單一斷裂連續(xù)介質(zhì)內(nèi)地震發(fā)生的臨界條件*

劉培玄，李小軍，劉艷瓊

(1.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124；2.中國地震局發(fā)展研究中心，北京 100036；3.中國地震臺(tái)網(wǎng)中心，北京 100045)

0 引言

自古以來關(guān)于地震的起因就有多種說法，諸如地下雷、火山噴發(fā)、可燃性物質(zhì)爆發(fā)燃燒、巖漿劇烈活動(dòng)等?，F(xiàn)在比較常見的地震成因?qū)W說有斷層成因說、巖漿沖擊成因說和相變成因說，其中斷層成因說最為人所重視。

地下巖石受到長期的構(gòu)造作用積累了應(yīng)變能，當(dāng)積累的能量超過一定限度時(shí)，地下巖層突然破裂，形成斷層；或者是沿已有的斷層發(fā)生突然的滑動(dòng)，釋放出很大的能量，其中一部分以地震波的形式傳播出去，形成地表震動(dòng)，即彈性回跳理論(Reid，1910)，這是Reid(1910)研究1906年舊金山大地震發(fā)震斷層(圣安德烈斯斷層)的地表破裂所得到的結(jié)論。

地震描述可以等效為邊值條件下固體內(nèi)部裂紋穩(wěn)定性的力學(xué)問題(Rice，1976；Bigoni，2000)，在遠(yuǎn)場邊界持續(xù)加載過程中，或地幔物質(zhì)移動(dòng)作用下，一定溫度下的巖石圈材料在裂紋處出現(xiàn)局部化變形。在分析域內(nèi)，很多缺陷經(jīng)歷不可逆的生長，如空洞和已有裂紋的匯合、位錯(cuò)傳播、新的缺陷成核；同時(shí)不同類型的缺陷間會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用，促使位錯(cuò)、裂紋快速進(jìn)化、擴(kuò)展，導(dǎo)致域內(nèi)材料逐步劣化；裂紋周圍有限區(qū)域內(nèi)積累的應(yīng)變能突然釋放，促使裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展，彈性回跳產(chǎn)生介質(zhì)振動(dòng)，以波的形式向四周傳播，隨后分析域進(jìn)入調(diào)整期和新的積累期。

邊界應(yīng)力持續(xù)加載是長時(shí)間的過程，失穩(wěn)是瞬時(shí)發(fā)生的。關(guān)于裂紋穩(wěn)定性定義，可歸結(jié)為：裂紋只有在外載荷不斷增加時(shí)，才能持續(xù)擴(kuò)展，如果外載荷保持不變，裂紋就不繼續(xù)擴(kuò)展，則可以認(rèn)為裂紋狀態(tài)是穩(wěn)定的；反之，若在外荷載不變情況下，裂紋持續(xù)加速擴(kuò)展，則該裂紋狀態(tài)為不穩(wěn)定(阿特金森，1992)。

設(shè)分析域中存在勢(shì)函數(shù)Π，在某一平衡狀態(tài)下有一任意小的擾動(dòng)，此勢(shì)函數(shù)獲得一增量△Π，用Taylor級(jí)數(shù)在此平衡位置處展開：

(1)

式中：δΠ=0是平衡狀態(tài)保持穩(wěn)定的充分條件。當(dāng)ΔΠ＞0和δ2Π＞0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)δ2Π＞0時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)δ2Π=0時(shí)，系統(tǒng)處于一個(gè)臨界點(diǎn)，系統(tǒng)有可能穩(wěn)定，也有可能不穩(wěn)定。

按照脆性失穩(wěn)定義，地震發(fā)生是沒有前兆的，但由于人類知識(shí)的非完備性和地震發(fā)生的復(fù)雜性，應(yīng)用GPS觀測裂紋的物理場，聯(lián)合斷裂力學(xué)方法，可以有效評(píng)估滑動(dòng)斷層近期地震的危險(xiǎn)性。本文從能量平衡原理出發(fā)，把地震觸發(fā)過程轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)、力學(xué)中系統(tǒng)發(fā)生局部失穩(wěn)問題，給出分析域內(nèi)局部失穩(wěn)臨界條件。計(jì)算了部分地震發(fā)震斷層的表面自由能，并給出了計(jì)算裂紋能量釋放率方法。

1 地震發(fā)生的臨界條件

(2)

固體本構(gòu)關(guān)系形式為：

(3)

式中：D為介質(zhì)的彈性剛度張量。

圖1 裂紋擴(kuò)展和失穩(wěn)破裂過程模型Fig.1 Model of crack propagation and instability rupture process

在擬靜力加載條件下，建立滿足式(2)和(3)初邊值條件的介質(zhì)出現(xiàn)裂紋擴(kuò)展和裂紋失穩(wěn)破裂過程模型(圖1)，其中包括擬靜力應(yīng)變能積累過程和系統(tǒng)失穩(wěn)的地震過程。

