新弱化緩沖算子的構(gòu)造及其優(yōu)化

王 安,楊 雨，惠志昊，甘榮浩

(1.平頂山學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 平頂山 467036；2.平頂山學院 計算機學院，河南 平頂山 467036)

灰色預測模型是通過對樣本數(shù)據(jù)的挖掘，構(gòu)造累加序列，利用微分方程的差分近似建立起來的數(shù)學模型.自鄧聚龍教授建立灰色理論以來，灰色理論迅速在很多領(lǐng)域得到應用，成功地解決了大量的預測問題.灰色預測模型與其他預測模型的不同之處在于對樣本數(shù)據(jù)的要求和處理不同，一個平穩(wěn)的時間序列，灰色預測模模型很容易得到高精度的預測結(jié)果.如果平穩(wěn)的時間序列受到某種干擾，可能預測結(jié)果的誤差較大.因此如何減弱沖擊干擾的影響，挖掘事物內(nèi)部發(fā)展的規(guī)律，是人們研究的一個重要問題.

弱化算子可以減弱沖擊干擾的影響，很快在多個領(lǐng)域得到了應用[1-3]，并出現(xiàn)了很多的改進形式[4-7].但是傳統(tǒng)的弱化算子大多是固定結(jié)構(gòu)的，利用優(yōu)化的弱化算子預測的文獻還不多見.筆者基于微積分的思想和微分的不同差分格式，構(gòu)造了一種新的弱化算子，根據(jù)最小二乘法原理給出了最優(yōu)弱化算子的計算方法.

1 灰色系統(tǒng)的一些基本理論

公理1[8](不動點公理)若X={x(1),x(2),…,x(n)}為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,XD={x(1)d,x(2)d,…,x(n)d}為序列算子,則D滿足x(n)d=x(n).

不動點公理限定在序列算子作用下,系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)x(n)保持不變,即用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進行調(diào)整時,不會改變x(n).

公理2[8](信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每個數(shù)據(jù)x(n)都應充分參與算子作用的全過程.

信息充分利用公理限定任何序列算子都應以現(xiàn)有序列中的信息為基礎(chǔ)進行定義,不允許拋開原始數(shù)據(jù)序列.

公理3[8](解析化、規(guī)范化公理)任意的x(k)d都可由一個統(tǒng)一的x(i)初等解析式表達.

定理1[8]X={x(1),x(2),…,x(n)},XD={x(1)d,x(2)d,…,x(n)d}分別為單調(diào)遞增長序列和緩沖序列，有：D為弱化算子?x(k)d≥x(k),k=1,2,…,n，D為強化算子?x(k)d≤x(k),k=1,2,…,n.

定理2[8]X={x(1),x(2),…,x(n)}，XD={x(1)d,x(2)d,…,x(n)d}分別為單調(diào)遞衰減序列和緩沖序列，有：D為弱化算子?x(k)d≤x(k),k=1,2,…,n,D為強化算子?x(k)d≥x(k),k=1,2,…,n.

(1)

方程(2)稱為GM(1,1)模型的時間響應函數(shù):

(2)

(3)

由上述定義可知，GM(1,1)模型是對數(shù)據(jù)累加序列呈指數(shù)增長的近似模擬，會有好的預測結(jié)果.但是在自然界中，很多研究對象并不是累加呈指數(shù)增長的，所以導致預測誤差太大.基于此，筆者構(gòu)造了一類新的弱化算子，通過弱化算子的作用，改進GM(1,1)模型的預測效果.

2 一類新的弱化算子的構(gòu)造

定理4 設(shè)X={x(1),x(2),…,x(n)}為非負原始數(shù)據(jù)，其緩沖算子XD1={x(1)d1,x(2)d1,…,x(n)d1}，其中：x(k)d1=λx(k)+(1-λ)x(k+1),λ∈[0,1]，k=1,2,…,n-1,x(n)d1=x(n).則當X為增長序列、衰減序列或震蕩序列時，緩沖算子XD為弱化算子.

