一種校準(zhǔn)編目定軌初始速度的方法1)

王秀紅 崔 文 李俊峰 何雨帆 李海晶

?(西安衛(wèi)星測(cè)控中心，西安710043)

?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

隨著人類對(duì)空間開(kāi)發(fā)和利用需求的提高、航天活動(dòng)不斷增多，空間目標(biāo)日益增長(zhǎng)，對(duì)在軌航天器的安全運(yùn)行造成了嚴(yán)重威脅[1-2]。因此，對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行有效地探測(cè)、編目、預(yù)報(bào)，掌握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，必要時(shí)對(duì)有碰撞風(fēng)險(xiǎn)的航天器進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)規(guī)避已成為各航天大國(guó)保證在軌航天器安全運(yùn)行的重要手段之一[3-4]。影響碰撞預(yù)警結(jié)果置信度的關(guān)鍵因素之一是兩個(gè)接近目標(biāo)的軌道確定及預(yù)報(bào)精度[5]，目標(biāo)的軌道精度主要取決于空間目標(biāo)的監(jiān)測(cè)能力及大批量目標(biāo)的編目定軌方法。

相對(duì)于在軌航天器測(cè)控，大批量空間目標(biāo)的編目定軌具有特殊性，由于空間目標(biāo)數(shù)量多，而相應(yīng)的監(jiān)測(cè)資源有限，導(dǎo)致測(cè)軌數(shù)據(jù)稀疏[6]；且具有多目標(biāo)跟蹤能力的相控陣?yán)走_(dá)測(cè)軌精度遠(yuǎn)比單脈沖雷達(dá)測(cè)軌精度低；對(duì)于新發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，只有單站單弧段測(cè)量數(shù)據(jù)，存在定軌系統(tǒng)可觀性差、迭代很難收斂的情況[7]等，導(dǎo)致空間目標(biāo)的編目軌道確定情況復(fù)雜、難度大[8-9]。因此，如何在有限的監(jiān)測(cè)資源下，利用稀疏測(cè)軌數(shù)據(jù)，提高大批量空間目標(biāo)的編目定軌及預(yù)報(bào)精度一直是空間目標(biāo)監(jiān)視的重大難題。

針對(duì)該問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在提高軌道動(dòng)力學(xué)模型方面做了相關(guān)研究。其中，Lyon[10]研究了提高同步軌道目標(biāo)輻射壓攝動(dòng)模型的方法，文獻(xiàn)[11-13]主要在如何提高目標(biāo)大氣阻尼系數(shù)、彈道系數(shù)方面開(kāi)展了研究。軌道預(yù)報(bào)過(guò)程是一個(gè)對(duì)軌道初值的積分問(wèn)題，引起軌道預(yù)報(bào)誤差包含動(dòng)力學(xué)模型誤差和初值誤差兩部分。對(duì)于低軌道目標(biāo)，模型誤差對(duì)軌道預(yù)報(bào)的影響遠(yuǎn)大于軌道初值誤差，對(duì)于軌道高度大于600 km的空間目標(biāo)，其軌道初值誤差對(duì)預(yù)報(bào)的影響更大[14]。本文分析了不同軌道類型的編目軌道預(yù)報(bào)誤差演化特性，理論推導(dǎo)并驗(yàn)證了編目定軌結(jié)果對(duì)軌道預(yù)報(bào)誤差前后影響的近似對(duì)稱性，基于此提出了一種校準(zhǔn)編目定軌初始速度的方法。

1 軌道預(yù)報(bào)誤差特性分析

空間目標(biāo)軌道問(wèn)題包括軌道觀測(cè)、軌道確定和軌道預(yù)報(bào)三個(gè)方面。由于各種不可避免的因素，這三個(gè)方面都可能存在誤差。誤差來(lái)源包括測(cè)量誤差，模型誤差，方法誤差等等。

1.1 軌道預(yù)報(bào)誤差評(píng)估方法

由于空間目標(biāo)的真實(shí)位置是無(wú)法獲取的, 因此精確的軌道精度評(píng)價(jià)是難以實(shí)現(xiàn)的,只能通過(guò)一些行之有效的方式對(duì)軌道的相對(duì)精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。一般而言，定軌精度將比預(yù)報(bào)精度高得多，可以將定軌結(jié)果作為基準(zhǔn)來(lái)標(biāo)定預(yù)報(bào)精度。

為了直觀地體現(xiàn)出各攝動(dòng)力對(duì)軌道預(yù)報(bào)誤差的影響，本文將軌道誤差投影到徑向(R方向)、跡向(T方向)、法向(N方向)，分析預(yù)報(bào)誤差變化規(guī)律。其中，徑向是地心指向空間目標(biāo)質(zhì)心的方向；跡向是軌道面內(nèi)與徑向垂直并指向空間目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向，法向垂直軌道平面，與徑向、跡向構(gòu)成右手系[15]。

