p-進位域上可定義群的一個注記

韓 筱,陳國龍

1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北，235000; 2.宿州學(xué)院，安徽宿州,234000

p-進位域是關(guān)于p-進位絕對值的完備化，記作p，其包含了所有有理數(shù)，是它的一個稠密子域，在許多方面的性質(zhì)都類似實數(shù)集R。 在有關(guān)p-進位域(或p-進位閉域)以及實域(實閉域、o-極小結(jié)構(gòu))的問題研究中，可定義群的分類和描述，強調(diào)可定義性而不是可解釋性。文獻[1-3]對p中可定義群進行了研究，但未對一般的p進閉域進行深入分析。可定義群具有實p進李群的一般特性[4]，并且局部同構(gòu)于實p進代數(shù)群，這一結(jié)果在文獻[1]中得到了進一步的推廣。

本文使用基本的模型論理論，參考文獻[1,2,5-10]中關(guān)于p-進位域(p，+，×，0，1)的模型論方法，討論了p-進數(shù)域p上的可定義群G，G局部同構(gòu)于p上連通代數(shù)群H的p-進點群H(p)，證明了當(dāng)G維數(shù)為1時，H為代數(shù)幾何維為1的連通代數(shù)群，p-進位域中一維可定義群是有限可交換的。

1 預(yù)備知識

定義1無限結(jié)構(gòu)被稱為幾何結(jié)構(gòu)[1]，若

(1)在Th(M)的任意模型N中，代數(shù)閉包算子定義了一個準(zhǔn)幾何，即滿足交換定理:若a,b∈N，A?N且b∈acl(A,a)acl(A)，則a∈acl(A,b)。

(2)對于M語言中任意公式φ(x,y)，都有n<ω，使得在M中任意b，φ(x,b)M是有限的,當(dāng)且僅當(dāng)|φ(x,b)M|sh≤n。

定義2設(shè)M為飽和的幾何結(jié)構(gòu)，具有下列諸性質(zhì):

M具有性質(zhì)(E):若X?Mn是可定義的且dim(X)=m，則X上沒有可定義的維數(shù)為m的等價關(guān)系E。

M具有性質(zhì)(S1):若X?Mn是可定義的，dim(X)=m且φ(x,y)為公式，則對于i<ω不存在bi，使得對于所有i，dim(X∩φ(x,bi))=m，但對于i≠j，dim(φ(x,bi)∩φ(x,bj))

(3)任意幾何結(jié)構(gòu)都具有性質(zhì)(E)或(S1):若一些等價的、全部的飽和模型Th(M)具有這個性質(zhì)。

定義3若有限指數(shù)群G的可定義子群族FG的基數(shù)

引理1設(shè)M為幾何結(jié)構(gòu)[1]。

(1)若A?B?M,且Φ(x)是A上的一個局部型，則dimA(Φ)=dimB(Φ)。

(2)令φ(x,y)長度(x)=n，假設(shè)mn，則存在公式ψ(y)使得對于任意b，dim(φ(x,b))=m當(dāng)且僅當(dāng)ψ(b)(這個等價關(guān)系在任何模型中都成立)。

(3)令X1,X2,…Xk為Mn中的可定義子集，則以下式子成立,dim(X1∪X2∪…∪Xk)=max{dim(Xi):i=1,2,…,k}。

引理2令F為R或p，A為F的可數(shù)子集，X為Fn上的可定義子集，則X包含A上一般點，即存在a∈X，使得dim(a/A)=dim(X)。

引理3G為域p上的可定義群，且G有p-進李群的可定義結(jié)構(gòu)。 若G為可定義群且維數(shù)為k，則它為p-進李群的維數(shù)也為k。

注1 在引理3中可令f為可定義開子群G到H(p)的同胚映射，因為任何(可定義)p-進李群都有一個(可定義)緊開子群，而緊p-進李群是無限的。

引理4G為域p上的可定義群，由引理3給出的群G及其拓?fù)洹?若H為p上的一個連通代數(shù)群，H的代數(shù)幾何維數(shù)等于G的維數(shù)，且f為G中單位元的開領(lǐng)域U與H(p)單位元的開領(lǐng)域V之間的同胚映射，則當(dāng)a,b∈U且ab∈U時，f(ab)=f(a)f(b)。