證明易證D1滿足緩沖算子三公理，因而D1為緩沖算子.

當X為增長序列時，由于x(k)d1=λx(k)+(1-λ)x(k+1)≥(λ+(1-λ))x(k)=x(k)，則有X(k)d1≥x(k)，所以當X為增長序列時，D為弱化算子.

同理可證當X為衰減序列時，D為弱化算子.

當X為震蕩序列時，設(shè)x(i)=max{x(k)|k=1,2,…,n}，由于x(i)d1=λx(i)+(1-λ)x(i+1)≤λx(i)+(1-λ)x(i)=x(i)，則有x(i)d1≤x(i)，所以

設(shè)x(j)=min{x(k)|k=1,2,…,n}.由于

x(j)d1=λx(j)+(1-λ)x(j+1)≤λx(j)+(1-λ)x(j)=x(j)，x(j)d1≤x(j)，

所以當X為震蕩序列時，D為弱化算子.

3 最優(yōu)弱化算子的確定

由導數(shù)的定義知

(4)

這種新的差分格式正是我們構(gòu)造的新的弱化算子.

于是,經(jīng)過弱化算子作用后的GM(1,1)模型如下：

λx(0)(t)+(1-λ)x(0)(t+1)+az(1)(t)=b,t=2,3,…,n,….

(5)

其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量，λ為弱化算子的優(yōu)化參數(shù).

記u=[a,b,λ]T，Y=[x(0)(3),x(0)(4),…,x(0)(n)]T，

則弱化算子作用后的GM(1,1)模型可表示為:

Y=Bu.

(6)

其中，

令J(u)=(Y-Bu)T(Y-Bu),則

利用最小二乘法，使得J(u)=(Y-Bu)T(Y-Bu)取得最小值，則有

得到參數(shù)的最優(yōu)估計：

(7)

(8)

最優(yōu)弱化算子模型的時間響應函數(shù)為：

(9)

利用

(10)

得到預測值序列：

(11)

4 模型檢驗

利用平均絕對誤差檢驗模型的準確性，其定義如下：

(12)

利用平均絕對誤差檢驗模型的模型精度，常用的模型精度等級檢驗表[10]如表1所示.

表1 模型精度等級檢驗表

k時刻的相對誤差,其定義如下[11]：

(13)

5 算例分析

根據(jù)2016年中國統(tǒng)計年鑒中中國能源生產(chǎn)總量和消費總量數(shù)據(jù)，用MATLAB做出中國2001—2015年期間能源總量生產(chǎn)和消費趨勢圖，如圖1所示.

圖1 2011—2015年中國能源生產(chǎn)總量 和能源消費總量變化趨勢

由圖1可知，中國能源生產(chǎn)總量和消費總量在2001—2015年期間呈逐年增長趨勢，中國能源生產(chǎn)總量增長的速度低于中國能源消費增長的速度，并且兩者之間的差距越來越大，這說明中國能源消費的自給能力越來越差.

圖2 2012—2015年中國能源生產(chǎn)總量的真實值與 GM(1,1)模型和最優(yōu)弱化算子模型預測值對比

圖3 中國能源生產(chǎn)總量GM(1,1)模型和 最優(yōu)弱化算子模型預測值的相對誤差對比

圖4 2012—2015年中國能源消費總量的真實值與 GM(1,1)模型和最優(yōu)弱化算子模型預測值對比

6 結(jié)論

筆者構(gòu)造了一種新的弱化算子，并給出給予最小二乘法的最優(yōu)弱化算子求解辦法，通過算例發(fā)現(xiàn)，相對于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型，最優(yōu)弱化算子模型的預測結(jié)果與真實數(shù)據(jù)更接近，精度明顯提高，該方法是對GM(1,1) 模型的拓展．對解決各個領(lǐng)域中普遍存在的灰色累加序列非指數(shù)增長的建模擬合和預測問題具有廣泛的應用價值．

圖5 中國能源消費總量GM(1,1)模型和 最優(yōu)弱化算子模型預測值的相對誤差對比