由于裂紋存在，固體內(nèi)部位移場為u=u+[[u]]HS，HS為裂紋處的階躍函數(shù)，裂紋處作用力為φc，相應(yīng)的勢(shì)能原(Washizu，1982)為：

(4)

δΠ=0，即有：

(5)

式(5)左邊前3項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)平衡方程、應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。筆者關(guān)注的是第四項(xiàng)，只有符合裂紋擴(kuò)展條件，即：φc=n[σc(Gc)]，才存在裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展，即：

σ(G)-σc(Gc)=0

(6)

式中：G是裂紋擴(kuò)展的能量釋放率；σ(G)是以G表述的應(yīng)力；Gc是裂紋表面自由能，其值為2Γ；σc(Gc)是以Gc表述的材料破壞應(yīng)力。

式(6)也可以采用應(yīng)力強(qiáng)度因子K和J積分來表述，三者存在確定的關(guān)系，且在擬靜態(tài)過程中等效。需要說明，在經(jīng)典斷裂力學(xué)中，裂紋尖端的應(yīng)力具有奇異性，式(6)中的σ(G)改為G(σ)可能更好理解；但在分子動(dòng)力學(xué)分析中，材料破裂的本質(zhì)是原子鍵的斷裂。

由式(1)知，臨界穩(wěn)定性條件為：

(7)

對(duì)于巖石圈材料，σc(Gc)在裂紋擴(kuò)展過程中有所變化，在均勻脆性材料中，僅當(dāng)δσc(Gc)=0時(shí)，才能與線性斷裂力學(xué)一致；一般地，當(dāng)分析域內(nèi)存在一裂紋時(shí)，不管是基于線性還是非線性斷裂力學(xué)觀點(diǎn)，裂紋尖端存在應(yīng)力集中區(qū)，裂紋附近區(qū)域積累的應(yīng)變能消耗就會(huì)集中在裂紋擴(kuò)展上。

域內(nèi)剛度(式(7)第一項(xiàng))會(huì)從加載階段進(jìn)化為彈性卸載分叉狀態(tài)，即式(7)右邊第一項(xiàng)為0。因此裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：

(8)

把裂紋剖分為有限個(gè)子段Sci，上式轉(zhuǎn)化為：

(9)

當(dāng)子段足夠小，且能識(shí)別裂紋尖端時(shí)，式(8)等價(jià)于：

nδ[σ(G)-σc(Gc)]·δ[[u]]=0

(10)

由式(6)可知：

(11)

(12)

按照斷裂力學(xué)之能量釋放率的定義，無論裂紋擴(kuò)展沿自身平面還是轉(zhuǎn)向，其尖端擴(kuò)展均采用了移動(dòng)坐標(biāo)規(guī)定，即δSc與δ[[u]]反向(李世愚等，2010)。考慮特殊向量δ[[u]]=-g和δSc=h?n，其中，?h≠0，?g≠0,?n∈|n|=1,合并g·h=D，則式(12)變化為：

(13)

特殊情況下，當(dāng)僅考慮3種基本斷裂情況時(shí)，失穩(wěn)擴(kuò)展臨界條件為：

(14)

失穩(wěn)擴(kuò)展條件為：

(15)

由此不難得出，若分析域內(nèi)能量釋放率G與表面自由能Gc線性變化時(shí)，失穩(wěn)擴(kuò)展條件為Gc＞G。在滿足式(15)時(shí)，結(jié)合式(2)可判斷由新生破裂或斷層膠結(jié)后的再次破裂的地震發(fā)生。

2 能量釋放率與裂紋表面自由能

2.1 能量釋放率G

Gi=K2i/E′i,i=1,2,3

(16)

應(yīng)力強(qiáng)度因子K僅與外加荷載形式、擴(kuò)展路徑和巖體裂紋幾何形狀有關(guān)，具體見《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》(中國航空研究院，1981)。但對(duì)巖石介質(zhì)來講，其中的裂紋不僅尖端存在應(yīng)力，在裂紋面也存在著由摩擦律確定的應(yīng)力，再加上巖層變化與缺失、巖體的微觀結(jié)構(gòu)與組構(gòu)、構(gòu)造環(huán)境與自然環(huán)境等因素的影響，得到一段斷裂可靠的應(yīng)力強(qiáng)度因子K也是不易的。

2.2 裂紋表面自由能Gc

表面自由能Gc定義為2Γ，Γ是形成單位裂紋所需的能量。一般應(yīng)用Gc和Kc的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)于3類基本斷裂形式有：

Gci=K2ci/E′i,i=1,2,3

(17)

