零和自由半環(huán)上的e－可逆矩陣

趙曉璐　邵勇

摘要：文中研究了交換的零和自由半環(huán)上的e－可逆矩陣。通過e－可逆矩陣所具有的性質(zhì)，給出了e－可逆矩陣的等價刻畫。借助e－可逆矩陣、e－可逆對角矩陣及置換矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了e－可逆矩陣半群的一個確定的極大子群的半直積分解。

關(guān)鍵詞：零和自由半環(huán);e－可逆矩陣;極大子群;半直積

中圖分類號：O151.21

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－014

e－invertible matrices over zerosumfree semirings

ZHAO Xiaolu， SHAO Yong

Abstract： In this paper， the e－invertible matrices over commutative zerosumfree semirings are studied. Through the properties of e－invertible matrices， the equivalent characterizations of e－invertible matrices are given. The semidirect product decomposition of a certain maximal subgroup of the e－invertible matrix semigroup is given by investigating the internal relation among e－invertible matrices， e－invertible diagonal matrices and permutation matrices.

Key words： zerosumfree semiring; e－invertible matrix; matrix semigroup; semidirect product

眾所周知，布爾代數(shù)、模糊代數(shù)、分配格、坡等都是交換的零和自由半環(huán)。從20世紀(jì)50年代開始，很多學(xué)者都致力于零和自由半環(huán)上可逆矩陣的研究。1952年，Luce［1］討論了至少含有兩個元素的布爾代數(shù)上的矩陣，證明了矩陣是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣;1988年，Zhao［2］證明了模糊代數(shù)上的矩陣是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)它是置換矩陣;1991年，Zhao［3］得到了分配格上矩陣可逆的充要條件;2004年，Han［4］等給出了坡矩陣可逆的等價刻畫;2007年，Tan［5］研究了交換的零和自由半環(huán)上的可逆矩陣，得到了矩陣可逆的充要條件。2018年，Zhang 和Shao［6-7］將可逆矩陣的概念進(jìn)行了推廣，給出了半環(huán)上e－可逆矩陣的定義，并且研究了交換半環(huán)上e－可逆矩陣，給出其等價刻畫。本文主要研究交換的零和自由半環(huán)上的e－可逆矩陣，給出交換的零和自由半環(huán)上e－可逆矩陣的一些等價刻畫和e－可逆矩陣半群的極大子群中元素的基本形式，進(jìn)一步得到極大子群的結(jié)構(gòu)。

1 預(yù)備知識

本節(jié)將給出文中要用到的定義以及e－可逆矩陣的相關(guān)引理。

參考文獻(xiàn)：

［1］LUCE R D.A note on Boolean matrix theory［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 1952， 3（3）：382－388.

［2］趙飏. 模糊矩陣的逆［J］.遼寧教育學(xué)院學(xué)報， 1998，15（5）：37－37.

ZHAO Y.Inverse of fuzzy matrix［J］. Journal of Liaoning Educational Institute， 1998， 15（5）：37－37.

［3］ZHAO C K.Invertible conditions for a matrix over distributive lattice［J］.Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Neimongol， 1991， 22（4）：477－480.

［4］HAN S C， LI H X. Invertible incline matrices and Cramer′s rule over inclines［J］. Linear Algebra and its Applications， 2004，389：121－138.

［5］TAN Y J. On invertible matrices over antirings［J］.Linear Algebra and its Applications，2007，423（2/3）：428－444.

［6］張麗霞， 邵勇.關(guān)于交換半環(huán)上一類矩陣的研究 ［J］.計算機工程與應(yīng)用， 2017， 53（20）：56－60.

ZHANG L X， SHAO Y. Study on a class of matrices over commutative semirings［J］. Computer Engineering and Applications， 2017，53（20）： 56－60.

［7］ZHANG L X，SHAO Y.e－invertible matrices over commutative semirings［J］.Indian Journal of Pure and Applied Mathematics， 2018， 49（2）：227－238.

［8］GOLAN J S. Semirings and their Applications ［M］.London：Kluwer Academic Publishers， 1999.

［9］VECHTOMOV E M. Two general structure theorems on submodules， Abelian Groups and Modules［J］. Tomsk State University，2000， 15：17－23.

［10］REUTENAUER C， STRAUBING H. Inversion of matrices over a commutative semiring ［J］. Journal of Algebra， 1984， 88（2）：350－360.

［11］DOLZAN D， OBLAK P. Invertible and nilpotent matrices over antirings ［J］. Linear Algebra and its Applications， 2009， 430（1）：271－278.

［12］TAN Y J. On invertible matrices over commutative semirings ［J］. Linear and Multilinear Algebra，2013，61（6）：710－724.

［13］SIRASUNTORN N， UDOMSUB N.Inversion of matrices over Boolean semirings ［J］.Thai Journal of Mathematics， 2009， 7（1）：105－113.

［14］MORA W， WASANAWICHIT A， KEMPRASIT Y. Invertible matrices over idempotent semirings［J］.Chamchuri Journal of Mathematics， 2009， 1（2）：55－61.

［15］SOMBATBORIBOON S， MORA W， KEMPRASIT Y. Some results concerning invertible matrices over semirings［J］.Science Asia， 2011，37（2）：130－135.

［16］SARARNRAKSKUL R I， SOMBATBORIBOON S， LERTWICHITSILP P. Invertible matrix over semifields ［J］.East－West Journal of Mathematics， 2010， 12（1）： 85－91.

［17］楊陽， 任苗苗， 邵勇. 保持ai－半環(huán)上矩陣的Moore－Penrose逆的線性算子［J］.計算機工程與應(yīng)用， 2015，51（8）：37－41.

YANG Y， REN M M， SHAO Y.Linear operators preserving Moore－Penrose inverses of matrices over ai－semirings［J］. Computer Engineering and Applications， 2015， 51（8）： 37－41.

［18］陳艷平， 譚宜家.關(guān)于半環(huán)上矩陣的廣義逆［J］.福州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，35（6）：797－801.

CHEN Y P， TAN Y J. On the generalized inverse of matrices over a semiring［J］. Journal of Fuzhou University（Natural Science Edition），2007，35（6）：797－801.

［19］尹嬌嬌， 邵勇， 韓金.反環(huán)上的e－可逆矩陣 ［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2019， 54（10）：6－12.

YIN J J， SHAO Y， HAN J. e－invertible matrix over antirings［J］. Journal of Shandong University（Natural Science）， 2019， 54（10）：6－12.

［20］張后俊， 儲茂權(quán).交換半環(huán)上半線性空間的維數(shù)［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2015， 50（6）：45－52.

ZHANG H J， CHU M Q. Dimensions of semilinear spaces over commutative semirings［J］.Journal of Shandong University（Natural Science）， 2015， 50（6）： 45－52.

［21］ALPERIN J L， BELL R B. Groups and Representations［M］. New York： Springer－Verlag， 1995.

（編 輯 張 歡）

收稿日期：2020－02－18

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11971383，11801239）

作者簡介：趙曉璐，女，河南焦作人，從事半環(huán)代數(shù)理論的研究。

通信作者：邵勇，男，陜西戶縣人，教授，從事半環(huán)代數(shù)理論的研究。