多重元模型搜索方法及其在汽車輕量化設計中的應用

楊榮昆，顧紀超，李文琦，申 苗

（1.廣州汽車集團股份有限公司汽車工程研究院，廣州 511434；2.寶能汽車研究中心，廣州 510520）

不斷發(fā)展的汽車工業(yè)給人們帶來便利的同時，其需要的燃油和排放的廢氣也給石油工業(yè)和環(huán)境帶來了巨大的負擔。節(jié)省燃料、減少排放是汽車工業(yè)一直進行研究的重要課題。相關研究表明，汽車每減輕10%的質量，可節(jié)省燃油6%～8%[1-2]，排放降低4%[3]。因此，汽車輕量化設計成為每個企業(yè)不可或缺的重要研究內容。應用優(yōu)化方法對結構進行輕量化設計是工程師進行優(yōu)化設計的主要手段。相比傳統(tǒng)的 “試錯法”，優(yōu)化方法通常具有更高的效率和精度。而基于元模型的全局最優(yōu)化方法以其高效的特點吸引了眾多學者的關注。在這種類型的方法中，很多需要調用耗時的仿真分析進行的計算被數學函數所取代，極大地提高了搜索效率。元模型也叫做近似模型或者代理模型，是一種使用計算快速的數學函數代替耗時問題進行計算的方法。在過去的很多年中，學者們開發(fā)了很多各具特點的元模型，廣泛應用的有克里金（Kriging）[4-7]，二階多項式（QF）[8]，徑向基函數（RBF）[9]，多元自適應衰減樣條（MARS）[10]、支持向量基（SVR）等[11]。關于元模型的詳細介紹和性能分析可以見綜述文獻[11]～[15]。

為了得到更精確的結果，學者們開發(fā)了很多基于元模型的迭代式搜索方法。比如，著名的全局最優(yōu)化法（EGO）[16]、自適應響應面法（ARSM）[17]、模式搜索采樣法（MPS）[18]、混合自適應元模型法（HAM）[19]、自適應元模型全局優(yōu)化法（AMGO）[20]、基于混合原模型的設計空間管理法（HMDSM）[21]、基于多個元模型的設計空間區(qū)分法（MDSD）[22]、序列響應面法[23]和組合元模型法[24-29]。但是，這些方法都應用一組初始樣本點來擬合元模型開始搜索，而廣泛采用的拉丁方設計（LHD）[30]是在隨機數的基礎上變化而來，隨機性較強，一旦其質量較差，優(yōu)化方法的搜索效率和精度都會受到影響，甚至無法得到想要的結果。

本文提出一種多重元模型優(yōu)化方法并應用于汽車輕量化設計中，此方法應用兩組初始樣本點，擬合三組元模型，每一組都包含Kriging和二階多項式。在搜索過程中，首先由部分原始模型計算的昂貴點構建一個重點空間，并使用二階多項式在其中搜索。此外，為避免局部最優(yōu)的陷阱，采用構造的Kriging模型同時搜索整個設計空間。多重初始樣本點和多個元模型的應用，擴展了算法的應用范圍，提高了算法的穩(wěn)健性。

1 多重元模型搜索法（MSM）

由于構造技術的不同，使用相同的樣本點，不同的元模型技術擬合的元模型會有很大差別。即使擬合技術相同，不同的樣本點也會擬合出截然不同的元模型。圖1 給出了采用數目相同的兩組不同樣本點擬合某個函數的Kriging 模型。圖2 給出了使用相同樣本點擬合某個函數的Kriging 模型和QF 模型。為提高算法的應用范圍，搜索精度和效率以及穩(wěn)健性，本文提出一種多重元模型搜索方法（MSM），此方法采用兩組初始樣本點，擬合三組元模型進行搜索，其主要流程如圖 3 所示。

圖 1 不同的點擬合Kriging 模型

圖 2 相同的點擬合Kriging 和RBF 模型

圖 3 優(yōu)化流程

1.1 優(yōu)化流程

1.1.1 生成初始點并計算

平臺的整體構建能夠極大降低對葡萄加工、配送等設施設備的投入，通過將配送資源和平臺物流資源的有機結合，能夠有效的對配送任務進行規(guī)?；奶幚?，極大程度地降低了配送成本，提高了葡萄生產者應對市場變化的能力，滿足消費者對葡萄提出的時間以及新鮮度的要求，從而提升消費者的滿意度。

