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      新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)微課題研究
      ———不等式恒成立問題的解題策略

      2020-04-29 14:03:08
      數(shù)理化解題研究 2020年12期
      關(guān)鍵詞:參變量單元測試正確率

      成 亮

      (江蘇省南京市寧海中學(xué) 210024)

      研究背景微課題研究是一種當(dāng)下熱門的數(shù)學(xué)問題的研究形式,恰逢新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布,不禁讓筆者思考:新課標(biāo)下哪些內(nèi)容可以設(shè)計成微課,最終能否形成符合新課標(biāo)的校本微課程?筆者所教的是一所省重點高中的高二年級理科班,在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)這一章后,通過智學(xué)網(wǎng)進(jìn)行了一次單元測試,測試結(jié)果如圖:

      可以看出,正確率低于百分之八十的問題就有不等式恒成立,為了突破此難點問題,筆者設(shè)計了一節(jié)微課,錄制成一節(jié)微課視頻,讓學(xué)生通過30分鐘自主學(xué)習(xí),最后15分鐘進(jìn)行同題型智學(xué)網(wǎng)當(dāng)堂檢測.

      一、參變量分離解決不等式恒成立問題

      參變量分離,即將不等式進(jìn)行等價變形,將參數(shù)與變量完全分離開來,形成以下四種形式之一:

      ①?x∈A,t≥f(x);②?x∈A,t>f(x);③?x∈A,t≤f(x);④?x∈A,t

      例1若不等式lnx≤tx,對?x∈(0,+∞)恒成立,則t的范圍為____.

      分析此題是不等式恒成立問題,首先采取參變量分離解決.

      當(dāng)不等式能夠參變量分離時,參變量分離是解決不等式恒成立問題的首選方法.

      二、構(gòu)建含參函數(shù)解決不等式恒成立問題

      當(dāng)不等式中參數(shù)與變量沒辦法完全分離時,我們往往需要轉(zhuǎn)變思路去構(gòu)建含參的函數(shù),形式如下:?x∈A,f(x)>0或?x∈A,f(x)≥0,其中f(x)是含參的函數(shù),對參數(shù)分類討論,只要f(x)min>0或f(x)min≥0即可.

      例2若不等式x-t2≥tlnx,對?x∈[1,+∞)恒成立,則t的范圍為____.

      分析此題參數(shù)t與變量x不能夠完全分離開來,故將不等式移項x-t2-tlnx≥0,構(gòu)建含參數(shù)t的函數(shù)f(x),對t進(jìn)行分類討論,使得f(x)min≥0即可

      (1)當(dāng)t≤1時,f′(x)>0,則f(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=1-t2≥0,所以t∈[-1,1].

      (2)當(dāng)t>1時,當(dāng)x∈(1,t),f′(x)<0,f(x)在(1,t)上單減,當(dāng)x∈(t,+∞),f′(x)>0,f(x)在(t,+∞)上單增,f(x)min=f(t)=t-t2-tlnt<0與題意矛盾.

      綜上t∈[-1,1]

      三、能參變量分離,但最值處無意義時的兩種處理方法

      分析此題時不等式恒成立問題,首先考慮參變量分離,不妨試一下.

      處理方法一 :用洛必達(dá)法則求極限

      處理方法二 :轉(zhuǎn)變思路構(gòu)建含參的函數(shù)進(jìn)行分類討論求最值

      綜上:a≥1.

      本節(jié)課在學(xué)生學(xué)完后隨即用以下四道選擇題進(jìn)行了學(xué)習(xí)效果的檢測:

      1.已知不等式ex≥ax對任意的x∈[0,+∞)恒成立,則a的取值范圍為( ).

      A.(-∞,e) B.(-∞,e]

      C. (-∞,1) D.(-∞,1]

      A.[2,+∞) B.(-∞,2]

      C. (2,+∞) D.[2,+∞)

      4.函數(shù)f(x)=a(x2-1)-lnx,若f(x)≥0對任意x∈[1,+∞)恒成立,則a的取值范圍為( ).

      A.[0,+∞) B.[1,+∞)

      這四道題題型與單元測試一樣,其中第1,2,3三題難度與單元測試中的題難度系數(shù)相當(dāng),第4題比單元測試中難度要大很多,在此前提下得如下結(jié)果:

      從此圖可以看出經(jīng)過半小時的微課學(xué)習(xí),正確率有所提升,由于微課學(xué)生課后還可以反復(fù)觀看學(xué)習(xí),相信正確率的百分比會提高更多.

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