基于MATLAB的高空飛翔運行參數(shù)計算

趙九峰，張勁松，史皓天，張麗麗，郭 飛，劉冬冬

(1.河南省特種設備安全檢測研究院，河南 鄭州 450000;2.中國特種設備檢測研究院，北京 100029)

0 引言

游樂設施的運行參數(shù)，不僅是游樂設施分級的依據(jù)，也直接影響到整個設備運行的安全性、穩(wěn)定性和耐久性，因此游樂設施主要參數(shù)的計算是游樂設施設計中的一個重要組成部分。高空飛翔是一種高空、高速的大型游樂設施，屬于《中華人民共和國特種設備安全法》中規(guī)定的涉及生命安全、危險性較大的特種設備，其運行參數(shù)直接關系到設備的安全性和乘客的人身安危。高空飛翔設備運行參數(shù)的分析計算一直以來都是生產(chǎn)企業(yè)急需解決的問題[1]。

MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件，它們在數(shù)值計算方面功能強大。求解方程是工科學習和工程計算中最基礎、最常見的問題，掌握利用現(xiàn)代化工具求解方程的方法對于提升我們的工科素養(yǎng)至關重要[2]。本文利用MATLAB數(shù)學計算軟件對高空飛翔運行計算參數(shù)進行分析求解，以此提高設計效率和計算精度。

1 高空飛翔設備運行參數(shù)的數(shù)學模型

高空飛翔是集旋轉、升降運動于一體的游樂設施，是飛行塔類游藝機中的一個品種。高空飛翔設備主要由塔體、提升系統(tǒng)、座椅、臂架和旋轉提升體等幾部分組成，如圖1所示。塔體與基礎預埋螺栓連接，高空飛翔運行過程中，旋轉提升體繞豎直中心軸旋轉并提升。旋轉功能通過回轉機構來實現(xiàn)，回轉機構由回轉支承裝置和回轉驅(qū)動裝置兩部分組成，以回轉支承分界，上部是回轉部件，下部是提升體部件，旋轉提升體的旋轉動力由4臺減速電機提供，回轉支承外側為齒圈結構，并與小齒輪嚙合，通過電機驅(qū)動小齒輪達到回轉的目的[3]。座椅由環(huán)鏈均勻固定在旋轉臂架的端部，完成圓周運動。乘人和座椅受到環(huán)鏈的拉力、向心力F2和重力F1，如圖2所示。

座椅和乘人在運動過程中始終受到重力作用，受到的重力大小為：

F1=(m1+m2)g.

(1)

其中：g為重力加速度，取g=10 m/s2；m1為座椅組件質(zhì)量，kg；m2為兩個乘人的質(zhì)量(一個座椅乘坐兩名乘客)，kg。

1-塔體；2-提升系統(tǒng)；3-座椅；4-臂架；5-旋轉提升體

圖2 高空飛翔設備中乘人和座椅的受力分析

F2=(m1+m2)ω2r.

(2)

其中：ω為乘人和座椅做勻速圓周運動時的角速度，rad/s；r為座椅質(zhì)心相對于回轉軸的回轉半徑,m。

在重力和座椅環(huán)鏈拉力的共同作用下，乘人和座椅在豎直方向處于平衡狀態(tài)，由三角函數(shù)關系得：

F1=Fcosθ.

(3)

其中：F為座椅環(huán)鏈的拉力，N；θ為座椅環(huán)鏈與豎直方向的夾角。

乘人和座椅在水平方向受到向心力，由三角函數(shù)關系可知：

F2=Fsinθ.

(4)

由式(1)～式(4)可得：

(5)

式(5)表明座椅的擺角(座椅環(huán)鏈與豎直方向的夾角)與質(zhì)量無關，即無論座椅是滿載還是空載，擺角相同。由于座椅擺角θ始終為銳角，故由三角函數(shù)關系可得：

(6)

由式(5)、式(6)得：

從圖7 中可以看出，正常交易序列中每一步交易的轉移概率都大于風險概率臨界值，而黑客交易序列中存在轉移概率小于風險概率臨界值的交易。

(7)

由圖2三角函數(shù)關系可得：

r=L+lsinθ.

(8)

其中：L為臂架端部到回轉中心的距離，m；l為座椅環(huán)鏈的有效長度，m。

聯(lián)立式(7)和式(8)，可得到高空飛翔運行參數(shù)的數(shù)學模型：

(9)

綜上可知，高空飛翔運行參數(shù)的求解可歸結為方程(9)的求解。如果函數(shù)為一次多項式時，稱方程為線性方程；如果方程中包含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)時，則稱方程為超越方程。超越方程與n次代數(shù)方程統(tǒng)稱為非線性方程[4]。

超越方程一般沒有通用的求根公式，無法知曉根的個數(shù)，甚至無法判斷根的存在性[5]。如果采用手工數(shù)值解法，需要不斷地迭代和試算才可能得到一個粗糙的根(如果根存在的話)，計算工作量大且不能保證計算精度，甚至難以計算。

2 MATLAB求解方程

MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平[6]。

在MATLAB中，solve函數(shù)主要是用來求解線性方程組的解析解或者精確解,語法格式如下[7]：

Y=solve('eq1'，'eq2'，…，'var1'，'var2'，…).

(10)

其中：eq代表方程；var代表變量。

圖3為MATLAB求解方程流程。令高空飛翔運行參數(shù)數(shù)學模型中的sinθ=x、r=y，則可得方程組：

(11)

將式(11)的二元方程轉化為MATLAB函數(shù)語言為：

[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=(ω∧2)*y/10','y=L+l*x','x','y').

(12)

圖3 MATLAB求解方程流程

3 實例計算

本文以32 m高空飛翔為計算對象，共有16組臂架(8組長臂架，8組短臂架)，每個臂架下端吊掛一個座艙，座椅組件質(zhì)量m1=109 kg，一個座艙乘坐兩名乘客，共32 人，高空飛翔的旋轉角速度ω=1 rad/s，臂架端部到回轉中心的距離L長臂架=5.9 m、L短臂架=5.0 m，座椅環(huán)鏈的有效長度l=6.0 m。

《大型游樂設施安全規(guī)范》的6.1.2.2規(guī)定：乘坐成人1人～2人時按不低于750 N/人計算[8]。高空飛翔每個支臂上一個座艙乘坐兩人，因此按照750 N/人(75 kg)計算，兩個乘人的質(zhì)量m2=150 kg。

將以上數(shù)據(jù)代入MATLAB公式(12)得：

長臂架：[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=1*y/10','y=5.9+6*x','x','y').

短臂架：[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=1*y/10','y=5.0+6*x','x','y').

利用MATLAB軟件求得：

4 結語

以某32 m高空飛翔為工程背景，利用數(shù)學計算軟件MATLAB對高空飛翔的運行參數(shù)進行分析計算。計算結果表明：編制MATLAB函數(shù)求解超越三角函數(shù)方程，使復雜繁瑣的高空飛翔運行參數(shù)計算過程變得十分快捷，有利于提高游樂設施的設計效率和設計質(zhì)量，縮短了設計周期，對實際生產(chǎn)具有重要意義。