CEV模型下觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的有限差分格式

孫玉東,王 歡

(貴州民族大學(xué) 商學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

表1 掛鉤于歐元兌美元匯率的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品(起購(gòu)金額:50 000元)Tab.1 Trigger products linked to the euro-dollar exchange rate (Initial purchase amount:50 000 yuan)

金融理財(cái)產(chǎn)品是期權(quán)的延伸,金融理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)也是金融數(shù)學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容.金融理財(cái)產(chǎn)品是商業(yè)銀行在對(duì)潛在目標(biāo)客戶群分析研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)特定目標(biāo)客戶群開發(fā)設(shè)計(jì)并銷售的資金投資和管理計(jì)劃.

金融理財(cái)產(chǎn)品是期權(quán)的衍生品種,目前有金融理財(cái)產(chǎn)品和相關(guān)期權(quán)定價(jià)的研究已有許多文獻(xiàn).有些理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)機(jī)制相對(duì)簡(jiǎn)單,容易獲取解析解[1-2],但大部分理財(cái)產(chǎn)品都難獲取解析解,因此必須借助數(shù)值方法.文獻(xiàn)[3-4]研究了與金融理財(cái)產(chǎn)品相似的障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,針對(duì)觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品適合的Black-Scholes偏微分方程,Dilloo和Tangman提供了一種高精度差分格式,文獻(xiàn)[5]則用差分格式研究了回望期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.楊招軍和黃冰華[6]考慮到市場(chǎng)非完備和投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的實(shí)際情形,基于效用無(wú)差別定價(jià)原理,利用隨機(jī)控制方法,得到了金融理財(cái)產(chǎn)品價(jià)格滿足的偏微分方程,運(yùn)用有限差分法進(jìn)行數(shù)值分析.文獻(xiàn)[7-8]考慮了帶有交易費(fèi)用的情形,此時(shí)金融理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)適合非線性的Black-Scholes偏微分方程,一類適合非線性的Black-Scholes偏微分方程并且精度更高的迎風(fēng)差分格式.

近些年來(lái),隨著我國(guó)金融市場(chǎng)的發(fā)展,各商業(yè)銀行涌現(xiàn)出了一些新的理財(cái)產(chǎn)品,觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品就是其中的一種,其基本內(nèi)容可以概括為表1.觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的收益可以概括為三部分內(nèi)容.

1)在存續(xù)期[0,T]內(nèi),如果理財(cái)產(chǎn)品掛鉤的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)觸及過(guò)行權(quán)價(jià)格P1和行權(quán)價(jià)格P2,則理財(cái)產(chǎn)品的收益率為r1,此時(shí)單位本金的收益為1+r1T.

2)在存續(xù)期[0,T]內(nèi),如果理財(cái)產(chǎn)品掛鉤的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)觸及過(guò)行權(quán)價(jià)格P1但未觸及行權(quán)價(jià)格P2,則理財(cái)產(chǎn)品的收益率為r2,此時(shí)單位本金的收益為1+r2T.

3)在存續(xù)期[0,T]內(nèi),如果理財(cái)產(chǎn)品掛鉤的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)未觸及過(guò)行權(quán)價(jià)格P1和行權(quán)價(jià)格P2,則理財(cái)產(chǎn)品的收益率為r3,此時(shí)單位本金的收益為1+r3T.

經(jīng)歸納總結(jié),其到期日的收益可以歸結(jié)為如下公式：

(1)

其中隨機(jī)過(guò)程{S(t),t≥0}表示歐元兌美元的匯率.考慮結(jié)論的一般性,本文設(shè)定其隨機(jī)結(jié)構(gòu)如下：

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)αdB(t),

這里μ表示期望增長(zhǎng)率,σ表示波動(dòng)率,α為方差彈性常數(shù).

令人遺憾的是,有關(guān)觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)的文章還不多見,主要是因?yàn)橛|發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品收益結(jié)構(gòu)復(fù)雜,難以定價(jià).此外,也少有文獻(xiàn)采用CEV模型研究此類問(wèn)題,因?yàn)榉讲顝椥猿?shù)的引進(jìn),使得模型更加復(fù)雜,對(duì)此類問(wèn)題更加難以定價(jià).本文借助文獻(xiàn)[9-10],運(yùn)用△-對(duì)沖技術(shù),獲取Black-Scholes偏微分方程的方法,研究了觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題.給出了一種半無(wú)界區(qū)間上的差分格式,該格式避免了人工邊界的誤差.

