例談由全等到相似

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中學(xué)的平面幾何是一個比較復(fù)雜的內(nèi)容,在各種考試中占的比例都很大,是同學(xué)們比較頭疼的問題。同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中,要多對題目進(jìn)行總結(jié)歸納、類比遷移,真正理解幾何模型及它們的特征,從而達(dá)到事半功倍的效果。下面我們來看這樣一組例題。

例1已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接AE,BD交于點O,AE與DC交于點M,BD與AC交于點N。

(1)如圖1所示,求證：AE=BD。

(2)如圖2所示,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2 中四對全等的三角形。

圖1

圖2

解：(1)因為△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,DC=EC。 所 以 ∠ACB+∠ACD= ∠DCE+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE。 在 △ACE與 △BCD中,所 以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD。

(2)由題意得∠ACB=∠DCE,AC=BC,DC=EC。因為AC=DC,所以AC=CD=EC=CB,所 以△ACB≌△DCE(SAS)。由(1)可 知,∠AEC= ∠BDC,∠EAC=∠DBC,所以∠DOM=90°。又因為∠AEC= ∠CAE= ∠CBD,∠ACB=∠DCE,所以∠MCE=∠NCB。又CE=CB,所 以△EMC≌△BNC(ASA),所 以CM=CN,所以DM=AN,所以△AON≌△DOM(AAS)。因為DE=AB,AO=DO,所以Rt△AOB≌Rt△DOE(HL)。

由這個模型還可以得到以下常見結(jié)論：∠BOE=90°,OC平分∠BOE,OE=OB。

圖3

例2如圖3所示,△ADE,△FBC為等腰直角三角形,斜邊EA,FB在同一直線上,連接BD交FC于點N,連接CE交AD于點M,連接MN。

(1)證明：AM=FN。

(2)證明：MN與BE平行。

證明：(1)因為△ADE,△FBC為等腰直角三角形,所以∠DAE=∠CBE=45°,所以AD∥BC。同理,DE∥CF。所以△AME∽△BCE,△BNF∽△BDE,所以FN=又因為AE= 2DE,BF=2BC,所以AM=FN。

(2)過M作MH⊥AE,NK⊥BE,垂足為H,K。由題意知,∠DAE= ∠CFB=45°, 在△AMH與△FNK中,所以△AMH≌△FNK(AAS),所以MH=NK。因為∠MHA=∠NKB=90°,所以MH∥NK。

兩個例題的基本模型都是等腰直角三角形,一個是手拉手共頂點問題,一個是不共頂點問題,一個是全等,一個是相似。共同點是都要用到邊和角的等量關(guān)系,不同點是等量關(guān)系所用的結(jié)論不同。

小結(jié)：三角形的全等與相似是平面幾何的基礎(chǔ),在學(xué)習(xí)的過程中,有不少同學(xué)因為這一部分內(nèi)容太難而喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此,在學(xué)習(xí)的過程中,同學(xué)們要多總結(jié)基本題型,多前后對比,提升學(xué)習(xí)興趣,提高解決問題的能力。