基于改進(jìn)引力搜索算法的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

李彥蒼，楊宗瑾

(河北工程大學(xué)，河北 邯鄲 056038)

0 引 言

對于桁架結(jié)構(gòu)，在給定結(jié)構(gòu)形式、材料和形狀的情況下，優(yōu)化各個(gè)桿件的尺寸，使結(jié)構(gòu)在滿足約束條件的同時(shí)達(dá)到結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最輕、設(shè)計(jì)合理性最佳、工程成本質(zhì)量最輕，即為結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1-2]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量多，采用傳統(tǒng)的計(jì)算方法解決這些問題面臨著計(jì)算復(fù)雜度高、計(jì)算時(shí)間長等問題，對具有啟發(fā)式特征的計(jì)算智能方法的研究越來越活躍。而過去十年里，一系列智能算法正在興起，如遺傳算法(genetic algorithm，GA)、粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)、蟻群優(yōu)化(ant colony optimization，ACO)、模擬退火(simulated annealing，SA)、和聲搜索(harmony search，HS)和螢火蟲算法(firefly algorithm，F(xiàn)A)[3-8]。這些方法不需要傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)假設(shè)，因此與傳統(tǒng)方法相比，增加了全局最優(yōu)的定位概率。元啟發(fā)式優(yōu)化方法的隨機(jī)性質(zhì)可以允許在比傳統(tǒng)優(yōu)化方法中更大部分的搜索空間中進(jìn)行探索。國內(nèi)外學(xué)者也將智能算法應(yīng)用到桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，如混沌增強(qiáng)碰撞體算法(enhanced chaotic colliding bodies algorithms，ECBO)[9]、改進(jìn)二元蝙蝠柔性抽樣算法(improved binary bat flexible sampling algorithm，IBBA)[10]、模擬植物生長算法等均對桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化[11]，有效推動了桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的發(fā)展。但在算法收斂速度、穩(wěn)定性方面還有研究的空間。

Rashedi等人根據(jù)引力定律與運(yùn)動定律，提出新的元啟發(fā)式方法，即引力搜索算法(gravitational search algorithm，GSA)[12]。之后國內(nèi)外學(xué)者對GSA進(jìn)行了研究和改進(jìn)，如文獻(xiàn)[13]引入人工蜂群搜索機(jī)制，幫助算法跳出局部最優(yōu)值；文獻(xiàn)[14]通過動態(tài)調(diào)整引力常數(shù)，平衡全局搜索能力；文獻(xiàn)[15]提出了一種神經(jīng)和模糊重力搜索算法，加快了算法的收斂速度，改善了全局搜索能力。GSA已被應(yīng)用于無人機(jī)航路規(guī)劃、電力控制、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[16-20]。雖然GSA具有高精度和穩(wěn)定性的特點(diǎn)，但它具有易陷入局部最優(yōu)、搜索精度低和收斂速度低的缺點(diǎn)。當(dāng)種群中找到其當(dāng)前的最佳位置時(shí)，其他群體將迅速收集到它。因此，GSA陷入局部最優(yōu)。

在該研究中，提出了改進(jìn)引力搜索算法，用于桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。提出的IGSA旨在消除GSA的缺點(diǎn)，并提高其對GSA的局部搜索能力。為了達(dá)到這個(gè)目的，通過引入混沌映射使GSA初始種群遍歷整個(gè)搜索空間，提高算法找出最優(yōu)解的可能性。通過引入粒子群算法中的粒子運(yùn)動方程，提高粒子間的信息交流和記憶能力，以幫助算法逃出局部最優(yōu)解，找到全局最優(yōu)解。文中采用了6個(gè)典型的測試函數(shù)以驗(yàn)證IGSA的性能，優(yōu)化結(jié)果表明，改進(jìn)后的引力搜索算法收斂速度更快，收斂精度更高，更有可能找到全局最優(yōu)解。文中對72桿空間桁架進(jìn)行尺寸優(yōu)化，用IGSA優(yōu)化后的尺寸比GSA和其他算法得出的結(jié)果要小，說明IGSA是一種具有高全局搜索能力的強(qiáng)大優(yōu)化算法。

