基于線性規(guī)劃的水資源優(yōu)化配置

張志鵬

（河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098）

0 引言

水資源是人類社會(huì)發(fā)展進(jìn)步的物質(zhì)基礎(chǔ)，也是生態(tài)系統(tǒng)維持穩(wěn)定的基石[1]。隨著城市化的快速發(fā)展，城市水資源供需矛盾日益加劇，水資源優(yōu)化配置方面的相關(guān)研究顯得尤為必要[2]。對(duì)水資源配置的優(yōu)化是將水資源的空間存儲(chǔ)位置和分配規(guī)則進(jìn)行調(diào)整，提高水資源整體的利用效率和經(jīng)濟(jì)效益[3]。

針對(duì)水資源的優(yōu)化配置模型，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都進(jìn)行了一定的研究。水資源配置問(wèn)題在20 世紀(jì)40 年代就被提出，最開始被應(yīng)用于解決水資源供需矛盾[4]。在之后的研究過(guò)程中線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃不斷得到應(yīng)用，豐富了水資源優(yōu)化配置的理論。Afza 等[5]針對(duì)巴基斯坦某地區(qū)的灌溉系統(tǒng)建立了線性規(guī)劃模型,并驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性,指出通過(guò)該模型進(jìn)行的水資源分配可較傳統(tǒng)方法所需水量大幅度降低。婁帥等[6]在漳河流域建立水資源優(yōu)化配置的免疫遺傳算法模型,最終確定了最優(yōu)水資源配置方法。佟婧芬[7]基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法對(duì)水資源優(yōu)化配置進(jìn)行研究，得出動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在水資源優(yōu)化配置中應(yīng)用較好,可為同類地區(qū)水資源配置方案設(shè)計(jì)提供參考借鑒。基于上述學(xué)者的研究，本文借助線性規(guī)劃模型對(duì)現(xiàn)有的供水問(wèn)題實(shí)例進(jìn)行求解分析。

1 水資源優(yōu)化配置的涵義

水資源的優(yōu)化配置，包括兩方面的涵義：一方面，在水資源短缺的區(qū)域，是指對(duì)各行業(yè)、各部門之間進(jìn)行合理的用水分配，使用水達(dá)到區(qū)域效益最高，從而保證區(qū)域協(xié)調(diào)、健康的發(fā)展；另一方面，在水資源豐富的區(qū)域，是指對(duì)本區(qū)域內(nèi)的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行宏觀調(diào)控，以充分提高各行業(yè)、各部門對(duì)水資源的利用效率。以上兩個(gè)方面，是水資源優(yōu)化配置作為保障水資源可持續(xù)利用的重要內(nèi)容。

在水資源的系統(tǒng)分析中，要實(shí)現(xiàn)用有限的水資源最大限度的滿足各用水部門的需求，使各用水部門取得最好的經(jīng)濟(jì)效益、社會(huì)效益和環(huán)境效益。這從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)而言，就是指在滿足各種約束條件下，對(duì)水資源系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化處理（求最值的方法），如果這里的目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是線性的，這種最優(yōu)化問(wèn)題就是線性最優(yōu)化，即水資源系統(tǒng)線性規(guī)劃，常用數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃法求解。

2 線性規(guī)劃方法

2.1 線性規(guī)劃簡(jiǎn)介

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、方法較成熟和應(yīng)用最廣泛的一個(gè)分支，它是研究如何合理調(diào)配和有效使用現(xiàn)有的人力、物力等資源，以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)（多、快、好、?。┑囊环N數(shù)學(xué)方法。因此，線性規(guī)劃就是求一組變量（決策變量）的值，使它們滿足一組線性等式或不等式的限制條件（約束條件），并使一個(gè)線性函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）的值最大（或最?。┑姆椒?。線性規(guī)劃建模簡(jiǎn)單，并且有通用的算法（單純形法）和計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行計(jì)算，因此這種方法已廣泛應(yīng)用于資源分配、投資組合、交通運(yùn)輸、生產(chǎn)管理、軍事通訊和營(yíng)養(yǎng)調(diào)配等眾多領(lǐng)域。

2.2 線性規(guī)劃模型

線性規(guī)劃模型的特征是：（1）有一組決策變量；（2）有一組線性約束條件，它們是線性等式或不等式；（3）有一個(gè)確定的目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)可以表示成決策變量的線性函數(shù)，根據(jù)問(wèn)題的不同，有的需求最大值，有的需求最小值。由此可見，一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，必須含有三個(gè)要素：決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

因此，建立線性規(guī)劃模型的步驟為：

（1）根據(jù)所要達(dá)到的目的找到?jīng)Q策變量，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示它們；