到目前為止，巖石斷裂韌性Kc試驗(yàn)已使用了許多不同的試件類型及方法，其結(jié)果相差很大，意味著測出的結(jié)果通常不能真正代表材料的性質(zhì)。因此，國際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)(ISRM)測試方法委員會(huì)推薦了試驗(yàn)方法，盡管方法也有上述問題，但仔細(xì)的試件制作、加載條件和測量精度要求，對(duì)定量的比較應(yīng)用還是具有重要意義的。

3 發(fā)震斷裂的表面自由能和能量釋放率估算

3.1 發(fā)震斷裂的表面自由能估算

現(xiàn)今巖石圈內(nèi)的材料是不同時(shí)期的產(chǎn)物，不同地質(zhì)構(gòu)造期內(nèi)主營造力不同，環(huán)境溫度、濕度、壓力不同，材料的結(jié)晶、解理等物理和化學(xué)過程存在差異，致使材料的結(jié)構(gòu)和組構(gòu)不同，造就了不同規(guī)模斷裂、裂隙、裂紋分割巖石圈內(nèi)的不同級(jí)別的塊體。

不同規(guī)模斷裂形成是由熱過程或力學(xué)過程引起的，其擴(kuò)展特性與系統(tǒng)內(nèi)存儲(chǔ)的能量、巖體和裂紋特性相關(guān)。抵抗裂紋擴(kuò)展的表面自由能不僅與裂紋尖端的微觀結(jié)構(gòu)和組構(gòu)特性直接相關(guān)，還與溫度、流體、應(yīng)力腐蝕相關(guān)。在有壓流體作用下，活性物質(zhì)的遷移會(huì)導(dǎo)致裂紋尖端的微觀結(jié)構(gòu)變化；表面自由能除涉及到的機(jī)械能部分外，還有特定環(huán)境下裂紋尖端的塑性功、熱能、化學(xué)反應(yīng)能量等。

因此，得到較可靠的Gc是困難的；但是應(yīng)用已發(fā)生的地震參數(shù)和彈性斷裂力學(xué)可估算Gc。假定一次地震的地表破裂有效長度為L，應(yīng)力降為Δσ，則破裂上位移分布為：

(18)

式中：μ和υ分別為巖石介質(zhì)的剪切模量和泊松比，這里分別取35 GPa和0.25(阿特金森，1992)。

假定地震為中間破裂向兩側(cè)擴(kuò)展，最大位移dmax在斷裂的中心，表面自由能為(阿特金森，1992)：

(19)

采用Mohammadioun和Serva(2001)研究中的地震資料和近年來發(fā)生的典型破壞地震資料(張勇等，2013；Shenetal，2017；申文豪等，2019)，計(jì)算了走滑、逆和正斷裂的Gc，見表1～3。如果考慮地震破裂發(fā)生在地殼淺層，比如巖石圈厚度為50 km的10 km處，那么表中Gc加權(quán)因子為5左右(阿特金森，1992)。由表1可知，走滑斷裂引起的地震表面自由能最大為5.2×107J/m2。由表2可知，逆斷裂引起的地震表面自由能最大為5.4×107J/m2。由表3可知，正斷裂引起的地震表面自由能最大為4.5×107J/m2。

表1 地震震源參數(shù)(走滑斷裂)Tab.1 Earthquake source parameters(strike-slip fault)

續(xù)表1

表2 地震震源參數(shù)(逆斷裂)Tab.2 Earthquake source parameters(reversed fault)

表3 地震震源參數(shù)(正斷裂)Tab.3 Earthquake source parameters(normal fault)

3.2 發(fā)震斷裂的能量釋放率估算

地質(zhì)體內(nèi)裂紋尺度跨越微米到千千米之間，求解發(fā)震斷層(段)的G值，目標(biāo)是分析域內(nèi)裂紋尺度最顯著的幾條。當(dāng)裂紋尺度與分析域尺度之比很小時(shí)，即：相應(yīng)塊體分析域內(nèi)存在一條或多條較短的斷裂時(shí)，可以采用域內(nèi)損傷來處理，得到等效的彈性參數(shù)(寧建國等，2012)。

在分析域內(nèi)，以有限個(gè)跨越斷裂的GPS值和局部構(gòu)造應(yīng)力場方向，對(duì)K進(jìn)行求解。具體的變分原理為：

(20)

式中：α是罰函數(shù)，Π見式(4)，域邊界處的測點(diǎn)GPS觀測值作為位移邊界。

遠(yuǎn)離裂紋的位移采用有限單元標(biāo)準(zhǔn)離散，裂紋尖端采用半解析形函數(shù)，得到計(jì)算域內(nèi)整體有限元格式，求解以上方程得到位移場、應(yīng)變場和K(董玉文，2008)，通過式(16)得到斷裂現(xiàn)階段的G值。

