含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體帶隙特性

蔡培君, 廖同慶

(1. 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 理工部, 安徽 合肥 230039; 2. 安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

光子晶體是由折射率不同的介質(zhì)周期性排列構(gòu)成的規(guī)則光學(xué)結(jié)構(gòu).這種周期性結(jié)構(gòu)能夠阻斷特定頻率的光子在光子晶體內(nèi)部的運(yùn)動(dòng),使光子晶體表現(xiàn)出帶隙特性[1-2].根據(jù)構(gòu)成光子晶體的材料的空間分布特點(diǎn),可以將光子晶體分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體.一維光子晶體由幾種折射率不同的材料在空間中沿某一個(gè)方向進(jìn)行周期排列構(gòu)成,其在其他方向上的折射率不變.由于其制備簡(jiǎn)單,受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,成為近幾年的研究熱點(diǎn).

目前根據(jù)一維光子晶體的禁帶特性及其缺陷模式的帶隙特性制成的光學(xué)器件已被廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域,如窄帶濾波器、光開關(guān)、傳感器、激光、反射器等[3-7],構(gòu)成這些光學(xué)器件的一維光子晶體基本是由常規(guī)折射率材料(材料的折射率n,介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ均大于零)組成的.負(fù)折射率材料,又稱為左手材料,介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ至少有一個(gè)為負(fù)值,因此光波在左手材料中的傳播特性與在右手材料中傳播特性不同[8-13].所以,在常規(guī)的一維光子晶體中引入負(fù)折射率材料能夠改變其光學(xué)性能,其帶隙特性必隨之而改變[14-15].

本文首先研究了含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的帶隙特性,進(jìn)而分析在一個(gè)禁帶周期中其禁帶寬度加寬的物理機(jī)理,最后分析了構(gòu)成含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的子周期數(shù)、薄膜厚度和相對(duì)折射率差對(duì)其帶隙特性的影響.

1 結(jié)構(gòu)及傳輸矩陣

設(shè)含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體((AB)m1(BA)m2)N由2種折射率不同的材料構(gòu)成,其結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中媒質(zhì)A為右手材料,折射率為n1,媒質(zhì)B為左手材料,折射率為n2,且2種媒質(zhì)的物理厚度分別為d1和d2,則構(gòu)成的一維光子晶體的單個(gè)周期單元的厚度d=d1+d2;設(shè)m1和m2為一維雙周期光子晶體的子周期數(shù),且m1=m2=m,則子周期厚度滿足dm1=dm2=md;N為一維雙周期光子晶體的周期數(shù),設(shè)其總厚度為dN,且滿足

dN=N(dm1+dm2)=2Nmd.

當(dāng)光波垂直入射(入射角θ=0°)到光子晶體左側(cè)時(shí),單層媒質(zhì)的傳輸矩陣為

(1)

式中,δj為光波穿過單層媒質(zhì)時(shí)變化的相位,媒質(zhì)為右手材料時(shí)δj=2πnjdjcosθj/λ;媒質(zhì)為左手材料時(shí)δj=-2πnjdjcosθj/λ.ηj=(ε/μ)1/2cosθj,θj為光波入射到第j層媒質(zhì)的折射角,dj為第j層媒質(zhì)的物理厚度,λ為入射光波長(zhǎng),i為虛數(shù)單位.

圖1 含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of one-dimensional double periodic photonic crystals containing negative refractive index materials

光波經(jīng)過單個(gè)子周期單元AB和單個(gè)子周期單元BA的傳輸矩陣如式(2)、(3)所示:

進(jìn)而可以得到光波經(jīng)過結(jié)構(gòu)為((AB)m1(BA)m2)N的一維雙周期光子晶體的傳輸矩陣為

(4)

根據(jù)式(4)可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)為((AB)m1(BA)m2)N的一維雙周期光子晶體的透射率和反射率分別為

根據(jù)式(5)、式(6),利用傳輸矩陣法可以繪制出含負(fù)折射率材料的結(jié)構(gòu)為((AB)m1(BA)m2)N的一維雙周期光子晶體的透射率曲線和反射率曲線,進(jìn)而研究其帶隙特性.