圖1 λε(S)模擬效果圖(a:ε=1;b:ε=0.5)Fig.1 λε(S)’ simulation effect (Part a:ε=1,Part b:ε=0.5)

1 CEV定價(jià)方程和數(shù)值離散

f(T)=(1+r1T)+f1(T)+f2(T),

(2)

v(t,S)=exp{-r(T-t)}E[f(T)],

其中r表示銀行的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,q表示紅利率,t為當(dāng)前時(shí)刻,此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S(t)滿足：

dS(τ)=rS(τ)dτ+σS(τ)αdB(τ),τ∈(t,T),

(3)

S(t)=S,S已知.注意v(t,S)=exp{-r(T-t)}(1+r1T)+exp{-r(T-t)}E[f1(T)]+exp{-r(T-t)}E[f2(T)],從而只需分析損益為f1(T)的理財(cái)產(chǎn)品的價(jià)值exp{-r(T-t)}E[f1(T)].再利用Feymann-Kac公式,在CEV模型(3)下?lián)p益為f1(T)的理財(cái)產(chǎn)品的價(jià)值V(t,S)適合拋物方程：

(4)

由于拋物問(wèn)題(4)在邊界點(diǎn)(T,p1)處不滿足連接性條件,從而采用λε(S)作為初值v(T,S)的近似：

λε(S)模擬效果如圖1,并且容易證明λε(S)滿足：

1.1 顯式差分格式

圖2 倒向顯式差分節(jié)點(diǎn)Fig.2 Backward explicit difference node

在區(qū)域∑={0

(5)

其中負(fù)整數(shù)M=[x0/Δx],差分算子滿足：

(6)

為了方便編程遞推,上式也可以寫成：

(7)

這里可以采用逐次遞推獲取歐式看漲期權(quán)的價(jià)格.注意式(7)是半無(wú)界區(qū)間上的差分格式,文獻(xiàn)[3-4,7-8]為了克服無(wú)界區(qū)間的困難,引入了人工邊界,但這又造成了不必要的誤差.本節(jié)構(gòu)造一種新的遞推方案,不必引入人工邊界.考察矩陣(8),在矩陣(8)中,

(8)

1.2 交替差分格式

(9)

其中差分算子滿足：

(10)

(11)

(12)

最后當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),從第n層采用公式：

(13)

遞推至初始時(shí)刻(第0層),其中：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),從第n-1層采用式(13)遞推至初始時(shí)刻.

1.3 誤差分析

接下來(lái)考察差分格式的精度問(wèn)題.為了方便論述,引入下面形式的離散格式極值原理[4].

進(jìn)一步由泰勒公式,容易得到：

代入式(6),容易得到：

2 仿真分析

本節(jié)將在下面的環(huán)節(jié)中考察差分格式的誤差估計(jì)問(wèn)題:

S=110,p1=100,σ=0.3,T=1,t=0.5.

注意當(dāng)α=1,r=0時(shí),損益為f1(T)的理財(cái)產(chǎn)品的價(jià)值存在解析解：

其中Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).為了方便計(jì)算選擇：

ε=0.1,dx=3×dt,2(r2-r1)=1,

表2 差分模擬結(jié)果及其精度Tab.2 Difference simulation results and their accuracy

表3 三款觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的差分結(jié)果Tab.3 The difference between three trigger products

其中表2中的FDM1表示顯示差分格式(式(7)),FDM1表示交替差分格式(式(13)).可以看出隨著時(shí)間間隔△t逐步縮小,兩種差分格式的精確逐步提高,對(duì)比FDM1和FDM2的精度,可以看出交替差分格式的效果要好于顯示差分格式.

接下來(lái)仍選取表1羅列的幾款觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品進(jìn)行實(shí)證分析.根據(jù)2018-02-18銀行利率信息,選取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.043 5,同時(shí)選取顯著水平α=0.05,模擬精度設(shè)置為0.01元,三款來(lái)自農(nóng)業(yè)銀行的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的模擬價(jià)格情況見表3,結(jié)果表明如果Δt=0.01,則50 000本金的理財(cái)產(chǎn)品ADRY170209A,其自身價(jià)值為38.392 6,其它兩款理財(cái)產(chǎn)品依次類推.

3 結(jié)語(yǔ)

在CEV風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型下,利用有限差分算法研究了觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題.通常的差分算法需要對(duì)空間變量進(jìn)行截?cái)?這里構(gòu)造了一種從交割日T到0時(shí)刻的一種金字塔型格式.該方法對(duì)半有界區(qū)域和有界區(qū)域仍然有效,僅需令超出區(qū)域部分的格式為0.此外，該方法對(duì)其它風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)依然有效,例如隨機(jī)波動(dòng)模型以及隨機(jī)利率模型下的衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題.