遇等腰 多思考

陳麗萍

等腰三焦形是特殊的三角形，在三角形的知識(shí)體系中顯得尤其重要。三角形的邊、角等一些知識(shí)點(diǎn)在等腰三角形中得到了升華。而正因?yàn)樗奶厥庑裕谔幚砭唧w問(wèn)題時(shí)又往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，其中主要的錯(cuò)誤之一就是在運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法時(shí)因?yàn)榉诸?lèi)不全而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。

一、邊長(zhǎng)、角度的角色不明確

例1 （1）已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是7cm和9cm，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。

（2）已知等腰三角形的一個(gè)外角等于140°，求這個(gè)等腰三角形各個(gè)角的度數(shù)。

【分析】在第（1）題中，長(zhǎng)7cm邊和長(zhǎng)9cm邊哪條邊是腰，哪條邊是底不明確，所以要進(jìn)行分類(lèi)，而且還要考慮三條線段能不能構(gòu)成三角形。

在第（2）題中，等腰三角形的一個(gè)外角不確定是頂角的外角還是底角的外角，所以也要分類(lèi)討論，而且如果底角不是銳角的話，也不能構(gòu)成三角形。

解：（1）因?yàn)?+7> 9，9+9>7，所以這兩種情況下都能構(gòu)成三角形。

當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm的時(shí)候，周長(zhǎng)為7+7+9=23（cm）;

當(dāng)腰長(zhǎng)為9cm的時(shí)候，周長(zhǎng)為9+9+7=25（cm）。

所以，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是23cm或25cm。

（2）因?yàn)檫@個(gè)外角是140°，所以與它相鄰的內(nèi)角是40°，是一個(gè)銳角，所以可以作底角也可以作頂角。

當(dāng)頂角的外角等于140°時(shí)，頂角就為180°-140°=40°，此時(shí)兩個(gè)底角都為180°-40°/2=70°;

當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔?40°時(shí)，兩個(gè)底角都為180°-140°=40°，此時(shí)頂角就為180°-40°×2=100°。

所以，這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40°，70°，70°或者是100°，40°，40°。

二、線段、角的位置或者關(guān)系不明確

例2 等腰三角形一邊上的高等于另一邊的一半，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。

【分析】一邊上的高位置不明確，是腰上的高還是底邊上的高？另一邊是腰還是底？如果是腰上的高，那么這條高是在三角形的內(nèi)部，還是在三角形的外部？所以要分多種情況來(lái)討論。

解：第一種情況，如圖1。

第二種情況，如圖2。

第三種情況，如圖3。

第四種情況，如圖4。

綜合上述：頂角的度數(shù)是120°或30°或150°。

分類(lèi)討論思想是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)又非常重要的思想。我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先要確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏，再逐類(lèi)進(jìn)行，分級(jí)進(jìn)行;最后歸納小結(jié)得出結(jié)論。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)朱林中學(xué)）