一類擬線性橢圓型方程非平凡解的存在性

李鵬菲，樊自安，謝君輝*

(1.湖北民族大學(xué) 理學(xué)院，湖北 恩施 445000； 2.湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

0 引言

研究一類帶Dirichlet邊界條件的擬線性橢圓型方程邊值問題解的存在性:

(1)

其中,Ω?RN(N≥3)為具有光滑邊界的有界區(qū)域,x∈Rn.

問題(1)來自于流體力學(xué)中的p-Laplace方程和多孔介質(zhì)方程[1].近些年，對(duì)一般的擬線性橢圓方程多解的存在性，已經(jīng)被許多學(xué)者廣泛地研究[2-6].解決此類問題的主要方法有變分法及上下解方法.

文獻(xiàn)[2-3]應(yīng)用山路引理以及變分原理,分別討論了下列擬線性橢圓型方程弱解的存在性:

-div(|u|p-2u)=f(x,u)

-div(|u|p(x)-2u)+|u|p(x)-2u=f(x,u)

楊健夫等[7]研究了無界區(qū)域上一類橢圓方程邊值問題的非平凡解，林艷等[8]對(duì)一類Laplace方程非平凡解的存在性問題進(jìn)行了探討，文獻(xiàn)[9]討論了一類橢圓方程正解的存在性，文獻(xiàn)[10]對(duì)一類沒有PS條件的Laplace方程解的存在性進(jìn)行了研究，Mihailescu[11]研究了一類退化型非線性橢圓方程弱解的存在性和多重性，王振華等[12]對(duì)一類非線性橢圓方程解的對(duì)稱性進(jìn)行了研究.

本文主要應(yīng)用山路引理以及變分原理,在Sobolev空間中討論了一類擬線性橢圓型偏微分方程非平凡弱解的存在性.運(yùn)用山路引理及集中緊性原理,得到了非平凡弱解的存在性;利用沒有PS條件的山路引理,得到了非平凡弱正解的存在性.

假設(shè)問題(1)滿足如下四個(gè)條件：

(A) 存在正數(shù)a0>0使得a(x)≥a0>0,f(x,u):Ω×R→R是連續(xù)函數(shù),f(x,0)=0.

定理1 假設(shè)(A)(B)(C)(D)四個(gè)條件滿足,問題(1)存在非平凡弱解.

1 預(yù)備知識(shí)及引理

本節(jié)將給出一些預(yù)備知識(shí)及為證明定理1要用到的一些引理.

定義1[13]設(shè)Sobolev空間W1,p(Ω)及Li(Ω)(p≤i≤p*)空間中的范數(shù)：

則‖u‖≥m01/p‖u‖0,m0=min{1,a0},于是嵌入E→Li(Ω),當(dāng)p≤i≤p*是連續(xù)的.當(dāng)p≤i

定義2(PS條件)[4，5]設(shè)E為實(shí)的Banach空間，J∈C1(E,R),稱J滿足PS條件是指任何序列{un}?E滿足I(un)有界且I′(un)→0,當(dāng)n→時(shí).

定義3 假設(shè)u,v∈E,定義算子:T:E→R：

下面，列出一些常用不等式和一些預(yù)備知識(shí).

1.1 H?lder不等式[14-15]

1.2 Lp空間中的列緊性[15]

設(shè)Ω?Rn為一可測(cè)集，當(dāng)1

1.3 嵌入定理[14-15]

設(shè)Ω?Rn為一有界區(qū)域，1≤p≤+.

i)若Ω滿足一致內(nèi)錐條件，則當(dāng)p=n時(shí)，有:W1,P(Ω)?Lq(Ω),1≤q<.而且對(duì)任意的u∈W1,P(Ω),有:‖u‖Lq(Ω)≤C(n,q,Ω)‖u‖W1,P(Ω),1≤q<+.

這里稱p*為p的Sobolev共軛指數(shù)，常數(shù)C為嵌入常數(shù).

1.4 緊嵌入定理[14-15]

設(shè)Ω?Rn為一有界區(qū)域，1≤p≤+.

i)若Ω滿足一致內(nèi)錐條件，則當(dāng)p≤n時(shí)下列嵌入是緊的：

W1,P(Ω)→Lq(Ω),1≤q

ii)若?Ω適當(dāng)光滑，則當(dāng)p>n時(shí)下列嵌入是緊的：

1.5 Poincare不等式[14]

設(shè)1≤p<+，Ω?Rn為一有界區(qū)域.

下面，給出弱解的定義.