2 主要結(jié)論

定理1M為一個幾何結(jié)構(gòu)，X是維數(shù)為K的可定義集X?Mn，且f為X到Mn上的一個可定義函數(shù)。 若對于所有的b∈Im(f)都有維數(shù)為k的f-1(b)，則Im(f)是有限的。

證明設(shè)M是飽和的，且定義了X和f上的參數(shù)。 假設(shè)Im(f)是無限的，取b∈Im(f)，使得dim(b)≥1。 當(dāng)dim(f-1(b))=k時，取a∈f-1(b)，使得dim(a/b)=k。由次可加性得dim(a,b)>k。 當(dāng)b∈dcl(a)時，dim(a)>k，這與a∈X，dim(X)=k矛盾則可知Im(f)是有限的。

定理2M為一個幾何結(jié)構(gòu)，G是M中的可定義群G?Mn且dim(G)=k。 假設(shè)G0存在(在飽和模型上考慮)，G包含維數(shù)為k的可定義子集X，則對于任意的a,b∈X，ab=ba，G為可交換的有限群，即G有一個有限指數(shù)子群H，使得H是可交換的。

證明對任意a∈X，設(shè)f為G到G上(可定義)函數(shù)，fa(g)=gag-1a-1。

結(jié)論1固定a∈X。 對于任意g1，g2∈G，fa(g1)=fa(g2)當(dāng)且僅當(dāng)g1CG(a)=g2CG(a)。

結(jié)論2對于a∈X，Im(fa)是有限的。

證明G的中心化子a，記為CG(a)，由假設(shè)可知G包含X，CG(a)的維數(shù)為k。 所以對于任意g∈G，dim(gCG(a))=k。 由結(jié)論1可知，對于所有g(shù)∈G，fa是gCG(a)上的常量。 再由定理1可得結(jié)論。

結(jié)論3對于任意a∈G，CG(a)在G中有有限指數(shù)。

證明由結(jié)論1可知Im(f)是G/CG(a)上的雙射，又由結(jié)論2可得CG(a)在G中有有限指數(shù)。

在飽和模型M中，由緊致性定理得，對于任意a∈G，CG(a)在G中有有限指數(shù)。 假設(shè)存在G0，CG(X)=∩a∈XCG(a)是有限次交，則G的有限指數(shù)子群H也是如此。 對任意a∈H，CG(a)包含X，則它的維數(shù)也是k。 由結(jié)論1，2，3可知,對于a在H而不在X中，則由以上證明可知，對于所有a∈H，CG(a)在G中都有有限指數(shù)，即H∩CG(H)在G中有有限指數(shù)且是可交換的。

注2 對于定理1和定理2，在實元組的型上只需要有有限值次加性維數(shù)，對于定理2只需要有維數(shù)為k的可定義集X?G，使得對于所有的a∈X，CG(a)維數(shù)為k。

定理3G為域p上的可定義群，H為p上的一個連通代數(shù)群(同引理3),則下面兩條件是成立的。

(1)若H是可交換的，則G是有限可交換的。

(2)若G是在p維數(shù)為1的群，則G是有限可交換的。

證明(1)令U，V分別為G和H(p)單位元的開領(lǐng)域，且f為U與V之間的同胚映射(同引理4)，假設(shè)a,b∈U1，ab=ba，取G中包含單位元的較小的開領(lǐng)域U1，使得任意的a,b∈U1，ab∈U。U1的維數(shù)和G維數(shù)一致，與p作為幾何結(jié)構(gòu)的維數(shù)相同，則G0存在(在飽和模型上)，即G是可交換無限的。

(2)若G的維數(shù)為1，由引理3可得連通代數(shù)群H的作為代數(shù)群的維數(shù)也為1，即H是可交換的。

3 結(jié) 語

本文主要結(jié)果的證明是從局部交換到有限交換，然后再把它放到幾何結(jié)構(gòu)中。 利用p-進位域(p，+，×，0，1)的模型論方法，證明了當(dāng)G是局部可交換的，等價于p上連通代數(shù)群H(p)，使得可定義群G局部同構(gòu)于H(p)且是可交換的，從而得到G是有限可交換的。 特別地，當(dāng)G維數(shù)為1時，則H為代數(shù)幾何維數(shù)為1的連通代數(shù)群，從而導(dǎo)出p-進位中一維可定義群是有限可交換的。