按照脆性失穩(wěn)定義，地震發(fā)生是沒有前兆的，但實(shí)際上地震的孕育和發(fā)生是一個(gè)復(fù)雜的過程，加之對(duì)于地殼介質(zhì)的多相性、斷裂深部幾何構(gòu)造與物理特征、區(qū)域構(gòu)造運(yùn)動(dòng)的非均勻性等的認(rèn)知的非完整性，故不能排除一些地震存在的征兆。

此處不討論地震將要發(fā)生的前兆，而是限定在區(qū)域內(nèi)幾條活動(dòng)斷裂，進(jìn)行長時(shí)間(最好10年以上)的跨斷層GPS觀測(張國安等，2002；王瑞平，潘振生，2009；吳云等，2003)以及應(yīng)變和應(yīng)力實(shí)地測量(陳啟林等，2002；胡衛(wèi)建等，2002；謝富仁等，2005)，量化沿?cái)鄬游灰茍觥?yīng)變場和應(yīng)力場的變化，確定閉鎖范圍的尺度，估算未來發(fā)生地震的震級(jí)；在進(jìn)行長時(shí)間沿?cái)鄬拥目疾鞎r(shí)，尤其要注意裂紋(或閉鎖范圍)尖端的位移變化，比如出現(xiàn)鼓包、凹陷和剪切裂紋等局部現(xiàn)象，當(dāng)局部變形變化劇烈時(shí)，理論分析能量釋放率和斷裂表面自由能之間的關(guān)系，評(píng)估地震發(fā)生的可能性。

4 結(jié)論與討論

本文針對(duì)單一裂紋連續(xù)介質(zhì)內(nèi)地震發(fā)生的臨界條件、能量釋放率與裂紋表面自由能進(jìn)行了理論分析，得到的主要結(jié)論如下：

(1)從能量原理出發(fā)，可把地震觸發(fā)過程視為數(shù)學(xué)、力學(xué)中系統(tǒng)發(fā)生局部失穩(wěn)問題，并推導(dǎo)出分析域內(nèi)局部失穩(wěn)臨界條件為新生破裂或斷層膠結(jié)后的再次破裂，即地震發(fā)生條件。

(2)基于線性斷裂力學(xué)理論，統(tǒng)計(jì)分析了震源參數(shù)較全的一些歷史地震發(fā)震斷層的表面自由能，結(jié)果表明，走滑斷裂、逆斷裂、正斷裂引起的地震表面自由能最大分別為5.2×107J/m2，5.4×107J/m2，4.5×107J/m2。

(3)依據(jù)應(yīng)用勢(shì)能原理，提出了一個(gè)由GPS臺(tái)網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)確定斷裂能量釋放率的計(jì)算公式，為進(jìn)行特定斷裂近期發(fā)生地震的可能性的判定提供了方法。

按照脆性失穩(wěn)定義，地震發(fā)生是沒有前兆的。然而由于對(duì)地殼介質(zhì)、斷裂深部幾何構(gòu)造、區(qū)域構(gòu)造運(yùn)動(dòng)認(rèn)知的非完整性，不能排除一些地震會(huì)存在前兆。通常地震發(fā)生前，發(fā)震斷裂區(qū)域范圍內(nèi)的位移場會(huì)產(chǎn)生變化，尤其在斷裂端部產(chǎn)生諸如鼓包、凹陷和裂紋等局部位移異常，當(dāng)這些異常顯著時(shí)，可由理論分析能量釋放率和斷裂表面自由能之間的關(guān)系，判斷地震發(fā)生的可能性。GPS是位移場觀測的一個(gè)重要工具，它不僅能給出斷層附近的位移場分布，還可以分析閉鎖區(qū)域的范圍和能量積累，這為本文方法的應(yīng)用提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

本文計(jì)算應(yīng)力、裂紋能量釋放率等的方法基于實(shí)驗(yàn)室中得到的材料和巖石力學(xué)原理公式，而實(shí)際中的地表斷層的大規(guī)模運(yùn)動(dòng)、物質(zhì)遷移和地震現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)室中的實(shí)驗(yàn)有著顯著的不同。目前的實(shí)驗(yàn)還無法完全真實(shí)地模擬出真實(shí)地震的應(yīng)力積累和發(fā)生機(jī)制，這也是當(dāng)前地震研究的難點(diǎn)之一。本文理論計(jì)算與實(shí)際的差異除了來自于數(shù)據(jù)來源的可靠性、模型的不確定性等因素之外，實(shí)驗(yàn)中的巖石材料與實(shí)際地殼斷層的本質(zhì)區(qū)別也是重要的因素。因此，本文提出的判定斷層危險(xiǎn)狀態(tài)的方法可以作為一種思路的嘗試，但要形成完整理論體系、真正在實(shí)際地震中得到應(yīng)用，還需要對(duì)模型、公式做大量的改進(jìn)。