下面將給出一些引理：

引理1[5-6]算子T是弱下半連續(xù)的.

證明由Clarkson’s不等式:

從而，對(duì)于u,v∈E，存在常數(shù)k1>0，使得:

(2)

即T是p一致凸的.因此，對(duì)任意v∈E有:T(v)≥T(u)+.

由H?lder不等式得到，對(duì)任意的v∈E，有：

在自然界長(zhǎng)期的演變過程中，不同類群的生物之間（通過食物鏈、食物網(wǎng)）、生物與其生存的環(huán)境之間形成了復(fù)雜穩(wěn)定的生態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，物種越豐富，生態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定。長(zhǎng)江水生態(tài)系統(tǒng)具有重要的生態(tài)功能，系統(tǒng)內(nèi)的物質(zhì)循環(huán)和能量流動(dòng)是生物地球化學(xué)循環(huán)的重要組成部分，在維持流域生態(tài)平衡、保障水資源和生態(tài)安全方面具有十分重要的作用，是我國重要的戰(zhàn)略水源地、生物多樣性典型代表區(qū)域、淡水漁業(yè)的搖籃和重要經(jīng)濟(jì)魚類的種質(zhì)資源庫。

T(u)-C‖v-u‖.

所以，對(duì)任意的ε>0,取δ=ε/C,當(dāng)‖v-u‖<δ,T(v)≥T(u)-ε,因此，T強(qiáng)下半連續(xù),由T是凸的,得到T弱下半連續(xù).

證明un弱收斂于u∈E說明{un}在E里有界,又:

故存在M>0使得T(un)≤M,因此T(un)收斂,設(shè)T(un)→ξ,由引理1知T(u)≤ξ,T是凸的,得到:

T(u)≥T(un)+

令n→,由引理2的條件,T(u)≥ξ,因此T(u)=ξ.

由引理1有：

(3)

現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)n→時(shí),‖un-u‖不趨向于0,則存在{un}的一個(gè)子列,不妨記作{uk},存在ε0>0,使得‖uk-u‖≥ε0,由式(2)有:

這里,u∈W1,p(Ω),u≠0,則：

?u∈E,‖u‖Lp*(Ω)≤S-1/p‖u‖0≤(m0S)-1/p‖u‖.

(4)

引理3 下面結(jié)論成立:

i)存在c,ρ>0,使得:J(u)≥c>0,?u∈E,‖u‖=ρ.

證明i)從條件(B)知,任意ε>0,存在兩個(gè)常數(shù)δ1,δ2>0使得:

f(x,u)≤(b(x)+ε)|u|p-2u,|u|<δ1,f(x,u)≤ε|u|p*-2u,|u|>δ2.

于是:

于是由上面兩式及條件(A)得到,對(duì)任意ε>0,存在Cε>0有:

f(x,u)≤(b(x)+ε)|u|p-2u+Cε|u|p*-2u.

所以:

由H?lder不等式及式(4)有:

因此得到:

其中α=S-1‖b‖Lp1(Rn),β=Cε(p*)-1S-p*/p.當(dāng)‖b‖p10,取ε和‖u‖=ρ足夠小,J(u)≥c>0,引理3第一個(gè)結(jié)論成立.

ii)由條件(C)知,存在兩個(gè)常數(shù)λ,K>0使得:

F(x,u)≥λ|u|θ，|u|≥K，x∈Ω.

(5)

取u0∈E,使得測(cè)度({x∈Ω;|u0(x)|≥K})>0,由式(5)得：

由于θ>p,因此t→,J(tu0)→-.

2 主要結(jié)果的證明

本節(jié)將給出主要結(jié)果的證明.

首先定義泛函J:E→R:

定理1的證明由引理3及山路引理,在E中存在數(shù)列{un}使得：

J(un)→c>0,J′(un)→0.

(6)

現(xiàn)在證明{un}有界.

其中ο(1)表示無窮小.由條件(C)知,存在正數(shù)θ>p使得0<θF(x,u)≤uf(x,u),因此由上面兩式：

(7)

又：

于是，

(8)

由式(4)有：‖u‖p*≤(m0S)-1/p‖u‖.

因此,

(9)

由于：

結(jié)合式(7)、(8)、(9),則當(dāng)n→時(shí),

則當(dāng)n→,由上兩式及式(6)知：

→0.

由引理2知un(x)在E中強(qiáng)收斂于u(x),由J∈C1(E,R) 及式(6),對(duì)于φ∈E,=0,u是問題(1)的一個(gè)弱解,而由J(u)=c>0,知u是非平凡的.