. An improved RANSAC algorithm is proposed to reduce the mismatch rate. The similarity of gray gradient around feature points is used to eliminate some mismatched points in initial matching， so as to reduce the iteration times of matrix estimation. By quickly discarding the wrong homography matrix， the detection time of the inner point is reduced， and the operating efficiency of the algorithm is improved. The loss function is minimized by the BGD algorithm to fit the exact homography matrix. According to the results of the comparative experiment， the improved RANSAC algorithm can effectively eliminate the mismatch points， reduce the inside point detection time， and improve the accuracy of the homography matrix H.

Key Words： image matching; RANSAC algorithm; homography matrix; BGD algorithm; mismatch point

0 引言

圖像拼接技術(shù)是指將一組具有相互重疊部分的圖像進(jìn)行空間匹配對(duì)準(zhǔn)，經(jīng)重采樣融合成一幅包含各圖像序列信息的寬視角場(chǎng)景、可理解性更好的新圖像[1-2]。圖像配準(zhǔn)是指根據(jù)兩幅圖像重疊區(qū)的一致性求解圖像之間的投影變換，即平面單應(yīng)性矩陣，廣泛應(yīng)用于三維重建、目標(biāo)跟蹤和機(jī)器人視覺(jué)等領(lǐng)域[3-4]。目前圖像配準(zhǔn)方法研究最多、應(yīng)用最為廣泛的是基于特征點(diǎn)的圖像配準(zhǔn)方法。在特征點(diǎn)匹配過(guò)程中，不可避免地會(huì)產(chǎn)生誤匹配[3-6]，目前有很多消除誤匹配的方法，如霍夫聚類法、最小中位法以及隨機(jī)抽樣一致性算法（Random Sample Consensus，RANSAC）等等。其中，RANSAC由Fischler & Bolles在1981年提出，廣泛應(yīng)用于圖像拼接領(lǐng)域。文獻(xiàn)[7]中，在提取圖像的 SIFT 特征點(diǎn)后，根據(jù)閾值法對(duì)特征點(diǎn)進(jìn)行初始匹配，然后采用改進(jìn)的RANSAC 算法對(duì)初始匹配對(duì)篩選，再計(jì)算圖像間單應(yīng)性矩陣，最后使用加權(quán)平均的融合方法實(shí)現(xiàn)圖像的無(wú)縫拼接，可靠性較高但效率較低;文獻(xiàn)[8]提出了一種改進(jìn)的全景圖自動(dòng)拼接算法，利用 RANSAC 算法去除誤匹配，但是估計(jì)的單應(yīng)性矩陣精度低，拼接效果一般;文獻(xiàn)[9]中，在改進(jìn)的RANSAC算法中改用8對(duì)特征點(diǎn)匹配點(diǎn)對(duì)，確保對(duì)應(yīng)8個(gè)特征點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，從而大大降低迭代次數(shù)，提高運(yùn)算效率;文獻(xiàn)[10]重復(fù)采用兩次 RANSAC 算法引導(dǎo)匹配，降低了單應(yīng)性矩陣估計(jì)效率;文獻(xiàn)[11]首先進(jìn)行初步篩選，然后利用相似三角形求出基準(zhǔn)單應(yīng)性矩陣，設(shè)定閾值，剔除不滿足閾值的匹配點(diǎn)對(duì)，最后得到精確匹配點(diǎn)。一般當(dāng)匹配對(duì)超過(guò)一半外點(diǎn)時(shí)，RANSAC算法就能估計(jì)出正確的單應(yīng)性矩陣。但是在內(nèi)點(diǎn)概率[ω]非常小的情況下，迭代次數(shù)將非常高，導(dǎo)致運(yùn)算效率降低。

目前基于RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣估計(jì)均存在精度低、算法運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)等問(wèn)題。因此，本文提出一種改進(jìn)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣估計(jì)方法，能夠有效剔除誤匹配點(diǎn)，減少運(yùn)行時(shí)間，顯著提高單應(yīng)性矩陣精度。

1 RANSAC算法基本原理

RANSAC算法基本假設(shè)是樣本中包含正確數(shù)據(jù)也包含異常數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)集中含有噪聲。這些異常數(shù)據(jù)可能由于錯(cuò)誤的測(cè)量、錯(cuò)誤的假設(shè)、錯(cuò)誤的計(jì)算等產(chǎn)生。同時(shí)RANSAC也假設(shè)給定一組正確數(shù)據(jù)，存在可以計(jì)算出符合這些數(shù)據(jù)模型參數(shù)的方法[12-13]。它是一種有效的參數(shù)估計(jì)算法，通過(guò)不斷迭代，從包含內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取一定數(shù)量的樣本對(duì)單應(yīng)性矩陣進(jìn)行估計(jì)，最終找出內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)最多、誤差最小的單應(yīng)性矩陣。RANSAC算法的最小迭代次數(shù)如下：

