S曲線加減速控制在數(shù)控機(jī)床研究中的應(yīng)用進(jìn)展*

韓業(yè)鵬，王孝偉，陳從桂，沈 騰，朱厚耀，賀香華

（廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

數(shù)控機(jī)床（CNC）首先在美國誕生。1948年，帕森斯公司開發(fā)出一種處理直升機(jī)葉片輪廓檢測的機(jī)床，提出了研制數(shù)控機(jī)床的初步設(shè)想。1949年，帕森斯公司和美國的高等學(xué)校進(jìn)行交流與合作。1952年，全球第一臺數(shù)控機(jī)床問世，是三軸數(shù)控銑床，其硬件系統(tǒng)用電子管來實(shí)現(xiàn)。自1960年以來，德國和日本等國家先后開發(fā)、生產(chǎn)和使用了數(shù)控機(jī)床。1968年，北京第一機(jī)床廠開發(fā)出第一臺數(shù)控機(jī)床；1974年，微處理器直接應(yīng)用于CNC，進(jìn)一步加快了數(shù)控機(jī)床的推廣應(yīng)用。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)和電子技術(shù)的不斷革新，CNC的數(shù)控系統(tǒng)也一直在發(fā)展，經(jīng)歷了以下幾代變化。

（1）第一代數(shù)控（1952～1959）CNC的硬件數(shù)控系統(tǒng)是用電子管制作的；（2）第二代數(shù)控（1959～1965）是基于晶體管電路的硬件電路系統(tǒng)；（3）第三代數(shù)控（始于1965年）使用中小型集成電路的硬件控制系統(tǒng)；（4）第四代數(shù)字控制（始于1970年）是小型通用電子計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)，采用大規(guī)模集成電路；（5）第五代數(shù)控（始于1974年），其在計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)的控制是小型控制；（6）第六代CNC（始于1990年）使用通用數(shù)控系統(tǒng)用于工業(yè)PC。其中，CNC主要由硬件和軟件構(gòu)成，硬件聯(lián)動(dòng)結(jié)構(gòu)組成稱為硬件數(shù)控；計(jì)算機(jī)數(shù)控主要由軟件完成。近20年以來，隨著國家經(jīng)濟(jì)水平和科技創(chuàng)新能力的提高，國家的工業(yè)與制造業(yè)也在發(fā)展，數(shù)控機(jī)床的應(yīng)用越來越廣泛。

目前，S曲線加減速技術(shù)在數(shù)控機(jī)床中比較穩(wěn)定，所以本文主要論述S曲線加減速技術(shù)在數(shù)控機(jī)床中的相關(guān)應(yīng)用與研究。

1 S曲線加減速的應(yīng)用和原理

1.1 加減速在數(shù)控機(jī)床的應(yīng)用

數(shù)控處理的目的是要達(dá)到高速度和高精度，這需要機(jī)床具有更高的加工速度，才不會損壞機(jī)床和刀具。目前，有很多技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，包括生成具有所需的加速和減速（acc/dec）特性。加減速可分為幾種常見類型，其中線性加減速[1-2]是最簡單、最容易實(shí)現(xiàn)的，但是其速度的突變會導(dǎo)致加速曲線不夠平滑[3]；而指數(shù)加減速[4]具有強(qiáng)大的跟蹤能力，但是在高速時(shí)穩(wěn)定性較差、計(jì)算方式相對復(fù)雜[5]。

為了避免線性加減速的限制，對非均勻的弦誤差和有理樣條曲線（NURBS）等參數(shù)插值器提出了不同的約束組合。Yong等[6]和Du等[7]考慮弦誤差和切向加速度分量極限；Feng等[8]考慮了弦誤差和加速度極限；Du等[9]、Emami等[10]和Annoni等[11]考慮了弦誤差、加速度和加加速度限制的切向分量；Lai等[12]、Tsai等[13]和Lee等[14]考慮弦誤差、加速度和切向抖動(dòng)限制。在雙軸加工中，大多使用現(xiàn)有的參數(shù)插值器處理幾何誤差。但是，由于需要2個(gè)額外的旋轉(zhuǎn)軸，隨著復(fù)雜性和五軸加工中的約束數(shù)量，計(jì)算負(fù)荷會明顯增加[15]。S曲線加減速具有三角形加速度曲線，因此是S型的速度分布。S型加減速同線性和指數(shù)加減速相比較，能生成更平滑的命令，有更好的準(zhǔn)確性。此外，其計(jì)算量加載比參數(shù)插值器少。