1 基本引力搜索算法

引力搜索算法是從萬有引力公式和牛頓第二定律中得到靈感，由Rashedi等人于2009年提出[12]。引力搜索算法(GSA)是一種新的群體優(yōu)化智能算法。每一個(gè)粒子都有4個(gè)屬性：位置，慣性質(zhì)量，被動和主動引力質(zhì)量。粒子的位置代表問題的潛在解，引力和慣性質(zhì)量則用于適應(yīng)度函數(shù)。

算法中每個(gè)粒子的被動和主動引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，均為Mi,i=1,2,…,N，N為種群規(guī)模。Mi的定義如下：

(1)

(2)

其中，fiti(t)為粒子i在第t次迭代時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)值，best(t)與worst(t)為第t次迭代時(shí)所有粒子中最優(yōu)與最差適應(yīng)度函數(shù)值。

(3)

其中，Rij(t)為粒子i與粒子j之間的Euclidean距離，ε為極小的常數(shù)，防止分母為0。G(t)為第t次迭代時(shí)引力常量取值，G是時(shí)間的遞減函數(shù)。必須指出的是，G(t)對于確定GSA的性能很重要，定義如下：

(4)

其中，G0和β分別是G的初始值和常數(shù)，tmax是最大迭代次數(shù)。

在第d維空間中，粒子i收到的總作用力來自于其他所有粒子的施加的力矢量和：

(5)

其中，kbest定義為粒子質(zhì)量按降序從最佳值到第k個(gè)粒子的集合，k在開始時(shí)初始化為k0并隨時(shí)間減小。這里，k0設(shè)定為N，并且線性減小到單位1。randj為[0,1]中均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)牛頓第二定律，粒子的加速度如下：

(6)

粒子的速度和位置如下式：

(7)

(8)

其中，randi是區(qū)間[0,1]中均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 算法的改進(jìn)

2.1 混沌初始化策略

混沌理論是指對混沌動力系統(tǒng)的研究。混沌系統(tǒng)是對其初始條件高度敏感的非線性動力系統(tǒng)。在初始條件導(dǎo)致系統(tǒng)的結(jié)果變化很大?；煦缇哂斜闅v性和均勻性的特點(diǎn)，利用混沌的良好的特征對GSA初始化，可以使GSA初始種群遍歷整個(gè)搜索空間，提高算法找出最優(yōu)解的可能性。文中采用Logistic映射進(jìn)行種群初始化，其方程如下：

f(k+1)=af(k)(1-f(k))(k=0,1,2…,

0≤f(k)≤1)

(9)

當(dāng)變量a=4時(shí)，該模式進(jìn)入完全混沌狀態(tài)。

混沌算法的步驟如下：

(1)將n個(gè)初始值分別賦予式(9)，可以得到n個(gè)不同的混沌值，令當(dāng)前的最優(yōu)適應(yīng)值的粒子為x*，g(x*)為當(dāng)前最佳適應(yīng)值。

(2)利用混沌變量進(jìn)行搜索。

(10)

其中，pj和qj為常數(shù)且大于0。通過對其值的調(diào)整，可以把混沌變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的優(yōu)化變量的取值范圍。

根據(jù)下式計(jì)算性能指標(biāo)：

g(k)=g(x(k)),x(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))

(11)

(3)如果g(k)

利用混沌算法產(chǎn)生初始解的過程如下：

step1：隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)初始解，并將其映射到Logistic方程的定義域內(nèi)。

step2：用Logistic方程進(jìn)行迭代產(chǎn)生混沌序列。

step3：將產(chǎn)生的混沌序列映射到原來的定義域內(nèi)。

step4：將兩類初始解進(jìn)行排序，將適應(yīng)度較優(yōu)的解作為種群的初始解。

2.2 PSO-GSA混合優(yōu)化算法

基本的引力搜索算法GSA是依靠粒子間的相互作用力來傳遞信息和更新位置，然而，缺少對歷史最優(yōu)解和群體最優(yōu)解的保存和學(xué)習(xí)功能，可能會丟失一些更好的解，不利于算法的收斂速度。

