一類具有反應(yīng)擴(kuò)散的兩種群競(jìng)爭(zhēng)的雙穩(wěn)定性

陳梅香， 謝溪莊

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識(shí)

在Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型的基礎(chǔ)上,Gilpin等[1-2]通過(guò)對(duì)果蠅的系列實(shí)驗(yàn),得到Gilpin-Ayala競(jìng)爭(zhēng)模型為

(1)

式(1)中：(x1(0)，x2(0))=x0∈R2+.

對(duì)于該模型,有下面4種競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3],取τ1=τ2=0時(shí)):

此外,文獻(xiàn)[4]考慮了具有階段結(jié)構(gòu)和非局部空間效應(yīng)影響的Gilpin-Ayala競(jìng)爭(zhēng)模型的全局穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[5]討論了帶有正反饋?zhàn)饔孟碌腉ilpin-Ayala模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài);文獻(xiàn)[6-9]則研究了該模型的隨機(jī)情形.特別地，Liao等[10]研究了帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Gilpin-Ayala模型,并通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),得到正平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性.受文獻(xiàn)[11-12]關(guān)于單調(diào)半流存在雙穩(wěn)定性的啟發(fā),本文考慮帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)和Neumann邊值的Gilpin-Ayala競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，即

(2)

式(2)中：Ω?Rm(m≥1)是一個(gè)有界的，開(kāi)凸區(qū)域；?Ω是一個(gè)C2+α(α∈(0，1))流形；v是?Ω的單位外法向量；ui(x，t)，i=1，2是種群i在t時(shí)刻x位置的密度；di是種群i的擴(kuò)散系數(shù)；bi是種群i的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；aii是種群i的密度制約參數(shù)，a12和a21是兩種群競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，且假設(shè)θi≥1，i=1，2或θi<1，i=1，2.

2 平衡解的穩(wěn)定性及其證明

Jiang等[11]給出單調(diào)半流和抽象競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性(也稱為“鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)”)理論.假設(shè)X1和X2是分別具有正錐X+1和X+2的兩個(gè)有序的Banach空間,序關(guān)系記為“≤”.令X+=X+1×X+2,則intX+=intX+1×intX+2.記K=X+1×(-X+2),那么,X=X1×X2也是具有正錐K的有序的Banach空間,其中,≤K(

A1) 存在τ>0,使得算子φτ是嚴(yán)格α-contraction,即存在0

A3) ?t>0，φt(Cj)?Cj，j=0，1，2,半流φt在X+上是嚴(yán)格K-monotone,在C0上是嚴(yán)格K-order,且在Ci，i=1，2上是強(qiáng)序保持半流;

引理1(文獻(xiàn)[11]的定理2.4) 假設(shè)C1-半流φt滿足A1)～A4),且φt在intX+上是嚴(yán)格K-monotone,則Γ=X+(B1∪B2)?C0∪{E0}關(guān)于K-order是無(wú)序的,且是余維1的正不變流形，其中,B1，B2分別是E1，E2的吸引域.

引理2(文獻(xiàn)[13]的定理2.3.22) 令(μi，φi(x))，i=0，1，2，…，是在Ω上具有齊次Neumann邊界條件的算子-Δ的特征值和特征函數(shù)，則0=μ0<μ1<μ2<….

證明:對(duì)系統(tǒng)(2)在平衡解做線性化,可得該系統(tǒng)在平衡解的特征方程為

當(dāng)(u，v)=E0=(0，0)時(shí)，系統(tǒng)在E0處的特征方程為(λ+μid1-b1)(λ+μid2-b2)=0.取i=0時(shí)，可以看出該方程有兩個(gè)實(shí)的正根，E0=(0，0)是線性不穩(wěn)定的.

3 雙穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)及其證明