2001年，S曲線加減速控制問題由Altintas等[16]首次提出。隨著現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的發(fā)展，加減速控制方法引起了相當(dāng)多的關(guān)注。Chen等[17]提出了一種具有S曲線的前瞻算法連續(xù)線性/圓形段的加減速。Wang等[18]提出了一種離散S曲線速度控制算法線性段。除了線性和圓形段，S曲線加減速也適用于NURBS工具路徑。Lin等[19]根據(jù)尖角和預(yù)定的信息將NURBS路徑劃分為小段，其中的小段屬于S曲線加減速的多個(gè)速度曲線。Heng等[20]開發(fā)了一種光滑連續(xù)的進(jìn)給模態(tài)，采用S曲線和鐘形曲線acc/dec進(jìn)行多段NURBS刀具路徑模擬。

1.2 S曲線加減速的原理

S曲線加減速法是根據(jù)系統(tǒng)加減速過程中速度曲線的形狀推導(dǎo)出來的，是一種速度變化非常平穩(wěn)的加減速運(yùn)動(dòng)控制算法。S曲線加減速的加速度是連續(xù)變化的，速度變化也比較柔和，能夠有效減小沖擊和振蕩[21]。運(yùn)動(dòng)曲線的過程可分為7個(gè)階段：加加速段、加速段、勻加速段、減速段、勻速度段、加減速段、勻減速段。其中，加加速段、減速段、加減速段、減速段的作用是防止力或加速度突然變化，減少沖擊；勻加速段和勻減速段的作用是使其具有最大的力或加速度極限；勻速段的目的是存在最大速度的約束。

S曲線加速減速指的是加速和減速過程中，導(dǎo)數(shù)J在加速和減速的加速度是恒定的，和加速度控制導(dǎo)數(shù)，避免突然改變的加速度，從而減少了機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)突然改變造成的加速度在加工過程中。采用S曲線加減速算法可以獲得平滑的速度和加速度。

2 S曲線技術(shù)

2.1 加減速控制

常用的加速和減速控制規(guī)律有很多種，如直線型加減速和S型曲線加減速等。國內(nèi)的郭新貴[22]和趙國勇[23]利用三角函數(shù)構(gòu)造了基于j控制的新的加減速曲線。這些加減速控制的特點(diǎn)如下所述[24-27]。

（1） 梯形加減速控制運(yùn)用數(shù)學(xué)公式簡單、占用時(shí)間短、機(jī)器反應(yīng)快，具有高能和高速的特點(diǎn)；缺點(diǎn)是對機(jī)床運(yùn)動(dòng)有柔性沖擊，速度轉(zhuǎn)換不夠平穩(wěn)、運(yùn)動(dòng)精度低。

（2） S曲線加減速的控制方式是讓速度沒有波動(dòng)，加速度的變化也是穩(wěn)定的。速度是加速度的積分，加速度是加加速度的積分，顧名思義，控制加速度的變化是重要的。S曲線加減速能夠讓加速度更加穩(wěn)定，讓機(jī)床運(yùn)行得快而平穩(wěn)，也不會有撞擊；但該計(jì)算量比較大，難度較高。

（3）正弦加減速曲線與S型速度曲線相比，正弦加速和減速可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，這相對簡單且易于實(shí)現(xiàn)。

現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域用梯形速度曲線控制方法比較多[1，28]，其結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算方便，廣泛應(yīng)用于控制精度較低的控制系統(tǒng)中。梯形速度曲線以加減速為特征，加速度為一個(gè)固定值，其值是人為定值。給出一個(gè)真實(shí)的加工軌跡，如果給定每個(gè)加工點(diǎn)的位置、加工過程的速度，并設(shè)置加速度值，就可以得到一個(gè)完整的梯形速度曲線。

圖1為梯形速度曲線，包括速度曲線、加速度曲線以及加加速度曲線（jerk曲線）。梯形的速度曲線可分為簡單的3個(gè)部分，即加速度增加部分、勻速運(yùn)動(dòng)部分和加速度減小部分，加速度增加部分和加速度減小部分的加速度大小相等。由圖可知，速度曲線為典型的梯型速度曲線，因此在加速度的變化處就會產(chǎn)生一定的脈沖，會讓正在加工中的數(shù)控機(jī)床有抖動(dòng)，危害很大，嚴(yán)重?fù)p害機(jī)床的使用壽命，影響工件的加工精度。