1.2 軌道預(yù)報(bào)誤差演化特性分析

引起軌道預(yù)報(bào)誤差的初始誤差即定軌誤差，主要取決測(cè)量數(shù)據(jù)的精度、數(shù)據(jù)分布、定軌方法、定軌策略及空間環(huán)境等相關(guān)參數(shù)的精度，模型誤差主要取決于目標(biāo)所受到的各種攝動(dòng)力的模型精化程度?？臻g目標(biāo)在軌運(yùn)行時(shí)會(huì)受到各種作用力的影響，大批量目標(biāo)編目方法考慮的動(dòng)力學(xué)攝動(dòng)項(xiàng)中，除大氣阻力攝動(dòng)外，其他攝動(dòng)力已經(jīng)具有十分成熟的精化模型，其模型誤差對(duì)軌道預(yù)報(bào)的影響基本可以忽略；大氣阻力是典型的非保守力，截止目前幾乎所有大氣密度模式在太陽(yáng)平靜期存在約15%的模式誤差(太陽(yáng)活動(dòng)劇烈時(shí)誤差更大)，這將導(dǎo)致大氣阻力攝動(dòng)具有同樣的不確定性，并給低軌空間目標(biāo)軌道預(yù)報(bào)帶來(lái)巨大的影響。

本文通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)分析了不同軌道類型目標(biāo)采用不同測(cè)軌數(shù)據(jù)的編目定軌結(jié)果及軌道預(yù)報(bào)位置誤差變化規(guī)律。根據(jù)分析結(jié)果，利用單弧段光學(xué)或者相控陣?yán)走_(dá)測(cè)軌數(shù)據(jù)定軌結(jié)果中，速度誤差量級(jí)大于位置誤差。由于樣本數(shù)量過(guò)多，本文僅給出了NORAD編號(hào)分別為40311、33321目標(biāo)的TLE預(yù)報(bào)14 天的位置、速度誤差變化曲線，分別見(jiàn)圖1 和圖2，目標(biāo)的軌道信息見(jiàn)表1。

對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行分析，可以總結(jié)出以下結(jié)論：

(1)軌道預(yù)報(bào)位置誤差主要集中在沿跡方向，隨時(shí)間平方快速發(fā)散。

(2)軌道的徑向預(yù)報(bào)位置誤差也隨時(shí)間平方發(fā)散(相對(duì)沿跡方向發(fā)散較慢)，并且也在一定程度上產(chǎn)生了模型系統(tǒng)差；

(3)軌道法向位置誤差比較小，大部分在百米左右的量級(jí)，且服從零均值分布；

(4)軌道高度越低，隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)增大，誤差在R方向、T方向誤差發(fā)散情況越嚴(yán)重；

圖1 40311 目標(biāo)TLE 預(yù)報(bào)14 天位置速度誤差

圖2 33321 目標(biāo)TLE 預(yù)報(bào)14 天位置速度誤差

表1 所選目標(biāo)軌道信息

(5)速度誤差在徑向的分量大于其他兩個(gè)方向；

(6)?R與?˙T，?N與?˙N發(fā)散趨勢(shì)相似，?T與?˙R發(fā)散趨勢(shì)相反。

經(jīng)分析，對(duì)于近圓軌道目標(biāo)，沿跡誤差主要是由大氣阻力攝動(dòng)模型誤差和初始徑向速度誤差引起的，軌道高度越低，大氣攝動(dòng)影響越大；徑向誤差主要來(lái)源于地球形狀攝動(dòng)和初始沿跡方向速度誤差的影響，表現(xiàn)為徑向誤差的短周期變化，因而軌道高度越低，發(fā)散情況越嚴(yán)重；法向誤差主要由地球形狀攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓攝動(dòng)和初始法向速度誤差引起，但總體量級(jí)很小[5]。

2 軌道誤差傳播對(duì)稱性分析及驗(yàn)證

2.1 理論分析

在空間目標(biāo)軌道估值中，初值誤差的傳播滿足傳播方程[16]

式中，Φ(t,t0)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，若只求解目標(biāo)的位置、速度，則Φ為6×6矩陣。x0和x分別為t0和t時(shí)刻的狀態(tài)向量的誤差，將誤差傳播方程在t0時(shí)刻一階近似泰勒展開(kāi)，則有