根據德國政府的規(guī)定，總投資超過2 500萬歐元的大型儀器設備、設施必須經德國科學顧問委員會評估后由政府批準。申請單位必須提出一份包括“科學計劃”和“技術設計報告”在內的完整充分的申請報告。例如，“可產生高強度，高質量離子束加速器”在其超過400頁的“科學計劃”中，描述了建造加速器的科學目標及前景，而“技術設計報告”則全面描述了加速器的布局、技術規(guī)格和性能參數、安全問題以及成本預算、組織管理等方面。

1.1.2 構建重點空間

CAMPRO（凱柏精機）于2003年7月，于中國臺灣臺中設立凱柏精密機械股份有限公司，同時于中國上海設立凱伯精密機械（上海）有限公司，從事研發(fā)、生產制造一系列的立式加工中心和數控（CNC）車床，并以自創(chuàng)品牌CAMPRO（凱柏精機）營銷于全球。凱柏在短短的五年之內從初創(chuàng)的小企業(yè)快速成長為一家產品線齊全、質量優(yōu)良且服務迅速的中型規(guī)模工具機制造廠。

式中：me為當前所有昂貴點的數目；i為迭代進行的次數。表 1 給出了優(yōu)化某個2 維問題時構造重點空間的昂貴點的數目。

表 1 構建重點空間的昂貴點的數目

由表1 可知，構建重點空間的昂貴點的數目從16 個增加到38 個，從第11 次迭代起固定為10 個。其數目逐漸增大然后減小，在一定程度上能夠使重點空間在前幾步搜索中不至于因縮小過快而導致全局最優(yōu)在重點空間之外，而且能夠使重點空間在第7次以后的搜索中快速縮小至全局最優(yōu)附近。圖4 是在搜索某個2 維問題時所得到的重點空間。由圖4 可知，重點空間在前7 次搜索中逐漸縮小，之后快速縮小至全局最優(yōu)附近。

圖 4 搜索某2 維問題的重點空間

1.1.3 擬合元模型

本文提出的方法采用兩組初始點，能夠擬合出3 組元模型，即第1 組初始點擬合的Kriging 模型第2 組初始點擬合的Kriging 模型和所有點擬合的Kriging 模型第1 組樣本點擬合的二階多項式第2 組初始點擬合的二階多項式和所有點擬合的二階多項式^h。

（1）二階多項式

二階多項式是BOX 和WILSON 最早在1951年分析試驗的時候開發(fā)出來的[8]，其主要形式如下：

式中：系數β由最小二乘法計算得到。

式中：ε為用戶定義的一個較小的數值；fj為第j個最小的函數值。由于從第11 次搜索起，構建重點空間的樣本點個數不再變化，所以MSM 方法從第11 次搜索起開始檢查終止條件。

在門診大廳設立醫(yī)保服務咨詢臺，熱情接待醫(yī)保咨詢患者及家屬，主動對醫(yī)保政策進行宣傳，提高患者對醫(yī)保政策及醫(yī)院管理的認可度，為參?；颊咛峁┓奖?。

1.1.7 檢查終止條件

式中：f(x)是一個已知函數，在此MSM 算法中采用常數；z(x)是一個平均值為0 而協方差cov[z（xi）,z（xj）]不為0 的隨機過程，所以Kriging可以表示為：

編者按：2018年是中國改革開放四十周年。四十年來，上?；ば袠I(yè)發(fā)展由封閉向開放，由簡單初級向綠色高端，由傳統(tǒng)要素投入向科技創(chuàng)新驅動加快轉變的40年。四十年來，上?；と吮娭境沙?、砥礪奮進、艱難探索，實現了上海石化產業(yè)的跨越式發(fā)展。四十年的歷史值得記載，四十年的經驗值得總結，四十年的春華秋實，讓人感慨。本刊特開辟紀念專欄，向讀者介紹上海石化產業(yè)改革發(fā)展的典型事例和成功經驗，以饗讀者。