圖2所示為正弦加減速曲線示意圖。其中，amax是最大的加速度；v1為開始的進(jìn)給速度；v2為結(jié)束時(shí)的進(jìn)給速度。正弦加減速算法比直線型加減速算法更好，正弦曲線中的加速度沒有波動(dòng)、更穩(wěn)定，能夠達(dá)到機(jī)床的運(yùn)動(dòng)精度，但是計(jì)算量大。正弦型速度曲線和S型速度曲線所表達(dá)的相差不大，不同的是正弦曲線的加速度是正弦曲線固有的[29-30]。正弦的速度曲線劃分為3個(gè)部分，即加速段、勻速段和減速段。正弦的加速度曲線是速度曲線的導(dǎo)數(shù)。正弦速度曲線與S型速度曲線相比較，在讓速度達(dá)到穩(wěn)定的情況下，也減少了速度曲線的段數(shù)，速度曲線依然具有平滑性，比S型速度曲線的復(fù)雜性要低，更容易應(yīng)用在實(shí)際數(shù)控中。

S型速度曲線是工業(yè)常用的速度控制方法，可以解決梯形速度曲線的一些缺點(diǎn)。S型速度曲線可以控制加速度的變化率。此外，S型速度曲線的加速度曲線在速度接合處是連續(xù)且平滑地過渡。因此S型速度曲線是一種能限制震動(dòng)的速度控制方法[31-33]。

圖3所示為S型速度曲線，可以分成3個(gè)部分，即速度曲線、速度曲線每個(gè)段所對應(yīng)的加速度曲線、加加速度曲線。S型速度曲線勻速段的最大速度為vmax；起點(diǎn)速度為vstr；停止速度為vend；達(dá)到的最大加速度為amax；加速度的導(dǎo)數(shù)為J（加加速度）。

圖1 梯形速度曲線

圖2 正弦速度曲線

圖3 S速度曲線

2.2 S曲線算法

形狀比較復(fù)雜的工件加工一直是數(shù)控機(jī)床研究的難點(diǎn)和重點(diǎn)。傳統(tǒng)的CNC加工系統(tǒng)使用離散化直線逼近曲線，其顯而易見的不足是形成速度分布的曲線間斷和波動(dòng)較大，并且形成的數(shù)據(jù)量較多；另外，重復(fù)使用加減速產(chǎn)生軌跡會對機(jī)床帶來很大的沖擊，難以滿足高速、高精度加工的要求。為了更好地解決此類難題，提高加工穩(wěn)定性與零件表面加工質(zhì)量，許多專家和學(xué)術(shù)界的領(lǐng)軍人士產(chǎn)生了對數(shù)控使用曲線插補(bǔ)方法的想法。Shpitalni M[34]參照Taylor展開式來編寫一階和二階的參數(shù)曲線插補(bǔ)方法，體現(xiàn)了穩(wěn)恒參數(shù)插補(bǔ)的良好特性；Yeh S等[35]提出弦高誤差的自適應(yīng)參數(shù)曲線插補(bǔ)算法；Yong T等[6]在控制弦高誤差的同時(shí)規(guī)劃了數(shù)控加工過程中的加減速問題。然而，這些研究的內(nèi)容主要集中在插補(bǔ)過程中插補(bǔ)點(diǎn)的計(jì)算，在插補(bǔ)過程中，并沒有深入去探索加速和減速問題。

此外，一些專家也研究了NURBS插補(bǔ)的加減速。如Xu-Rongzhen等[36]提出了一種自適應(yīng)的前瞻插補(bǔ)算法，同時(shí)對速度自適應(yīng)控制也要進(jìn)行前瞻控制，找到速度變化范圍的容許值和不容許的范圍值，再進(jìn)行加減速變化；王海濤等[37]在S型加減速離散采樣模型的基礎(chǔ)上，提出了一種S型加減速前瞻算法；在加速度恒定的條件下，周勝德等[38]提出了一種基于NURBS曲線插補(bǔ)的5段S曲線加減速控制方法，解決了插補(bǔ)之前的加減速控制中難以預(yù)測減速點(diǎn)的問題。S型速度曲線具有連續(xù)的加速度變化，可有效地減弱對系統(tǒng)的沖擊和振動(dòng)。此外，每段的平穩(wěn)加速和減速將使系統(tǒng)運(yùn)行更加平穩(wěn)。

2.3 S曲線數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型已廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，顯示出強(qiáng)大的生命力。數(shù)學(xué)模型在解決特定的實(shí)際問題方面具有優(yōu)勢。首先，數(shù)學(xué)模型為原型提供了簡潔的形式語言。使用數(shù)學(xué)符號、圖像和公式來揭示原型的性質(zhì)、規(guī)律和結(jié)構(gòu)，以便人們可以掌握原型系統(tǒng)。其次，數(shù)學(xué)模型提出的數(shù)學(xué)問題的解完全依靠于數(shù)學(xué)的概念、命題、微積分方法和邏輯推理。