其中?t=t ?t0，即

相對(duì)于預(yù)報(bào)的位置誤差，初值位置誤差是小量，若忽略t0時(shí)刻目標(biāo)的位置誤差，則式(3)可簡(jiǎn)化為

將Φ寫(xiě)成分塊矩陣

其中Φ1，Φ2，Φ3，Φ4為3×3矩陣，則由式(4)，位置誤差的傳播方程為

式(6)右邊第一項(xiàng)為初始位置誤差對(duì)預(yù)報(bào)位置誤差的影響，第二項(xiàng)為初始速度誤差對(duì)預(yù)報(bào)位置誤差的影響。由式(6)可見(jiàn)，由軌道初始位置、速度誤差向前、向后傳播導(dǎo)致的位置誤差均具有近似對(duì)稱性。當(dāng)初始速度誤差對(duì)預(yù)報(bào)的影響遠(yuǎn)大于初始位置誤差影響時(shí)，式(6) 可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

2.2 正確性驗(yàn)證

本文利用仿真數(shù)據(jù)對(duì)上述理論進(jìn)行了驗(yàn)證分析。由于軌道模型誤差與初始誤差相互耦合，因此，軌道預(yù)報(bào)誤差分析是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。為了簡(jiǎn)化分析，仿真分析時(shí)一般將軌道預(yù)報(bào)的初始誤差和模型誤差進(jìn)行分解，在分析初始誤差時(shí)，認(rèn)為軌道預(yù)報(bào)模型是準(zhǔn)確的，沒(méi)有模型誤差，得到初始誤差的傳播特性；在分析模型誤差時(shí)，取相同的初始狀態(tài)，用不同的模型進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)以對(duì)比其結(jié)果。選取了一顆軌道高度800 km左右的空間目標(biāo)，根據(jù)目前定軌精度，添加了80 m的初始位置誤差，0.1 m/s的速度誤差，采用簡(jiǎn)易數(shù)值法，分別向前、向后預(yù)報(bào)7 天，其在R，T，N三個(gè)方向的位置誤差分別見(jiàn)圖3和圖4。其中，向前向后預(yù)報(bào)的定義為：設(shè)?t=t?t0，當(dāng)?t >0 時(shí)，利用t0時(shí)刻的軌道預(yù)報(bào)到t時(shí)刻，為向后預(yù)報(bào)，反之，為向前預(yù)報(bào)。由圖3和圖4可見(jiàn)，預(yù)報(bào)位置誤差主要分布在跡向，預(yù)報(bào)誤差遠(yuǎn)大于初始位置誤差，二者相比，初始位置誤差可以忽略不計(jì)，所以2.1節(jié)假設(shè)成立；且由初值引起的向前、向后軌道預(yù)報(bào)誤差量級(jí)相當(dāng)，變化趨勢(shì)一致，近似對(duì)稱。

圖3 添加軌道誤差向前預(yù)報(bào)7 天位置誤差在R，T，N 方向分量

圖4 添加軌道誤差向后預(yù)報(bào)7 天位置誤差在R，T，N 方向分量

另外，根據(jù)1.2節(jié)分析結(jié)果，引起軌道預(yù)報(bào)跡向誤差的主要因素除目標(biāo)初始速度誤差外，動(dòng)力學(xué)模型也是關(guān)鍵因素之一，因此本節(jié)分析了該目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型誤差對(duì)其軌道預(yù)報(bào)的影響。圖5 給出了該目標(biāo)添加15%的大氣攝動(dòng)模型誤差后預(yù)報(bào)7 天位置誤差變化曲線。對(duì)比圖4 和圖5 可見(jiàn)，對(duì)于800 km 軌道高度的同一目標(biāo)，按照目前的編目定軌和動(dòng)力學(xué)模型精度，對(duì)于軌道預(yù)報(bào)，初始軌道的誤差影響遠(yuǎn)大于動(dòng)力學(xué)模型影響。某些情況下，由于測(cè)軌數(shù)據(jù)的原因，編目定軌的誤差更大，其對(duì)軌道預(yù)報(bào)的影響更明顯。

圖5 添加動(dòng)力學(xué)模型誤差向后預(yù)報(bào)7 天位置誤差在R，T，N 方向分量

3 校準(zhǔn)定軌速度的方法

3.1 基本思路

根據(jù)上述分析結(jié)果，初始速度誤差向前、向后預(yù)報(bào)引起的位置誤差近似對(duì)稱，而實(shí)際應(yīng)用中，向前時(shí)刻目標(biāo)的軌道能夠利用歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)確定，且位置精度較高，由此聯(lián)想通過(guò)減小向前預(yù)報(bào)目標(biāo)的位置誤差來(lái)修正初值速度誤差，從而提高軌道向后預(yù)報(bào)精度。

