帶粘性含不活潑項的Cahn-Hilliard方程解的逐點估計

王一平，徐紅梅

(河海大學 理學院, 江蘇 南京210098)

考慮帶粘性的含不活潑項Cahn-Hilliard方程柯西問題解u(x,t)的逐點估計

(1)

此處n是空間維數(shù),n≥4.未知函數(shù)u表示一個相的相對濃度.非線性項Δf(u)中f(u)取成u2.方程(1)去掉utt-Δ?tu,方程為

ut+Δ2u-Δf(u)=0.

(2)

式(2)是經(jīng)典的Cahn-Hilliard方程[1],主要用來描述物理和化學中的二體相變問題.因其豐富的物理背景,近年來關于此方程,有許多的研究成果，參考文獻[2-4].為描述在某些材料(如玻璃)中有深過冷產(chǎn)生的非平衡分解,Galenko[5]提出在式(2)加上不活潑項utt,方程為

utt+ut+Δ2u-Δf(u)=0，

(3)

稱為帶不活潑項的Cahn-Hilliard方程,簡稱為CHI方程.式(3)與半線性(阻尼)波動方程具有許多相似之處,但是,近似序列滿足非常差的緊湊性.特別地,二階項utt僅可以在諸如L1(0,T;X)的空間中被控制,其中X是負階的Sobolev空間,因此處理起來要復雜.為克服不正則化困難增加粘性項Δ?tu,從而增加了方程的耗散性和一些拋物線平滑效果,此即方程(1).

關于式(1)有大量的研究成果.Cavaterra[6]等在文獻中得到了方程(1)在動態(tài)邊界條件下的弱解存在性.Scala[7]等通過先驗估計驗證式(1)中f為奇異函數(shù),在一個光滑的有限域Ω?RN，N≤3時的弱解存在性.筆者在強解存在的基礎上,研究方程解的逐點衰減.逐點衰減估計的優(yōu)點在于能了解方程的解在空間各個點處任意時刻解的衰減情況.采用格林函數(shù)法將微分方程轉化為積分方程,格林函數(shù)在研究雙曲型方程時被廣泛地應用，參考文獻[8-10].

筆者首先對方程(1)的格林函數(shù)進行估計,再用壓縮映射原理證明方程(1)解的存在性,最后對方程(1)進行逐點估計.

1 格林函數(shù)的估計

方程(1)的格林函數(shù)定義如下

(4)

其中，δ(x)為常用的Dirac函數(shù).對式(4)關于變量x作傅里葉變換,得常微分方程

(5)

方程(5)的解為

其中

(6)

所以

(7)

(8)

所以

(9)

(10)

(11)

因為

(12)

由引理2.2[9],式(6)和(7),得

(13)

由引理3.1[8],式(6),(8)和(9),得

(14)

N任意,b>0.

由式(10)和(11)得

(15)

證明因為

所以

(16)

取式(14)中N=2r,得

(17)

取式(13)中N=r,式(15)中N=4r,由式(12)和(16),得

同理得到關于?αx?tG(x,t)的估計.

2 解的存在性

若方程(1)有解,根據(jù)Duhamel’s定理,則解u(x,t)可表示成

(18)

證明由引理2.1[10]

(19)

(20)

(21)

由式(19),(20)和(21)知T是從L∞(0,+∞;H1(Rn))到自身的映射.

由引理2.1[10],得

(22)

由式(21)和(22),定理2得證.

因為L∞(0,+∞;Hl(Rn))是完備度量空間,所以有定理3.

3 逐點估計

證明由引理2.3[9]和定理1,得

(23)

同理可得

(24)

(25)

所以

(26)

由定理1,有

(27)

由引理2.4[9],式(26)和(27)得

(28)

由式(23),(24),(28)和(18)得

所以M(t)≤CE+CM2(t).

由M(t)的連續(xù)性和E充分小,得

M(t)≤C.

(29)

由式(29)和(25),定理4得證.