第一個重要極限的推廣及應用探析

楊家平

摘 要：limx→0sinxx=1在高等數(shù)學極限知識點中是重要知識點之一，依此主要介紹第一個重要極限的推廣，并且簡單介紹在極限計算、微分學、常數(shù)項級數(shù)等中的應用。

關(guān)鍵詞：第一個重要極限;極限推廣;極限應用

limx→0sinxx=1第一個重要極限在極限中是相當重要的，是可以作為結(jié)論來直接計算極限，此公式要是運用得當，將可以簡化極限計算。對于公式的證明各版本教材中主要利用夾逼定理、拉格朗日中值定理等知識證明過，在此我就不證明了，因為對于高職學生或者在專升本中，還是應用第一重要極限解決實際問題的比較多。

1 第一重要極限的推廣

推廣1：limx→0sinxx=1這是第一個重要極限的最原始表達形式，如果所有的極限計算中都出現(xiàn)這樣最原始的表達式，那是不可能的，我們要思考看變形的情況下也能運用公式，他的本質(zhì)其實是個00形式極限未定式，我們把x不僅看成一個變量，可以把x看作統(tǒng)一符號，其他的變量也可以看成一個代數(shù)式的表達形式，只要保證形式不變，即可以寫成limx→0sinxx=1，對于整個變形有兩點注意：①三個統(tǒng)一，即三個方框里面的表達式都有趨向于無窮小“0”;②保證分式中分子與分母方框中的表達式一致，若表達式不一致，則不能直接運用，因為趨向于0的速度可能不一樣。

推廣2：limx→sinα（x）α（x）=1，即自變量變化過程不管是趨向有限值還是無限值，但是保證分子分母是00未定式，此時等式也成立，例如，limx→∞sin1x1x=1。注意limx→∞sinxx≠1

推廣3：①設limx→x0u（x）=0，limx→x0v（x）=limx→x0u（x）limx→x0h（x），且limx→x0h（x）=a，則，limx→x0[sinu（x）u（x）]=1a。②limx→0sinx1+sinx2+…sinxnx1+x2+…xn=1，（i=1，2…n）

2 第一重要極限的應用

2.1 證明半徑為R圓的面積公式

從知識傳授說，可以進一步檢驗學生對古代割圓術(shù)分析問題、利用第一重要極限簡化函數(shù)運算的掌握程度。同時從數(shù)學史的角度開展課程思政，激發(fā)學生的愛國熱情，尤其在今年新型冠狀病毒肆虐發(fā)展時，我們需要激發(fā)學生的愛國熱情，堅定祖國一定能戰(zhàn)勝病毒的信心。

2.2 求極限中的應用

（1）在一元函數(shù)中的計算應用非常廣泛，因為是比較好的一種快速求極限的方式，下面我舉例說明兩種典型例題：

例1 求limx→2sin（x2-4）x-2極限

解：當x→2時，（x2-4）→0，limx→2sin（x2-4）x-2=limx→2（x+2）×limx2-4→0sin（x2-4）x2-4=4×1=4

例2 求limx→0sin3xx的極限

解：limx→0sin3xx=limx→03×sin3x3x=3limx→0sin3x3x=3×1=3

（2）在多元函數(shù)中計算函數(shù)的極限，多元函數(shù)相對比較復雜，但是其本質(zhì)也還是利用極限定義，本文主要舉例說明在二元函數(shù)中的計算極限

例3 求lim（x，y）→（3，0）sin（xy）y極限

解：設xy=v，則（x，y）以任何方式趨向于（3，0），有v→0，所以lim（x，y）→（3，0）sin（xy）y=lim（x，y）→（3，0）x×sin（xy）xy，lim（x，y）→（3，0）sin（xy）xy=limv→0sinvv=1，lim（x，y）→（3，0）x=3，lim（x，y）→（3，0）x×sin（xy）xy=lim（x，y）→（3，0）x×lim（x，y）→（3，0）sin（xy）xy=3×1=3

在運用第一重要極限計算極限時，需要觀察所給的式子中一般有沒有含有三角函數(shù)的表達式，沒有的話，一般首先不采用第一重要極限的方式來計算。

2.3 在微分學中的應用

有些導數(shù)公式可以使用第一個重要極限進行推導，導數(shù)的定義主要是將函數(shù)變化率的描述，其本質(zhì)是因變量增量與自變量增量之比ΔyΔx的極限值。在導數(shù)計算中，每次都用這個比值的極限來算導數(shù)，相對有點麻煩，所以我們對一些基本函數(shù)可以推導出公式。

例4 設函數(shù)f（x）=cosx，證明導數(shù)公式（cosx）′=-sinx

證明 根據(jù)導數(shù)的定義，f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）Δx=limΔx→0cos（x+Δx）-cosxΔx，觀察式子，我們可以利用三角函數(shù)關(guān)系式之和差化積公式得到：limΔx→0cos（x+Δx）-cosxΔx=-limΔx→01Δx2sin（x+Δx2）sinΔx2=-limΔx→0sin（x+Δx2）sinΔx2Δx2=-limΔx→0sin（x+Δx2）×limΔx→0sinΔx2Δx2=-sinx。即f′（x）=-sinx，等式左邊等于等式右邊，原式得證。同理可證：（sinx）′=cosx

2.4 在常數(shù)項級數(shù)中的應用

例5 判斷級數(shù)∑∞nsin1n的收斂性

解：因為limn→∞sin1n1n=1>0，而級數(shù)∑∞n=11n是發(fā)散的，根據(jù)比較審斂法的極限形式定理，得到∑∞n=1sin1n是發(fā)散的，此題是恰當?shù)倪x取一個已知其收斂性的級數(shù)典型例題。

3 結(jié)論

本文主要給出了第一個重要極限的幾種推廣形式，當然第一個重要極限的推廣形式及其應用不僅就這幾個方面，我們應該需要繼續(xù)探索更多的實際應用，解決實際生活問題，學有所用。

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