其中，[ε]是內(nèi)點(diǎn)在觀測(cè)數(shù)據(jù)集中的比例，n是得到模型參數(shù)所需要的最少樣本數(shù)，p代表置信度，一般取0.95[～]0.99。計(jì)算兩幅圖像的單應(yīng)性矩陣所需的最少樣本數(shù)n=4，置信度取p=0.97。因?yàn)閮?nèi)點(diǎn)數(shù)在數(shù)據(jù)集中的比例通常未知，所以通常選擇最壞條件下的內(nèi)點(diǎn)比例，之后通過(guò)不斷更新此內(nèi)點(diǎn)比例進(jìn)行迭代。

SIFT算法是一種數(shù)字圖像特征描述常見(jiàn)的算法，這種描述具有尺度不變性，可在圖像中檢測(cè)出關(guān)鍵點(diǎn)，提取位置、尺度、旋轉(zhuǎn)不變量。通過(guò)傳統(tǒng)SIFT算法提取兩幅圖像的特征點(diǎn)后，采用歐式距離作為特征點(diǎn)進(jìn)行相似性度量[14]。雖然采用兩個(gè)特征點(diǎn)之間的歐氏距離進(jìn)行特征匹配的方法簡(jiǎn)單快捷，但難免會(huì)存在一些在尺度空間上特征比較相似的誤匹配點(diǎn)。因此，需要采用RANSAC算法去估計(jì)兩幅圖像之間的單應(yīng)性矩陣，然后再利用單應(yīng)性矩陣剔除誤匹配點(diǎn)[15]。

RANSAC算法步驟如下：①?gòu)某跏计ヅ鋵?duì)集合S中隨機(jī)選取4對(duì)匹配特征點(diǎn)作為內(nèi)點(diǎn)集合Si，估計(jì)初始的單應(yīng)性矩陣Hi;②用Hi計(jì)算S中剩余的匹配點(diǎn)對(duì)。如果某個(gè)特征點(diǎn)的投影誤差小于閾值t，則將其添加到Si中;③記下Si集合中匹配點(diǎn)對(duì)的數(shù)量;④重復(fù)以上步驟，直到迭代次數(shù)大于k;⑤比較哪次計(jì)算中內(nèi)點(diǎn)數(shù)量最多，內(nèi)點(diǎn)數(shù)量最多的那次估計(jì)模型就是所要求解的單應(yīng)性矩陣。

2 改進(jìn)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣估計(jì)方法

傳統(tǒng)的RANSAC算法主要存在兩個(gè)局限性[16]：①效率。傳統(tǒng)方法效率與子集大小、內(nèi)點(diǎn)比例以及數(shù)據(jù)集大小有關(guān)。當(dāng)數(shù)據(jù)集中存在較多的誤匹配點(diǎn)時(shí)，需要增加迭代次數(shù)，同時(shí)大量錯(cuò)誤的單應(yīng)性矩陣內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)會(huì)降低運(yùn)算效率;②精度。傳統(tǒng)方法在計(jì)算單應(yīng)性矩陣參數(shù)時(shí)，為了考慮效率，通常選取最小子集去估計(jì)模型參數(shù)，所以得到的模型參數(shù)并非最佳參數(shù)。

本文從3個(gè)方面對(duì)RANSAC算法加以改進(jìn)：

（1）利用特征點(diǎn)周圍灰度值的相似性進(jìn)一步剔除誤匹配點(diǎn)。在兩幅待拼接圖像中，兩對(duì)正確的特征點(diǎn)匹配對(duì)周圍灰度值的變化應(yīng)該具有很高的相似性，根據(jù)這一特性將初始匹配點(diǎn)按照灰度梯度變化的相似性從大到小依次排序，并將前80%的特征點(diǎn)匹配對(duì)作為求參點(diǎn)集，進(jìn)一步剔除誤匹配點(diǎn)，從而減少單應(yīng)性矩陣估計(jì)的迭代次數(shù)。本文采用8鄰域的拉普拉斯算子計(jì)算特征點(diǎn)周圍灰度值的梯度變化，具體公式如下：