2 帶隙特性

2.1 禁 帶

分別選取2種構(gòu)成結(jié)構(gòu)為((AB)m1(BA)m2)N的含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體和常規(guī)一維雙周期光子晶體,其折射率如表1所示.

表1 一維雙周期光子晶體材料折射率Table 1 Refractive index of one-dimensional biperiodic photonic crystal materials

設(shè)常規(guī)一維雙周期光子晶體的中心波長(zhǎng)λ0=1 064 nm,子周期數(shù)m=2,周期數(shù)N=10,各層薄膜材料的光學(xué)厚度均滿足1/4中心波長(zhǎng),即n1d1=n2d2=λ0/4.為與常規(guī)一維雙周期光子晶體類比,設(shè)定含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的中心波長(zhǎng)λ0=1 064 nm,子周期數(shù)m=2,周期數(shù)N=10,各層薄膜材料的光學(xué)厚度滿足n1d1=-n2d2=λ0/4.

當(dāng)光波垂直入射到光子晶體表面時(shí),可以得到光子晶體的透射率隨入射光歸一化頻率的變化曲線,如圖2所示.

由圖2可知,含負(fù)折射率媒質(zhì)的一維雙周期光子晶體僅在ω=ω0/2和ω=3ω0/2處出現(xiàn)禁帶,禁帶數(shù)目少于常規(guī)媒質(zhì)構(gòu)成的一維雙周期光子晶體,但禁帶寬度明顯加寬,并且在ω=ω0處出現(xiàn)尖銳的導(dǎo)帶,導(dǎo)帶的半波高寬約為44 nm.

2.2 禁帶加寬的機(jī)理分析

由于含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的單個(gè)子周期中,兩層薄膜厚度滿足n1d1=-n2d2=λ0/4,因此光波通過單個(gè)周期單元時(shí),反射波相對(duì)于入射波的相位差為零,此時(shí)反射波與入射波相長(zhǎng)干涉.即入射波被全部反射,形成禁帶.

根據(jù)布拉格散射定律可知,

(7)

由公式(7)可知,入射光波一定時(shí),光波在單個(gè)周期單元內(nèi)傳播時(shí),反射波與入射波總的相位變化為0.因此光波在整個(gè)光子晶體內(nèi)傳播時(shí),在入射表面,反射波相對(duì)于入射波的相位變化為0,即出現(xiàn)相長(zhǎng)干涉.

圖2 一維光子晶體透射率曲線對(duì)比

Fig.2 Comparison of transmittance curves of one-dimensional photonic crystals

因此在禁帶中心ω=ω0/2和ω=3ω0/2處,反射波在入射面上出現(xiàn)相長(zhǎng)干涉,出現(xiàn)高反帶,因此禁帶特性表現(xiàn)為平整的禁帶;當(dāng)入射光頻率偏離ω0/2和3ω0/2時(shí),此時(shí)法布里-珀羅諧振雖然已經(jīng)開始作用,但是由于相長(zhǎng)干涉的作用,透射率并沒有快速上升,此時(shí)仍表現(xiàn)為平坦的禁帶;隨著入射光頻率的進(jìn)一步增加,法布里-珀羅諧振開始起主導(dǎo)作用,當(dāng)光波垂直入射時(shí),根據(jù)法布里-珀羅諧振相位差公式可知,

ψF-P=(2π/λ)nidi.

(8)

根據(jù)式(8)可得,法布里-珀羅諧振相位差隨著入射光波長(zhǎng)變化而變化,當(dāng)入射光頻率達(dá)到ω=ω0時(shí),此時(shí)在單個(gè)子周期單元內(nèi),法布里-珀羅諧振相位差達(dá)到π的整數(shù)倍,透射率達(dá)到最大值,此處即為導(dǎo)帶中心.