粒子群算法PSO是Kenndy和Eberhart提出的一種進(jìn)化算法[21]。粒子群算法的靈感來源于鳥群的社會行為。它使用許多粒子在搜索空間中飛行，以找到最佳解。同時(shí)，粒子都會看到它們路徑中的最佳粒子。粒子會考慮它們自己的最佳解，以及到目前為止發(fā)現(xiàn)的最佳解。

粒子群算法中的每一個(gè)粒子都要考慮當(dāng)前位置、當(dāng)前速度、距離到最優(yōu)和距離到最優(yōu)的距離，才能對粒子群的位置進(jìn)行修正。

文中將粒子群算法中對個(gè)體歷史最優(yōu)解和群體最優(yōu)解的記憶和學(xué)習(xí)的思想用于引力搜索算法，將式(7)改進(jìn)為：

(12)

式(12)可能會影響到算法的探索階段，因?yàn)樵撌绞且粋€(gè)恒定的速度更新公式，為了防止新的更新速度法降低勘探能力，將c1,c2改為動態(tài)的變量。自適應(yīng)地減少c1，增加c2，使得當(dāng)算法到達(dá)開發(fā)階段時(shí)，粒子趨向于向最優(yōu)解快速移動。由于進(jìn)化算法中勘探階段和開發(fā)階段沒有明顯的界限，因此這種自適應(yīng)方法適應(yīng)于這兩個(gè)階段。此外，這種自適應(yīng)方法強(qiáng)調(diào)在第一個(gè)迭代中進(jìn)行探索，在最后一個(gè)迭代中進(jìn)行開發(fā)。

c1較高時(shí)，算法偏向于標(biāo)準(zhǔn)GSA，而較高的c2體現(xiàn)PSO在執(zhí)行搜索過程中粒子之間的傳遞信息的能力。動態(tài)的c1,c2使得算法可以像標(biāo)準(zhǔn)GSA探索搜索空間，并像PSO一樣保存和利用在探索階段搜索到的個(gè)體最優(yōu)解和種群最優(yōu)解。

2.3 改進(jìn)算法的流程

文中所提出的改進(jìn)引力搜索算法的流程如下：

step1：利用混沌初始化粒子的位置X，設(shè)定種群規(guī)模N，維度dim和最大迭代次數(shù)。

step2：由目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。并保存、更新pbest和gbest。

step4：根據(jù)式(12)更新粒子的速度，根據(jù)式(8)更新粒子的位置。

step5：保存、更新pbest和gbest。

step6：判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若不滿足，則返回step2，滿足條件時(shí)，結(jié)束算法，輸出最佳值。

圖1為改進(jìn)引力搜索算法的流程。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中改進(jìn)算法的有效性，將改進(jìn)后的引力搜索算法IGSA與標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法GSA進(jìn)行對比試驗(yàn)。

3.1 參數(shù)設(shè)置

種群規(guī)模N=50；最大迭代次數(shù)max it=1 000；β=20；G0=100；種群維度dim=30；c1=(-2t3/T3)+2；c2=2t3/T3，其中t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)，曲線如圖2所示。

圖1 改進(jìn)引力搜索算法的流程

圖2 系數(shù)曲線

3.2 測試函數(shù)

通過表1中的6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)對改進(jìn)的引力搜索算法和標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法進(jìn)行測試，并對結(jié)果進(jìn)行分析。其中f1和f2為單峰值函數(shù)，算法對其收斂的速度是檢驗(yàn)算法性能好壞的重要指標(biāo)。f3～f6為復(fù)雜的多峰值函數(shù)，存在較多的局部最優(yōu)解，用于檢驗(yàn)算法的全局搜索能力。

3.3 仿真與分析

分別用改進(jìn)引力搜索算法IGSA和標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法GSA對6個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行求解，得出相應(yīng)的最優(yōu)值曲線，如圖3～圖5所示。由圖可知，改進(jìn)后的算法比標(biāo)準(zhǔn)算法收斂速度更快，收斂精度更高，全局搜索能力更強(qiáng)。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

圖3 單峰值測試函數(shù)對比

圖4 多峰值函數(shù)對比

圖5 固定維度多峰值函數(shù)對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證IGSA的優(yōu)化性能，分別把2種算法運(yùn)行30次，并在表2中顯示出相應(yīng)的最小值、平均值、方差。