式中：σ2為這個隨機過程的方差；R為相關系數矩陣。

1.1.4 應用LHD 生成廉價點

此步驟中產生的樣本點將使用上一步中擬合的元模型計算函數值，所以稱為廉價點。此步驟中將在重點空間和整個設計空間分別應用LHD 生成N個廉價點，N推薦為104，也可以根據需要定義。在重點空間生成的廉價點為：在整個 設計空間生成的廉價點為：

1.1.5 應用元模型估計廉價點的值

對手術切除及注射碘酊治療口腔粘液腺囊腫這兩種治療方法進行比較,我認為手術切除治療創(chuàng)傷大,手術時間長,術后遺留的瘢痕影響患者面部美觀,甚至導致患者面部畸形,患者心理壓力較大;而注射碘酊治療操作簡便,創(chuàng)傷小,術中出血少,有利于減輕患者的心理壓力,提高患者耐受力。因此,注射碘酊治療治療口腔粘液腺囊腫療效肯定,操作簡單,傷口愈合良好,醫(yī)療費用低,無需借助特殊醫(yī)療器械,各級醫(yī)療機構及基層醫(yī)院都可以開展,應是治療口腔粘液腺囊腫的首選方法。

財務風險的防范控制一直以來都是國內外企業(yè)經營管理領域研究的重要方面。隨著我國改革開放的深入和世界經濟一體化的加快，而目前很多企業(yè)存在著財務結構不合理，融資不恰當等原因，面臨的財務風險也逐漸的增加，因此企業(yè)財務風險的防控管理研究越來越受到學術界的關注，很多企業(yè)期望通過財務風險管理的辦法來降低企業(yè)面臨的財務風險，促進企業(yè)穩(wěn)定、長遠的快速發(fā)展。雖然很多公司在財務風險管理方面做出了一些努力，但是依舊存在著一些問題，阻礙了企業(yè)的發(fā)展。由此，本文對企業(yè)財務風險管理存在的問題展開分析，提出相應的改進策略，幫助企業(yè)提升財務風險管理水平，為企業(yè)的財務風險管理提供一些參考價值。

根據泰勒公式，QF 可以在局部準確擬合任何平滑函數[18]，而Kriging 在整個設計空間具有較高精度[15]。所以，在本文提出的MSM 方法中應用QF在重點空間搜索，而Kriging 搜索整個設計空間來避免全局最優(yōu)不在重點空間而導致丟失全局最優(yōu)。這一步中將得到6 組函數值，即使用第1 組點生成的Kriging 模型計算得到的使用第2 組點生成的Kriging 模型計算得到的使用所有點生成的Kriging 模型計算得到的以及使用第1組點生成的二階多項式模型計算得到的使用第2 組點生成的二階多項式型計算得到的和使用所有點生成的二階多項式模型計算得到的

夏津縣北城水系生態(tài)水土保持工程的實施，使項目區(qū)的林木覆蓋率提高到15%，沙化和荒漠化情況得到了顯著改善，田園小氣候得到較大改善，農副產品商品率提高，經濟效益和生態(tài)效益、社會效益收益顯著，為沙化、荒漠化防治提供了成功經驗。

1.1.6 選取新的昂貴點

項目管理會計核算對建筑企業(yè)的作用不言而喻，我們應該更加關注與重視這方面的工作，以促進我國建筑行業(yè)的進步與發(fā)展。

在此算法中，重點空間由一部分函數值最小的昂貴點構成，構成重點空間的昂貴點的數目，ne，由以下公式定義：

Kriging 模型是由KRIGE 在1951 年開發(fā)出來的，其主要形式如下：

新提出的MSM 算法采用5 個最小的函數值（真實值）的平均值作為收斂條件，減公式（2）。如果其改進可以忽略，則算法終止。否則重復步驟2至步驟6，直至滿足終止條件。

1)0.3mm滲層刀片硬度梯度最大，0.9mm滲層刀片硬度梯度最小，0.6mm滲層刀片硬度梯度介于兩者之間(如圖6所示)?？赡茉蛴?點：①滲碳時，0.3mm滲層刀片的滲碳溫度最低，滲碳時間最短，滲碳劑的分解程度最低，活性碳原子濃度最?。虎跐B碳溫度最低，碳原子在組織中的擴散速度最慢；③3種滲層表面硬度相差不大，心部組織硬度相同，但0.3mm滲層刀片的滲層最薄。在這3者的共同作用下，導致0.3mm滲層刀片的硬度梯度最大，0.6mm滲層刀片次之，0.9mm滲層刀片的最小。