3 帶隙特性的影響因素

3.1 子周期數(shù)對(duì)帶隙特性的影響

取含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的子周期數(shù)m從1～9變化時(shí),分別繪出相應(yīng)的透射率曲線,如圖3所示.

圖3 不同子周期數(shù)含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體透射率Fig.3 The transmittance of one-dimensional biperiodic photonic crystals containing negative refractive index materials with different subperiod numbers

由圖3可知,隨著含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的子周期數(shù)的增加,禁帶中心位置不變,但禁帶寬度逐步增加,在ω=ω0處的透射峰隨子周期數(shù)的增加變得更加尖銳,且當(dāng)m從1～9變化時(shí),透射峰的半波全寬分別為180.02、76.70、34.06、14.90、6.38、2.13、0、0、0 nm,由此可見,隨著子周期數(shù)的增加,透射峰的半波全寬逐步減小,當(dāng)子周期數(shù)達(dá)到7左右時(shí),此時(shí)透射峰的半波全寬為零,而當(dāng)子周期數(shù)進(jìn)一步增加時(shí),透射峰的半波全寬穩(wěn)定在零值,不再隨著子周期數(shù)的增加而變化.

3.2 薄膜厚度對(duì)禁帶特性的影響

設(shè)組成一維雙周期光子晶體的兩種薄膜厚度滿足n1d1=n2d2=αλ0,其中α為薄膜厚度系數(shù),組成含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體的材料的折射率如表1所示,當(dāng)子周期數(shù)m=2,周期數(shù)N=10保持不變,當(dāng)薄膜厚度系數(shù)α分別取1/8、1/4、1/2和1時(shí),光子晶體的透射率曲線如圖4所示.

觀察圖4可以發(fā)現(xiàn),隨著薄膜光學(xué)厚度的成倍增加,在歸一化頻率0～2.0之間導(dǎo)帶仍然為尖銳的透射峰,禁帶平坦, 但帶隙寬度不斷減小,帶隙個(gè)數(shù)成倍增加.此特性,為梳狀濾波器的設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的技術(shù)支撐.

圖4 不同薄膜厚度下的含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體透射率Fig.4 The transmittance of one-dimensional biperiodic photonic crystals in materials with negative refractive index with different film thicknesses

3.3 正負(fù)折射率材料的相對(duì)折射率差對(duì)禁帶的影響

取3組負(fù)折射率不同的材料,材料的相對(duì)折射率見表2.設(shè)定2種媒質(zhì)的薄膜厚度滿足n1d1=n2d2=λ0/4,入射光波長(zhǎng)λ0=1 064 nm,當(dāng)光波垂直入射到光子晶體表面時(shí),3組不同折射率材料組成的一維雙周期光子晶體透射率曲線如圖5所示.

表2 3組不同材料的折射率Table 2 The refractive index of three different groups of materials

圖5 不同折射率差的一維雙周期光子晶體透射率Fig.5 The transmission of one-dimensional biperiodic photonic crystals with different refractive index differences

觀察圖5可以發(fā)現(xiàn),含負(fù)折射率材料的一維雙周期光子晶體和常規(guī)材料構(gòu)成的一維光子晶體一樣, 構(gòu)成光子晶體的媒質(zhì)的相對(duì)折射率差影響了光子禁帶特性.即,當(dāng)構(gòu)成光子晶體的右手材料一定時(shí),隨著人工合成的負(fù)折射率材料的折射率模值的增加,構(gòu)成光子晶體的2種材料的相對(duì)折射率差越大,此時(shí)光子帶隙特性越明顯,且禁帶寬度越大,禁帶越平坦.

4 結(jié) 論

隨著子周期數(shù)和媒質(zhì)的相對(duì)折射率差的增加,光子晶體的帶隙特性愈加明顯,且禁帶寬度不斷增加;薄膜厚度的變化決定了一個(gè)禁帶周期內(nèi)的禁帶個(gè)數(shù),且隨著薄膜厚度的成倍增加,禁帶個(gè)數(shù)也成倍增加.