(1)單峰值函數(shù)。對于f1、f2來說，其收斂速度的快慢是檢驗(yàn)算法性能的重要特點(diǎn)。在表2中可以看出：對于f1和f2函數(shù)，IGSA在最小值、平均值和方差方面均小于GSA。從圖3中可以得出，在保證得到較好的全局最優(yōu)解的情況下，IGSA的收斂速度要比GSA更快，并且精度更高。

表2 IGSA與GSA算法結(jié)果對比

(2)多峰值函數(shù)。多峰值函數(shù)存在較多的局部最優(yōu)解，尋找全局最優(yōu)解的難度較大。對于函數(shù)f3～f6而言，算法尋優(yōu)的難點(diǎn)在于搜索到全局最優(yōu)解。從圖4到圖5可以看出：IGSA搜索到最優(yōu)值均小于GSA?？梢詮谋?的結(jié)果中看到：在f3～f6中，IGSA搜索到的最小值、平均值和方差都小于GSA。

4 桁架分析

選取了1個(gè)典型的桁架優(yōu)化算例，驗(yàn)證了IGSA在求解約束桁架形狀和尺寸優(yōu)化問題上的有效性與可靠性。并將IGSA的優(yōu)化結(jié)果與GSA和其他優(yōu)化技術(shù)的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了比較。提出的IGSA由MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)，版本為9.3.0.713579 (R2017b)，操作系統(tǒng):Microsoft Windows 10專業(yè)版 Version 10.0 (Build 17134)。算法最大迭代次數(shù)為500。算法計(jì)算10次，取其最佳值作為計(jì)算最終結(jié)果值。

72桿空間桁架結(jié)構(gòu)，桿件分為16組，節(jié)點(diǎn)1～6沿x,y的最大位移限值是6.35 mm，最大的許可應(yīng)力為[-172.375,172.375] MPa，密度ρ=2 678kg/m3，彈性模量E=68 950 MPa，長和寬均為3.048 m，每節(jié)的高度為1.524 m，荷載工況及作用位置與文獻(xiàn)[22]相同。算法的控制參數(shù)設(shè)置為：最大迭代次數(shù)500，搜索空間維數(shù)16，種群總數(shù)為75。

在相同約束條件下，與其他文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行比較，優(yōu)化結(jié)果見表3，圖6給出了IGSA求解72桿桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題的典型收斂曲線。

圖6 72桿空間桁架結(jié)構(gòu)的收斂曲線

表3 72桿空間桁架優(yōu)化結(jié)果的比較

注：重量欄的單位為kg，其余項(xiàng)單位為mm2。

從表3可以看出，IGSA得到的72桿空間桁架優(yōu)化后的重量為172.19 kg，與GSA和文獻(xiàn)[22-25]中得到的結(jié)果相比較，重量得到不同程度上的減小。從圖6可以看出，改進(jìn)后的引力搜索算法在第220次迭代時(shí)收斂到最優(yōu)解，而標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法在第480次時(shí)收斂到相應(yīng)的最優(yōu)解，因此可以看出改進(jìn)引力搜索算法搜尋最優(yōu)解的能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法，且更快收斂到最優(yōu)解。

5 結(jié)束語

針對標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法收斂速度慢，易陷入局部最優(yōu)值的問題，引入混沌映射，使得初始化時(shí)，粒子均勻地分布在整個(gè)搜索空間，使得算法更快地找到最優(yōu)解，避免陷入局部最優(yōu)解。引入粒子群算法中的粒子個(gè)體的記憶性和信息交互機(jī)制，并動態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)因子，以加快算法的運(yùn)算效率，更快找到較優(yōu)值，使得算法避免陷入局部最優(yōu)值，最終找到全局最優(yōu)值。

通過6個(gè)測試函數(shù)，表明改進(jìn)后的算法能夠較好地找到全局最優(yōu)解，尋優(yōu)能力更強(qiáng)。通過對桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，說明算法適用于空間桁架結(jié)構(gòu)桿件截面尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。

算法對代理的速度公式和后期收斂速度做了改進(jìn)，在引力常數(shù)方面還有待進(jìn)一步研究。