賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的弱局部完全k-凸性

段麗芬，莊彩彩，陳洪亮

1987年，南朝勛和王建華［1］引進(jìn)了弱局部完全k-凸的概念.設(shè)k≥2 為正整數(shù)，X是Banach空間，如果x0∈S(X)，{xn}?X,對于{ }xn的任意子列蘊(yùn)含xn→w x(n→∞)，稱X是弱局部完全k-凸（WLKR）的.1998年，宋力巖和張?jiān)品澹?］得到了賦Luxemburg 范數(shù)和Orlicz 范數(shù)的Orlicz 函數(shù)空間弱局部完全k-凸（WLKR）的條件.本文給出賦廣義Orlicz 范數(shù)Orlicz 函數(shù)空間弱局部完全k-凸（WLKR）的判別準(zhǔn)則.

1 定義及符號

定義1［3］若M是滿足u=0 ?M(u)=0 的非負(fù)連續(xù)凸偶函數(shù)，則稱映射M:R→[0,∞)為

設(shè)(G,Σ,μ)為一有限無原子測度空間，G上的所有可測實(shí)函數(shù)全體用L0表示.稱ρM(x)=∫G M(x(t))dt，x∈L0為x關(guān)于M的模.

關(guān)于Orlicz范數(shù)

Luxemburg范數(shù)

及廣義Orlicz范數(shù)

均成為Banach空間［4］.在廣義Orlicz范數(shù)下，簡記

在Orlicz 函數(shù)空間中，“M∈Δ2”表示M(u)對較大的u滿足Δ2條件，即存在K＞2 和u0≥0，使M(2u)≤KM(u)(u≥u0).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)M是N-函數(shù)，則對任何1 ＜p＜∞，LM,p弱局部完全k-凸（k≥2 為正整數(shù)）的充要條件是M∈Δ2??2且M嚴(yán)格凸.

證明 由文獻(xiàn)［2］中的定理1和文獻(xiàn)［5］中的定理2，充分性直得.下證必要性.

首先證明M∈Δ2.若不然，設(shè)z(t)∈LM,pEM,p，則存在奇異泛函φ，φ(z)≠0.對x0(t)∈S(LM,p) ，取D＞0 ，使具有正測度.記，則μGn→0(n→∞).取k0滿足

令

則

其中：ns=min{n1,n2,…,nk},有

其次證明M∈?2.不失一般性，設(shè)x0(t)∈S(LM,p)，x0(t)≥0. 因M∈Δ2，存 在y0 ∈，使得取利用積分的絕對連續(xù)性，

若M??2，則存在un↑∞，滿足取，則令

n=1,2,…，則yn(t)→y0(t)(a.e.,n→∞) ，進(jìn)而因?yàn)?/p>

故

最后證明M(u)嚴(yán)格凸.若不然，存在u0?SM，不妨設(shè)M(u)=Au+B,u∈[u0-ε,u0+ε].取E1?G，使 得0 ＜μE1＜μG且M(u0)μE1≤1,

這樣可選E2?GE1，滿足

令

則

所以

將E1分成互不相交的兩部分G1,G2,使得令

則

故

注意到

易得

從而

取LM,p上的有界線性泛函y(t)=-χG1(t)+χG2(t),有