單自由度碰振模型擦邊分岔分析

盧裕木， 吳文澤

百色學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 百色 533000

機(jī)械振動(dòng)產(chǎn)生一類特殊的動(dòng)力學(xué)行為——擦邊. 因?yàn)椴吝?，系統(tǒng)可以由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，產(chǎn)生各種各樣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象. 許多學(xué)者也對(duì)系統(tǒng)擦邊行為產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)行為的機(jī)理進(jìn)行了深入研究. Nordmark[1]首次引入Poincaré-Nordmark局部映射對(duì)單自由度碰振系統(tǒng)的擦邊運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析. 謝建華和羅冠煒[2～5]對(duì)一類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期系統(tǒng)、環(huán)面分岔、余維二分岔等動(dòng)力學(xué)行為做了詳細(xì)分析以及混沌控制. Hu H Y[6]通過(guò)研究系統(tǒng)的擦邊分岔，證實(shí)擦邊分岔是系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的一種途徑. 譚潔燕[7]通過(guò)Lyapunov指數(shù)譜分析了一類含對(duì)稱剛性約束兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)擦邊軌道的穩(wěn)定性. G W Luo[8，9]研究了一類含間隙受周期外力的兩自由度碰振系統(tǒng)的參數(shù)多樣性對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的影響.李群宏和陳玉明在文獻(xiàn)[10，11]中引入相對(duì)坐標(biāo)討論了對(duì)碰系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜穩(wěn)定性判定問題. 本文針對(duì)一般的帶剛性約束單自由度碰振系統(tǒng)，給出系統(tǒng)滿足擦邊余維二分岔的條件，數(shù)值模擬系統(tǒng)擦邊余維二分岔點(diǎn)附近區(qū)域的開折圖，用Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證系統(tǒng)由于擦邊分岔是系統(tǒng)進(jìn)入混沌的一種方式.

1 力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)力學(xué)模型

單自由度碰振系統(tǒng)微分方程可表示為

(1)

無(wú)量綱化后，方程為

(2)

其中

振子M的沖擊方程為

1.2 擦邊分岔?xiàng)l件

根據(jù)文獻(xiàn)[12]系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的定義，我們可以歸納出下面的結(jié)論：

定理對(duì)于系統(tǒng)擦邊點(diǎn)x*附近的碰撞點(diǎn)，如果滿足條件

則系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔.

2 參數(shù)分岔分析

固定系統(tǒng)參數(shù)ω=3.99，同樣地以變化b做擾動(dòng)，當(dāng)b=0.066 7時(shí)系統(tǒng)滿足擦邊條件，此時(shí)系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)(圖1(a)) ，時(shí)間歷程圖(圖1(b))和Lyapunov指數(shù)圖(圖1(c)) 最大Lyapunov指數(shù)大于零．伴隨著逐漸減小b的值，b=0.063時(shí)系統(tǒng)為一碰二周期運(yùn)動(dòng)(圖2(a))，時(shí)間歷程圖(圖2(b))和Lyapunov指數(shù)圖(圖2(c))；b=0.05時(shí)系統(tǒng)為碰撞一周期運(yùn)動(dòng)(圖3(a))，時(shí)間歷程圖(圖3(b))和Lyapunov指數(shù)圖(圖3(c)).

圖1(a)圖1(b)

圖1(c)圖2(a)

圖2(b)圖2(c)

圖3(a)圖3(b)

另一方面，觀察b從b=0.066 7處逐漸增大，b=0.075時(shí)系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)(圖4(a))，時(shí)間歷程圖(圖4(b))和Lyapunov指數(shù)圖(圖4(c))，最大Lyapunov指數(shù)為正數(shù)；b=0.08時(shí)系統(tǒng)作未碰一周期運(yùn)動(dòng)(圖5(a))，時(shí)間歷程圖(圖5(b))和Lyapunov指數(shù)圖(圖5(c))，最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)數(shù). 由以上的分析知，參數(shù)變化引起了的相圖變化，擦邊分岔同樣是系統(tǒng)進(jìn)入混沌的另一種方式.

通過(guò)上述數(shù)值模擬驗(yàn)證，最大Lyapunov指數(shù)大于零，系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)；最大Lyapunov指數(shù)小于零，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，表明了擦邊分岔系統(tǒng)進(jìn)入混沌的另一種途徑.

圖3(c)

圖4(a)圖4(b)

圖4(c)圖5(a)

圖5(b)圖5(c)

3 結(jié)束語(yǔ)

碰撞振動(dòng)系統(tǒng)由于擦邊從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，產(chǎn)生豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.本文對(duì)一類單自由度含間隙剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先給出滿足系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的條件. 然后畫出系統(tǒng)滿足余維二分岔點(diǎn)及其附近的運(yùn)動(dòng)相圖，并且一一對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖的Lyapunov指數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證，數(shù)值仿真表明Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的正確性，證實(shí)由參數(shù)引起相圖結(jié)構(gòu)的變化的分岔導(dǎo)致系統(tǒng)混沌發(fā)生.