其中step為步長(zhǎng)，在本文中step=1。

（2）快速舍棄錯(cuò)誤的單應(yīng)性矩陣以減少內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)時(shí)間。在每次隨機(jī)選取4個(gè)匹配點(diǎn)去估計(jì)初始單應(yīng)性矩陣后，即使單應(yīng)性矩陣不合理，也需要測(cè)試剩余的所有匹配點(diǎn)對(duì)，這大大增加了計(jì)算量。所以，本文利用初始單應(yīng)性矩陣在剩余匹配點(diǎn)對(duì)中隨機(jī)選取4對(duì)匹配點(diǎn)，如果這4對(duì)匹配點(diǎn)均適合該單應(yīng)性矩陣，則加入到內(nèi)點(diǎn)集中繼續(xù)進(jìn)行匹配操作，如果其中有任意一個(gè)匹配點(diǎn)對(duì)不符合該單應(yīng)性矩陣，則馬上舍棄該單應(yīng)性矩陣，重新選取新的匹配點(diǎn)對(duì)去估計(jì)新的單應(yīng)性矩陣。本方法可以快速舍棄不合理的單應(yīng)性矩陣，從而大大減少單應(yīng)性矩陣測(cè)試所有剩余匹配點(diǎn)對(duì)的時(shí)間。

（3） 在應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)算法時(shí)通常都會(huì)使用梯度下降法去訓(xùn)練模型參數(shù)，因此本文將采用批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）進(jìn)一步精確擬合單應(yīng)性矩陣參數(shù)，投影變換矩陣如下：

由式（3），把一個(gè)圖像中的[x，y，1]作為訓(xùn)練單應(yīng)性矩陣H的輸入數(shù)據(jù)，把另一個(gè)圖像中的[x，y，1]作為[x，y，1]對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽數(shù)據(jù)，因此特征點(diǎn)匹配對(duì)作為訓(xùn)練單應(yīng)性矩陣H的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。將之前由RANSAC算法獲得的單應(yīng)性矩陣H的值作為訓(xùn)練時(shí)的初始值，因此能夠在極短的時(shí)間內(nèi)使得損失函數(shù)收斂，獲得精確的單應(yīng)性矩陣。

BGD算法的具體思路是，在更新每一參數(shù)時(shí)都使用所有樣本進(jìn)行更新。假設(shè)單應(yīng)性矩陣H中的每個(gè)參數(shù)為[θj]，則線性回歸的假設(shè)函數(shù)為：

其對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)為：

其中，n=9，m是由RANSAC算法得到的最多內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

對(duì)損失函數(shù)求偏導(dǎo)可得：

最小化損失函數(shù)需按照每個(gè)參數(shù)[θ]的梯度負(fù)方向更新每個(gè)[θ]值：

其中[α]為學(xué)習(xí)率，它控制[θ]每次向[Jθ]變小的方向迭代時(shí)的變化幅度。[α]屬于超參數(shù)，多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，[α]取0.01時(shí)能夠使損失函數(shù)快速收斂并不發(fā)生局部振蕩現(xiàn)象。

通過(guò)上述公式可知該算法能得到一個(gè)全局最優(yōu)解，損失函數(shù)接近最小值時(shí)單應(yīng)性矩陣精度也最高。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

通過(guò)金相顯微鏡采集一組一元硬幣中“YI”字符局部的顯微圖像，如圖1所示。表1為顯微鏡采集環(huán)境，采用傳統(tǒng)RANSAC算法和改進(jìn)RANSAC算法作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證改進(jìn)RANSAC算法的正確性。

首先使用SIFT-PCA算法提取圖1（b，c）中的特征點(diǎn)，圖 1（b）的特征點(diǎn)個(gè)數(shù)為3 685個(gè)，圖1（c）的特征點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 087個(gè);然后采用近似最近鄰搜索算法按照R=0.6進(jìn)行初始匹配。初始匹配的特征點(diǎn)個(gè)數(shù)為220個(gè)，如圖2 所示，從圖2可以看出初始匹配后的圖像中存在大量誤匹配點(diǎn)。

圖2 初始匹配后的特征點(diǎn)匹配對(duì)

在初始匹配基礎(chǔ)上，分別采用傳統(tǒng)RANSAC算法和改進(jìn)后RANSAC算法估計(jì)單應(yīng)性矩陣，并利用單應(yīng)性矩陣剔除圖像中存在的誤匹配點(diǎn)對(duì)，式（8）、式（9）分別是傳統(tǒng)RANSAC算法的匹配結(jié)果和改進(jìn)RANSAC算法的匹配結(jié)果。從式（8）可以看出，傳統(tǒng)的RANSAC算法仍出現(xiàn)了少量誤匹配，需要進(jìn)一步剔除，而采用改進(jìn)后的RANSAC算法能夠進(jìn)一步剔除誤匹配和一些特征點(diǎn)匹配度較弱的匹配點(diǎn)。利用改進(jìn)RANSAC算法估計(jì)出的單應(yīng)性矩陣進(jìn)行透視投影變換，將右圖與左圖拼接，拼接結(jié)果圖3 所示。