目前，有很多學(xué)者對S曲線數(shù)學(xué)模型進(jìn)行相關(guān)研究。武小虎[39]分析了數(shù)控系統(tǒng)加減速控制方法的基本原理，通過對樣條曲線的數(shù)據(jù)處理，建立了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，完成了樣條插補(bǔ)算法的設(shè)計(jì)。胡建華和廖文和等[40]對數(shù)控系統(tǒng)中的幾種加速和控制曲線進(jìn)行了研究，分別分析了該數(shù)控系統(tǒng)的梯形、S型和直線加減速曲線，比較這幾種控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)及其應(yīng)用場合，主要研究了速度時(shí)間曲線在步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)中的應(yīng)用。結(jié)果表明，直線段逼近曲線算法可以顯著提高步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)的性能；但缺點(diǎn)是加速度變化突然、機(jī)床沖擊靈活、速度過度不夠平穩(wěn)，不適合高速數(shù)控系統(tǒng)。石川等[41]提出使用S曲線加減速算法來總結(jié)可能出現(xiàn)的8種S曲線加減速模式，速度和位移采用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，使算法變得復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間長。

在此基礎(chǔ)上，陳友東等[42]推導(dǎo)出S曲線離散采樣迭代公式，但該算法不包括勻加速階段和勻減速階段。潘海鴻[43]總結(jié)了不同參數(shù)條件下的17種S型曲線加減速類型，但大多數(shù)可以組合成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型。田軍鋒等[44]根據(jù)S型曲線的對稱性、初始速度、最終速度的不同特點(diǎn)簡化了算法，可以快速計(jì)劃每個(gè)階段的運(yùn)行時(shí)間和MATLAB驗(yàn)證算法，這樣可以獲得平滑的速度和加速度輪廓。通過簡化S形曲線的速度和位移公式，可以快速判斷S形曲線的幾個(gè)階段，從而節(jié)省了前瞻模塊處理時(shí)間和系統(tǒng)資源，使系統(tǒng)能夠更有效地進(jìn)行處理。上述S型加減速規(guī)劃涉及對稱S型加減速控制，起止速度相等。如果要使用這樣的加減速，電機(jī)在處理每個(gè)線段時(shí)需要從零開始加速。電機(jī)在達(dá)到最大轉(zhuǎn)速后，再從最大轉(zhuǎn)速降至零，電機(jī)頻繁啟動(dòng)，不僅影響加工效率，還會引起抖動(dòng)或振動(dòng)，嚴(yán)重影響加工精度。楊亮亮等[45]指出非對稱S型加減速時(shí)間的規(guī)劃在初始和末速度均為非零的情況下比較困難。將加速度曲線劃分為7個(gè)時(shí)間段，分析了加速度變化時(shí)間方程，并將其簡化為一維高階方程。變化的單調(diào)性構(gòu)造其平方函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)單凸函數(shù)，然后利用牛頓迭代法求出其收斂值，并根據(jù)效率原理和加速度、速度約束條件進(jìn)行修正。對于勻加速時(shí)間，直接根據(jù)其公式的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為二次方程進(jìn)行規(guī)劃，并根據(jù)效率原理和加速度、速度約束條件進(jìn)行修正。對于勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間，直接根據(jù)函數(shù)進(jìn)行分析。這樣能夠解決現(xiàn)有始末速度不為零的S型曲線加減速和不對稱的時(shí)間規(guī)劃過程復(fù)雜、繁瑣問題，給出一種方便、簡單、高效的加減速時(shí)間算法。

3 結(jié)束語

通過對加減速控制方法的分析可知，S曲線加減速控制在數(shù)控機(jī)床中的應(yīng)用主要有3個(gè)方面。

（1）通過對速度曲線的分析比較，S曲線控制可以避免速度和加速度的突然變化，減少沖擊，提高數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。

（2）采用S曲線算法有效地解決了預(yù)插補(bǔ)加減速控制中減速點(diǎn)預(yù)測困難的問題。S型速度曲線加速度的變化是連續(xù)的，可以有效減弱對系統(tǒng)的沖擊和振動(dòng)。

（3）采用S曲線數(shù)學(xué)模型對數(shù)控系統(tǒng)的加減速控制進(jìn)行分析，能夠有效地了解當(dāng)前對數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)加減速算法的研究，以解決初始速度不為零對加減速時(shí)間的規(guī)劃問題。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)控機(jī)床不斷地創(chuàng)新與改進(jìn)，在數(shù)控中應(yīng)用到的算法也會不斷地推陳出新，但對數(shù)控機(jī)床的研究分析也變得愈加復(fù)雜。對于數(shù)控機(jī)床新出現(xiàn)的問題，S曲線的控制方法會不斷地完善，從而滿足數(shù)控機(jī)床對加工精度、速度和穩(wěn)定性的需求。