初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最短距離問(wèn)題及解法

歐偉榮

（四川省南充市吉安初級(jí)中學(xué)，四川 南充 637946）

一、解題基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)中，最短距離問(wèn)題的基本題型主要包含了以下幾種：（1）點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短距離解題思路就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離是最短的，兩點(diǎn)之間的所有線(xiàn)段中，直線(xiàn)段最短；（2）點(diǎn)到線(xiàn)的最短距離，解題思路為點(diǎn)與線(xiàn)的垂線(xiàn)段最短，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離中，以點(diǎn)為起點(diǎn)，向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段距離最短；（3）線(xiàn)段距離之和，對(duì)點(diǎn)進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換處理。在初中階段，最短距離問(wèn)題多以將軍飲馬、建廠(chǎng)選址為實(shí)例。在已知直線(xiàn)上存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果要滿(mǎn)足距離最短要求，同樣利用的是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的思路，最終所確定的線(xiàn)段與直線(xiàn)的交點(diǎn)就是最終的動(dòng)點(diǎn)，而在這一條件下，同樣有效驗(yàn)證了三角性?xún)蛇呏痛笥诘谌吔Y(jié)論的正確性。

二、基本題型——螞蟻爬行問(wèn)題

（一）正方體

一為棱長(zhǎng)為a的正方體，在頂點(diǎn)A處存在一只螞蟻，如果它想要吃到B點(diǎn)的食物，需沿著正方形的表面開(kāi)始爬行，那么，在此過(guò)程中，這只螞蟻需要爬行的最短距離是多少？

分析：將正方體表面展開(kāi)，將頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B連接起來(lái)，那么，此問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為了求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，這一長(zhǎng)度也就是螞蟻爬行的最短距離。由于△ABC為直角三角形，AB=2a，BC=a，根據(jù)勾股定理，也就可以求得AB的長(zhǎng)度。AB=√AC2+BC2=√5a。這一解題思路同樣可以被放在長(zhǎng)方體的解題思路中。

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，存在a ＞b ＞c ＞0，在頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，如果它想吃到頂點(diǎn)B處的食物，沿著正方體表面爬行，則它需要爬行的最短距離是多少？

解：從點(diǎn)A到B有3條不同的路徑可選，如圖1所示，根據(jù)不同的展開(kāi)方式，其路徑長(zhǎng)短也有所不同，在連接AB以后，AB的長(zhǎng)度也有所不同。

路線(xiàn)①，當(dāng)長(zhǎng)為b、c的邊展開(kāi)以后在同一條直線(xiàn)時(shí)，根據(jù)勾股定理，

路線(xiàn)②，當(dāng)長(zhǎng)為a、c的邊展開(kāi)后在同一直線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)勾股定理，

路線(xiàn)③，當(dāng)長(zhǎng)為a、b的邊展開(kāi)后在同一直線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)勾股定理，

因?yàn)榇嬖赼 ＞b ＞c ＞0，所以，1l是最短距離。

（二）圓柱體

如圖2，在圓柱體中，在點(diǎn)A處有一只螞蟻，它如果想吃到點(diǎn)B處的食物，沿著圓柱體的表面爬行時(shí)，爬行的最短距離是多少？

分析：設(shè)該圓柱體的底面半徑為r，高為h，螞蟻從點(diǎn)A沿著圓柱體的表面爬行，到點(diǎn)B吃食物，如何爬行，才能夠使得總體的爬行距離最短？這種情況下，有兩條路徑可以選擇，路徑1如圖3，也就是A-B，路徑2如圖4，也就是A-C-B，其中，哪一條路徑最短？

路徑2下，路徑長(zhǎng)度為l2=AC+B=h+2r

（三）圓錐體

如圖5，圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)12，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓錐側(cè)面爬行一周以后再次回到A點(diǎn)，那么此時(shí)，螞蟻的最短爬行路徑是多少？

分析：要使得螞蟻在圓錐側(cè)面爬行的路徑最短，要首先將圓錐側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的原理來(lái)找出最短路徑，進(jìn)而求解。

解：圓錐側(cè)面展開(kāi)以后如圖6所示，在將圓錐側(cè)面展開(kāi)以后，圓錐側(cè)面展開(kāi)弧長(zhǎng)與圓錐底面圓的周長(zhǎng)相等。因此，存在以下關(guān)系：根據(jù)這一公式，可以求解得出，n=60°，連接AA＇，存在SA=SA＇，這種情況下，△SAA＇為等邊三角形，AA＇=12。

結(jié)束語(yǔ)

近年來(lái)，隨著新課程改革的深入進(jìn)行，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，最短距離問(wèn)題是最為常見(jiàn)的考點(diǎn)，雖然題型多樣，但是，解題思路無(wú)外乎幾種，在最短距離的求解過(guò)程中，有關(guān)人員必須要首先判定題型的具體情況，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上來(lái)采取恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，使得能夠在最短的時(shí)間內(nèi)獲得相應(yīng)的結(jié)果，用數(shù)學(xué)思維來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。