（2）由決策變量所受的限制條件，確定決策變量所要滿足的約束條件（線性方程或線性不等式）；

（3）根據(jù)所要達(dá)到的目的和決策變量，列出關(guān)于決策變量的線性目標(biāo)函數(shù)。

線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型可表示如下：

求解線性規(guī)劃問(wèn)題的方法有圖解法和單純形法，單純形法是求解線性規(guī)劃問(wèn)題的基本方法。

3 線性規(guī)劃模型在水資源優(yōu)化配置中的應(yīng)用

3.1 利用線性規(guī)劃求解輸水費(fèi)用最小問(wèn)題

甲、乙兩個(gè)水廠向某城市輸送生活、農(nóng)業(yè)和工業(yè)用水，甲水廠的月供水量400 萬(wàn)m3，乙水廠的月供水量780 萬(wàn)m3，該城市生活用水的月需求量不低于200 萬(wàn)m3，農(nóng)業(yè)用水的月需求量不低于450 萬(wàn)m3，工業(yè)用水的月需求量不低于400 萬(wàn)m3。由于各種用水的輸水距離和輸水條件不同，故輸水費(fèi)用也不同，甲水廠的生活用水的輸水費(fèi)用為6 千元/萬(wàn)m3，農(nóng)業(yè)用水的輸水費(fèi)用為3 千元/萬(wàn)m3，工業(yè)用水的輸水費(fèi)用為5 千元/萬(wàn)m3；乙水廠的生活用水的輸水費(fèi)用為5 千元/萬(wàn)m3，農(nóng)業(yè)用水的輸水費(fèi)用為9 千元/萬(wàn)m3，工業(yè)用水的輸水費(fèi)用為6 千元/萬(wàn)m3。試設(shè)計(jì)在滿足各種用水需要的條件下，月輸水費(fèi)用最小的方案。

為了使問(wèn)題更加清晰，將上面的水資源優(yōu)化問(wèn)題用表格的形式展現(xiàn)，具體內(nèi)容見表1。

表1 供水信息表

針對(duì)上面的月輸水費(fèi)用最小問(wèn)題，建立的數(shù)學(xué)模型如下：

設(shè)甲水廠向該城市輸送生活、農(nóng)業(yè)和工業(yè)用水的月供水量為x11，x12，x13，乙水廠向該城市輸送生活、農(nóng)業(yè)和工業(yè)用水的月供水量為x21，x22，x23，以x11，x12，x13，x21，x22，x23為決策變量。

（1）目標(biāo)函數(shù)的確定

求月輸水費(fèi)用最小的方案應(yīng)選月輸水費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù)，即minZ=6x11+3x12+5x13+5x21+9x22+6x23。

（2）約束條件的確定

并滿足各種用水的月需水量要求，即：

且各水廠的月供水量應(yīng)小于或等于水廠的月供水能力，即：

水廠向各區(qū)供水量應(yīng)大于或等于0，即：

使用求解線性規(guī)劃問(wèn)題，得到：

這時(shí)候得到輸水費(fèi)用最小，為5650 元/萬(wàn)m3。

3.2 利用線性規(guī)劃求解供水效益最大問(wèn)題

某庫(kù)區(qū)年供水能力為6500 萬(wàn)m3，其任務(wù)是向A、B、C 三農(nóng)業(yè)區(qū)灌溉供水，因?yàn)閹?kù)區(qū)距離各農(nóng)業(yè)區(qū)的輸水距離不同，庫(kù)區(qū)對(duì)各農(nóng)業(yè)區(qū)的輸水條件也不同，所以庫(kù)區(qū)向不同的農(nóng)業(yè)區(qū)供水的成本和價(jià)格不一樣，故供水的利潤(rùn)也不一樣。各農(nóng)業(yè)區(qū)的年需水量、供水的水價(jià)、水廠的供水成本、最小供水量見表2。試設(shè)計(jì)最佳供水方案，使得在滿足各農(nóng)業(yè)區(qū)需水的條件下，該庫(kù)區(qū)的供水效益最大。

為了使問(wèn)題更加清晰，我們將上面的水資源優(yōu)化問(wèn)題用表格的形式展現(xiàn)，具體內(nèi)容見表2。

表2 供水信息表

針對(duì)上面的月輸水費(fèi)用最小問(wèn)題，建立的數(shù)學(xué)模型如下：

A、B、C 三農(nóng)業(yè)區(qū)的年需水量為決策變量，設(shè)為x1，x2，x3。

（1）目標(biāo)函數(shù)的確定

根據(jù)三農(nóng)業(yè)區(qū)的年需水量要求以及水價(jià)和成本來(lái)確定最優(yōu)分配方案，可確定供水效益最大為目標(biāo)函數(shù)，即maxZ=（2.8-1.5）x1+（0.6-0.25）x2+（2.0-0.6）x3。

（2）約束條件的確定

三農(nóng)業(yè)區(qū)的年總需水量應(yīng)小于等于水廠年總供水量，即：x1+x2+x3≤6500；

三農(nóng)業(yè)區(qū)的最大需水量限制為：x1≤3000；x2≤5000，x3≤1000；

三農(nóng)業(yè)區(qū)的最小需水量應(yīng)大于等于0：x1≥0，x2≥0，x3≥0。

利用Microsoft Excel 規(guī)劃求解工具進(jìn)行求解，可求得供水效益最大為5700 萬(wàn)元，達(dá)到最大效益時(shí)，A、B、C 三區(qū)的年需水量分別為：x1=2500 萬(wàn)m3，x2=3000 萬(wàn)m3，x3=1000 萬(wàn)m3。

4 結(jié)論

（1）通過(guò)水資源優(yōu)化配置的介紹和基于線性規(guī)劃模型優(yōu)化配置水資源實(shí)例分析得出：利用線性規(guī)劃法處理水資源優(yōu)化配置問(wèn)題，建模過(guò)程簡(jiǎn)單，求解過(guò)程容易，能大大的簡(jiǎn)化水資源配置問(wèn)題。

（2）線性規(guī)劃模型只能解決較為清晰簡(jiǎn)單的目標(biāo)問(wèn)題。如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中存在非線性方程或存在多目標(biāo)間相互矛盾，往往還需要結(jié)合非線性規(guī)劃法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等方法，存在一定的局限性。

（3）水資源優(yōu)化配置的基本理論和方法有很多種，但在實(shí)際的問(wèn)題解決上，要選用最適合的方法進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題分析。這樣可以最大限度的實(shí)現(xiàn)水資源的優(yōu)化配置，最大限度的利用有限的水資源。