3.2 計(jì)算方法

本方法的基本思想類似于軌道求解中的Lambert 問(wèn)題，即已知空間目標(biāo)P1 和P2 點(diǎn)的位置矢量分別為r1和r2，時(shí)間為t1和t2(或相對(duì)時(shí)間為?t)，求通過(guò)P1 和P2 兩點(diǎn)的飛行軌跡。但和Lambert 問(wèn)題相比，經(jīng)典Lambert 問(wèn)題的解只是在二體意義下給出的(最多考慮了地球非球形引力的J2項(xiàng))，而空間目標(biāo)在軌運(yùn)行中會(huì)受到空間各種攝動(dòng)力的影響，為了盡可能提高軌道精度，本文考慮了簡(jiǎn)易數(shù)值編目定軌方法中使用的動(dòng)力學(xué)模型，此處姑且稱為精確動(dòng)力學(xué)模型。

本方法中，假設(shè)t2>t1，r1和r2均在J2000 慣性坐標(biāo)系[16]。文獻(xiàn)[15] 研究了目標(biāo)位置誤差和速度誤差的相關(guān)性，滿足式(8)。

式中，a,e,i,?,ω,M為t時(shí)刻空間目標(biāo)的軌道六根數(shù)；?a,?e,?i,??,?ω,?M表示其對(duì)應(yīng)的軌道根數(shù)誤差；r,˙r為t時(shí)刻空間目標(biāo)的位置和速度矢量，表示其對(duì)應(yīng)的誤差矢量?˙N表示?˙r在R，T，N坐標(biāo)系中的投影。μ為地心引力常數(shù)為目標(biāo)的平均運(yùn)動(dòng)角速度；f為目標(biāo)的真近點(diǎn)角[16]；u=ω+f；p=a(1?e2)。

本方法的具體步驟如下：

(1)給定目標(biāo)t1和t2時(shí)刻的位置矢量r1和r2；

(2)利用Lambert 問(wèn)題的求解方法[17]，得到t2時(shí)刻的速度v2；

(3)以r2和為初值，應(yīng)用精確動(dòng)力學(xué)模型向前進(jìn)行軌道外推到t1時(shí)刻，得到

(4)將r1和轉(zhuǎn)換為Kepler根數(shù)σ1和求解

(5)利用式(8)和步驟(4)計(jì)算的σ1和?σ，分別計(jì)算的修正量，得到修正后的速度并將其轉(zhuǎn)換到J2000 慣性坐標(biāo)系，得到

(6)以r1和為初值，應(yīng)用精確動(dòng)力學(xué)模型向后進(jìn)行軌道外推到t2時(shí)刻，得到

(7)重復(fù)(3)～(6)步驟，直到時(shí),迭代結(jié)束，其中i為迭代次數(shù)，一般情況下。輸出t2時(shí)刻目標(biāo)的位置速度其中，與r2相比，變化量很小。

如果已知目標(biāo)的初始粗略速度，省略步驟(2)，但在某些情況下，當(dāng)初始速度誤差很大，甚至導(dǎo)致目標(biāo)“鉆地”，需利用步驟(2)求解t2時(shí)刻的速度。

3.3 利用實(shí)測(cè)軌道驗(yàn)證及結(jié)果分析

本節(jié)針對(duì)不同軌道類型的空間目標(biāo)，采用不同類型測(cè)軌數(shù)據(jù)的定軌結(jié)果，對(duì)本文提出的校正速度的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果，該方法對(duì)軌道高于600 km 的近圓軌道目標(biāo)修正效果明顯。表2 給出了9 組驗(yàn)證結(jié)果，其中修正百分比=(修正前誤差－修正后誤差)/修正前誤差。由表可見(jiàn)，應(yīng)用該方法，對(duì)減緩軌道預(yù)報(bào)位置誤差效果明顯，最小修正百分比近50%。

表2 校準(zhǔn)初始速度后的軌道預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果表

4 結(jié)論

針對(duì)空間目標(biāo)編目管理中，利用稀疏數(shù)據(jù)編目定軌結(jié)果誤差較大的難題，本文分析了不同軌道類型目標(biāo)誤差演化規(guī)律，論證了軌道初始速度對(duì)位置誤差前后傳播的近似對(duì)稱性，提出了一種校準(zhǔn)編目定軌初始速度的方法。

利用實(shí)際軌道驗(yàn)證可知，對(duì)于600 km高度以上的近圓軌道目標(biāo)，該方法能夠有效校準(zhǔn)利用稀疏測(cè)軌數(shù)據(jù)定軌結(jié)果的速度誤差，抑制位置誤差在跡向的發(fā)散，從而提高軌道預(yù)報(bào)精度。