（2）Kriging 模型

2 算法驗證

2.1 數學函數

文中將使用4 個廣泛使用的標準函數算例對新提出的MSM 方法進行驗證，這4 個函數是10變量的函數、16 變量的F16 函數、20 變量的Sum Squares 函數（SSF）和24 變量的Powell 函數。

（1）Goldstein and Price 函數（GP）[25]

（2）Paviani 函數（PF），N=10[27]

（3）Dixon-Price 函數（DP），N=10（4）F16 函數，N=16

根據國家發(fā)改委及建設部發(fā)改投資〔2006〕1 325號文件(2006-07-03)頒發(fā)的《建設項目經濟評價方法與參數(第三版)》、國家能源局2009年發(fā)布的《輸變電工程經濟評價導則》，采用電力規(guī)劃設計總院“輸變電工程經濟評價軟件”對各方案的島內落地電價進行測算，運行年限按25年，內部收益率按8%考慮。各方案總投資、電源單位容量投資和落地電價明細如表3所示。

（5）Sum Squares 函數（SS），N=2（6）Powell 函數（PF），N=24

這6 個函數的變量個數從2 到24，除Sum Squares 函數為二階多項式外，其它都是高度非線性函數。在測試中，每個函數連續(xù)運行100 次，其得到的最小值的平均值，min，所用迭代次數的平均值，nit，和所用昂貴點個數的平均值，nfe，作為參數表示算法的性能。其中，min和nit保留一位小數，nfe只保留整數部分。而且，應用著名的EGO 所得到的結果也將給出并與MSM 進行比較。

由表2 可知，EGO 在優(yōu)化F16 函數時精度高于MSM，而MSM 在優(yōu)化Dixon-Price 和Sum Squares函數時精度更高。在優(yōu)化其它函數時，二者精度接近。在搜索效率方面，這兩個方法每一次搜索得到的新的昂貴點可以同時計算，所以迭代次數可以作為代表算法搜索效率的主要參數。對于這4 個函數，MSM 最多搜索19.8 次就能得到較高精度的結果，僅使用了EGO 20%的計算時間，搜索效率遠遠高于EGO。因此，MSM 具有較高的搜索精度和搜索效率，可以選擇作為優(yōu)化工具來解決實際工程問題。

表 2 數學函數優(yōu)化結果

2.2 汽車輕量化設計

某款副車架質量為73.6 kg，為降低成本，需要對其進行輕量化設計。根據公式標準，其剛度，即在放置200 kg 貨物時所產生的最大位移不能超過2.0 mm，優(yōu)化模型見式（13）。

式中：mass 是優(yōu)化目標，表示整個結構的質量， kg；dis 是施加的力所產生的最大位移， mm；t1-18是18 個較大零件的厚度，作為優(yōu)化變量，mm，根據經驗其搜索區(qū)間定義為0.6 ～2.5 mm。圖5 是此副車架的有限元模型。此模型將調用商業(yè)軟件MSC Nastran 進行計算，優(yōu)化結果見表3。

經過14 次搜索，調用有限元模型計算133 次，MSM 方法得到最優(yōu)解，結構的質量從73.6 kg，減少到65.6 kg，減少了8.0 kg，施加力所產生的位移為1.98 mm，滿足設計要求，如圖 6 所示。

圖 5 副車架分析有限元模型

表 3 輕量化結果

圖 6 施加力產生的位移

3 結論

本文提出一種多重元模型搜索方法，此方法首先選取兩組初始點，擬合三組元模型進行搜索。經過4 個數學函數算例驗證，此方法具有很高的搜索效率和搜索精度。將其應用于實際工程中的輕量化設計，經過14 次搜索得到最優(yōu)值，系統(tǒng)的質量減少8.0 kg，證明了它在實際工程中的應用潛力。此外， 該MSM方法除終止條件可以根據需要進行調整外，無需修改其它參數，使用簡單方便。