傳統(tǒng)RANSAC算法的特征點(diǎn)匹配結(jié)果及傳統(tǒng)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣如下：

改進(jìn)RANSAC算法的特征點(diǎn)匹配結(jié)果及改進(jìn)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣如下：

為驗(yàn)證改進(jìn)RANSAC算法在估計(jì)單應(yīng)性矩陣精度和運(yùn)行時(shí)間上的優(yōu)越性，本文采用均方根誤差（RMSE）作為幾何誤差，將特征點(diǎn)匹配準(zhǔn)確率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

其中，S是剔除誤匹配后的匹配點(diǎn)個(gè)數(shù)，H是單應(yīng)性矩陣，[pi]是待匹配圖1中的某一點(diǎn)坐標(biāo)，[qi]是待匹配圖2中的某一點(diǎn)坐標(biāo)，[Hqi]為[qi]通過(guò)單應(yīng)性矩陣H轉(zhuǎn)換到圖1中的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)，dis代表歐式距離。

理論上在單應(yīng)性矩陣H非常精確的情況下，坐標(biāo)點(diǎn)[qi]與[Hqi]應(yīng)該重合，即幾何誤差RMSE=0。但RMSE一般是一個(gè)不為零的數(shù)，并且RMSE越小，估計(jì)的單應(yīng)性矩陣H的精度越高。由于RANSAC算法是隨機(jī)選擇內(nèi)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)模型估計(jì)的，因此本文統(tǒng)計(jì)5組實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

在計(jì)算特征點(diǎn)匹配準(zhǔn)確率時(shí)需要確定一個(gè)誤差閾值，也就是說(shuō)[dis（pi，Hqi）]的值小于某個(gè)誤差閾值時(shí)，可以判定這對(duì)特征點(diǎn)匹配正確。根據(jù)Krystian Mikolajczyk在《An affine invariant interest point detector》一文中對(duì)誤差閾值的設(shè)定可知，特征點(diǎn)檢測(cè)器實(shí)際上檢測(cè)的是特征區(qū)域，例如Harris-Affine檢測(cè)的是一個(gè)橢圓區(qū)域，SIFT檢測(cè)的是一個(gè)圓形區(qū)域，因此，當(dāng)兩個(gè)特征點(diǎn)區(qū)域的重疊誤差小于1.5個(gè)像素時(shí)，則可判定這是一對(duì)正確匹配的特征點(diǎn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取重疊誤差閾值為2，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，改進(jìn)的RANSAC算法相比于傳統(tǒng)的RANSAC算法能夠大大提高單應(yīng)性矩陣精度，降低了內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)時(shí)間，提高了執(zhí)行效率，從而驗(yàn)證了改進(jìn)RANSAC算法的正確性和有效性。為驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)RANSAC算法的魯棒性，將其應(yīng)用到多視野拼接過(guò)程中。圖4為“YI”字符的圖像序列，共采集相鄰的10個(gè)視野，拼接結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，拼接圖像無(wú)錯(cuò)位現(xiàn)象，且沒(méi)有發(fā)生明顯的扭曲變形，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法的魯棒性和精確性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)RANSAC算法存在迭代次數(shù)多、運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)、估計(jì)的單應(yīng)性矩陣精度低等問(wèn)題，提出一種基于改進(jìn)RANSAC算法的單應(yīng)性矩陣估計(jì)方法。利用特征點(diǎn)周圍梯度變換的相似性剔除初始匹配中的部分誤匹配點(diǎn)，通過(guò)快速舍棄錯(cuò)誤的單應(yīng)性矩陣，以減少內(nèi)點(diǎn)檢測(cè)時(shí)間;通過(guò)BGD算法最小化損失函數(shù)進(jìn)一步擬合精確的單應(yīng)性矩陣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的RANSAC算法能大大提高單應(yīng)性矩陣精度，減少運(yùn)行時(shí)間，提高算法執(zhí)行效率。但本文對(duì)于需要設(shè)置與問(wèn)題相關(guān)的閾值t沒(méi)有進(jìn)行深入研究，未來(lái)的工作是進(jìn)一步考慮閾值t對(duì)算法運(yùn)行效率和單應(yīng)性矩陣精度的影響。

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（責(zé)任編輯：杜能鋼）