自適應(yīng)逐步混合截尾MOEE分布的統(tǒng)計(jì)分析

肖金安,賀興時(shí),王 燕

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

Marshall-Olkin擴(kuò)展指數(shù)分布(Marshall-Olkin extended exponential,MOEE)是可靠性試驗(yàn)中一類重要的壽命分布[1-2]。近年來已有一些文獻(xiàn)研究了MOEE分布的統(tǒng)計(jì)分析[3-5]。文獻(xiàn)[6]研究了MOEE分布在平方損失函數(shù)下的極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì),貝葉斯估計(jì)整體優(yōu)于極大似然估計(jì),其中貝葉斯估計(jì)Lindley方法效果最好。文獻(xiàn)[7]給出了該分布的可靠性測試方案,用仿真結(jié)果證明了此方案的有效性。文獻(xiàn)[8]采用最大似然估計(jì)、修正矩估計(jì)、L矩估計(jì)、最大乘積估計(jì)和最小二乘估計(jì)等10種方法估計(jì)了該分布的參數(shù)估計(jì),其中最大似然估計(jì)、L矩估計(jì)和最大乘積估計(jì)效果較好。李國安[9]提出了指數(shù)分布抽樣基本定理,并得到了四參數(shù)二元Marshall-Olkin型指數(shù)分布參數(shù)的一致最小方差無偏估計(jì)。文獻(xiàn)[10]基于逐步Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn),建立了MOEE分布產(chǎn)品競爭失效模型,對壽命參數(shù)的極大似然、漸進(jìn)區(qū)間及Bootstrap區(qū)間進(jìn)行了估計(jì)。袁守成等[11]采用EM算法估計(jì)了Marshall-Olkin二元指數(shù)分布的參數(shù),克服了利用極大似然估計(jì)法不易求解的困難,給出了該分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。 文獻(xiàn)[12]基于該分布的廣義逐步混合截尾模型,計(jì)算了未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值及漸進(jìn)置信區(qū)間,貝葉斯估計(jì)值和最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間。

由于高可靠壽命產(chǎn)品的可靠性壽命試驗(yàn)需要較長的試驗(yàn)時(shí)間,為在短時(shí)間內(nèi)評估產(chǎn)品的可靠性特征,有學(xué)者提出了加速壽命試驗(yàn)[13]。加速壽命試驗(yàn)在不改變失效機(jī)理的情況下,使用加大應(yīng)力的方法加速產(chǎn)品失效,從而縮短了試驗(yàn)時(shí)間[14]。研究高可靠長壽命的產(chǎn)品時(shí),加速壽命試驗(yàn)是一種有效的試驗(yàn)方法[15-19]。鑒于此,本文將在自適應(yīng)逐步混合截尾模型,研究該分布恒加試驗(yàn)的各種可靠性指標(biāo)。

1 自適應(yīng)逐步混合截尾恒加試驗(yàn)

對于k個(gè)應(yīng)力水平的恒加試驗(yàn),其加速應(yīng)力水平為S1

(1)

(2)

情形1ti1

情形2ti1

假設(shè)1 加速應(yīng)力水平僅影響MOEE分布的尺度參數(shù),即形狀參數(shù)保持不變,則有α11=α21=…=αk1=α1,α12=α22=…=αk2=α2。

假設(shè)2 尺度參數(shù)和應(yīng)力水平之間的關(guān)系為對數(shù)線性關(guān)系,即lnβij=aj+bjφ(Si),j=1,2,i=1,2,…,k,其中aj,bj>0為未知參數(shù),φ(Si)為應(yīng)力水平下Si的函數(shù)。

根據(jù)上述假設(shè)和自適應(yīng)逐步混合截尾恒定應(yīng)力加速失效數(shù)據(jù),未知參數(shù)為θ=(α1,α2,β1,β2,…,βk),其中α1>0,α2>0,ρ>0,β1j>β2j>…>βkj>0,j=1,2。

2 參數(shù)估計(jì)

2.1 似然函數(shù)

基于應(yīng)力水平Si下的觀測數(shù)據(jù),建立似然函數(shù)

(3)

基于所有觀測數(shù)據(jù),建立似然函數(shù)

(4)

參數(shù)α,βi的極大似然估計(jì)(maximum likelihood estimation,MLE)可通過極大化對數(shù)似然函數(shù)獲得。對lgLi分別關(guān)于α,βi求導(dǎo)，得

令式(5),(6)等于0,結(jié)果不易計(jì)算得出,本文采用擬牛頓法可獲得參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

2.2 置信區(qū)間

Bootstrap置信區(qū)間步驟如下:

根據(jù)上述步驟,得置信水平為1-δ的Bootstrap置信區(qū)間為

3 數(shù)值模擬

假定應(yīng)力為電壓,加速方程為lnβi=-18+5lnSi,考慮2個(gè)加速水平S1=38,S2=42,正常應(yīng)力水平為34。通過計(jì)算得到βi的真值分別為β1=1.206 8,β2=1.990 4。預(yù)定失效時(shí)間分別為τ1=0.3,τ2=0.5。

給定參數(shù)值α=2,采用以下3種截尾方案:

方案1R1=R2=…=Rm-1=0,Rm=n-m

方案2R1=R2=…=Rm-1=1,Rm=n-2m+1

方案3R2=…=Rm-1=Rm=0,R1=n-m

表 1 (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)時(shí),參數(shù)的MLE及MSETab.1 MLE and MSE of parameters when (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)

從表1可看出，應(yīng)用最大似然方法估計(jì)MOEE分布產(chǎn)品自適應(yīng)逐步混合截尾試驗(yàn)加速壽命試驗(yàn)中，未知參數(shù)具有較好的表現(xiàn)。隨著樣本量ni的增加,參數(shù)的均方誤差值越來越小,其中方案1效果優(yōu)于方案2和方案3。

從表2可看出，形狀參數(shù)的置信區(qū)間的區(qū)間長度總體上隨著試驗(yàn)產(chǎn)品數(shù)量和失效數(shù)的增大而減小。

表 2 (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)時(shí),參數(shù)的ILsTab.2 ILs of parameters when (α,β1,β2)= (2,1.206 8,1.990 4)

4 結(jié) 語

研究了MOEE分布產(chǎn)品自適應(yīng)逐步混合截尾恒加壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析問題,利用經(jīng)典估計(jì)方法獲得了未知參數(shù)的最大似然估計(jì)和Bootstrap置信區(qū)間,并通過數(shù)值模擬研究驗(yàn)證了本文估計(jì)方法的可行性。隨著樣本容量的增大,參數(shù)的極大似然估計(jì)值越接近參數(shù)真值,置信區(qū)間的區(qū)間長度也明顯變短。說明將自適應(yīng)逐步混合截尾應(yīng)用于恒加試驗(yàn)中能具有較好的表現(xiàn)。