廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

于姍姍

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034)

0 引言

時滯現(xiàn)象在實(shí)際系統(tǒng)中是普遍存在的，時滯的存在通常會造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，影響系統(tǒng)的整體性能.在各類工業(yè)系統(tǒng)中都含有時滯，例如:渦輪噴氣式飛機(jī)、核反應(yīng)堆、輪船定向儀、無損耗傳輸系統(tǒng)等.時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究取得了大量研究成果[1-8].

廣義系統(tǒng)是一類形式更一般化，比正常系統(tǒng)更具有廣泛形式和應(yīng)用背景的動力系統(tǒng)[9-15].20世紀(jì)70年代廣義系統(tǒng)的理論被提出，許多正常系統(tǒng)的結(jié)論被相繼地推廣到廣義系統(tǒng)中.系統(tǒng)奇異矩陣的存在會使系統(tǒng)產(chǎn)生脈沖，可能造成系統(tǒng)瞬間崩潰，這是研究廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性必須考慮的問題.因此，研究連續(xù)廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先要保證系統(tǒng)的正則性和無脈沖性，再考慮穩(wěn)定性.

通過適當(dāng)?shù)哪Ｐ妥儞Q，利用中立系統(tǒng)變換方法來處理廣義時滯系統(tǒng)，為求得廣義時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性提供了新方法[12-14].文獻(xiàn)[12-13]提出將廣義時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為中立時滯系統(tǒng)，進(jìn)而研究了廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.文獻(xiàn)[14]也通過此模型變換，利用自由矩陣積分不等式，處理了廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，減小了結(jié)果的保守性.

在研究時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的過程中，較為常用的方法是L-K泛函法，比如引入三重積分項(xiàng)到L-K泛函[12-13]、增廣的L-K泛函[14-15]等.在處理泛函產(chǎn)生的積分項(xiàng)上，應(yīng)用積分不等式方法較為廣泛，對于處理泛函導(dǎo)數(shù)中的一重積分項(xiàng)，由Jensen積分不等式[1]發(fā)展到了Wirtinger積分不等式[2]，輔助函數(shù)積分不等式[3]，進(jìn)而又用到B-L積分不等式[4].與前3個積分不等式相比，B-L積分不等式的保守性更小，具體說明見文獻(xiàn)[4].

筆者通過中立模型轉(zhuǎn)換法，將廣義時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的中立時滯系統(tǒng).提出增廣的L-K泛函，然后對泛函求導(dǎo)，利用四階B-L積分不等式更精確地對求導(dǎo)后的積分項(xiàng)進(jìn)行放大，得到保守性更小的中立時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性充分條件，進(jìn)而得到廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性充分條件.最后，兩個數(shù)值算例表明筆者所獲得方法的有效性和優(yōu)越性.

1 問題描述

考慮如下連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，Rn是定義在實(shí)數(shù)域上的n維向量空間，h>0表示定常時滯，φ(t)∈R是連續(xù)的向量值初始函數(shù).矩陣E∈Rn×n，且rankE=r≤n.A,Ad為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

定義1[9]若det(sE-A)≠0,則稱矩陣對(E,A)是正則的;若deg det(sE-A)=rank(E),則稱矩陣對(E,A)是無脈沖的.

定義2[11]若矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的，則稱廣義時滯系統(tǒng)(1)是正則、無脈沖的.

引理1[9]如果矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的，則存在兩個非奇異矩陣M∈Rn×n和N∈Rn×n使得下式成立：

其中矩陣A1∈Rr×r.

首先將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化成一定約束下的中立型系統(tǒng).根據(jù)引理1，如果(E,A)是正則、無脈沖的，一定存在兩個非奇異矩陣M∈Rn×n和N∈Rn×n，使得

(2)

(3)

其中(3)中矩陣分塊與(2)中矩陣分塊方式相一致.u1(t)、u1(t-h)為r維列向量，u2(t)、u2(t-h)為n-r維列向量.所以，系統(tǒng)(1)等價于

即

(4)

0=u2(t)+Ad3u1(t-h)+Ad4u2(t-h) .

(5)

對(5)求導(dǎo)，可得

(6)

聯(lián)立(5)和(6)，得

(7)

聯(lián)立(4)和(7)，得

系統(tǒng)(1)可表述成如下的形式:

(8)

其中

引理2[11]如果矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的，系統(tǒng)(1)是無脈沖的并且解存在,且在[0,∞).

其中:

2 主要結(jié)果

定理1 對于給定參數(shù)h>0，系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的.若存在正定矩陣P∈R6n×6n，正定矩陣Q，R，S∈Rn×n，滿足下面線性矩陣不等式

Φ=sym{ΓT1PΓ2}+eT1Qe1-eT3Qe3+eT0Re0-eT2Re2+h2eT0Se0-ΓT3SΓ3- 3ΓT4sΓ4-5ΓT5SΓ5-7ΓT6SΓ6-9ΓT7SΓ7<0 .

(9)

其中:

證明為系統(tǒng)(8)選擇如下形式的L-K函數(shù):

V(u(t))=V1(u(t))+V2(u(t))+V3(u(t))+V4(u(t)) ,

為了方便記

沿著系統(tǒng)(8)，關(guān)于t對V(u(t))求導(dǎo)數(shù)，得

(10)

(11)

(12)

即

(13)

根據(jù)(10)～(13),整理得

(14)

注釋1 在處理廣義時滯的穩(wěn)定性時，常出現(xiàn)半正定項(xiàng)ETSE，使得穩(wěn)定性條件難以表述成嚴(yán)格的線性矩陣不等式形式.中立系統(tǒng)變換方法避免了這個問題，為獲得廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件提供了新思路.

3 數(shù)值算例

本節(jié)用2個數(shù)值例子來說明本文方法的有效性和優(yōu)越性.

例1 考慮如下廣義時滯系統(tǒng)[16]：

根據(jù)定理1，得

例2 考慮如下中立型時滯系統(tǒng)[8]：

其中，c為參數(shù).利用定理1，并用MATLAB的LMI工具箱求解，通過2個數(shù)值例子算出系統(tǒng)允許最大時滯hmax，與已有文獻(xiàn)相比的結(jié)果分別列在表1、表2中，可以看出，本文方法具有更小的保守性.

表1 比較廣義時滯系統(tǒng)允許最大時滯hmax

表2 比較中立時滯系統(tǒng)允許最大時滯hmax

4 結(jié)論

筆者利用中立系統(tǒng)變換方法，研究了廣義時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.選取了增廣的L-K泛函，在處理積分項(xiàng)時利用了B-L積分不等式，給出了新的穩(wěn)定性條件判據(jù).而在文獻(xiàn)[12]和[13]中，采用了Wirtinger積分不等式(具體見文獻(xiàn)[2])來處理求導(dǎo)后積分項(xiàng)，相比之下，筆者采取的四階B-L積分不等式更能精確地對求導(dǎo)后積分項(xiàng)進(jìn)行放大，因此，該方法適當(dāng)?shù)亟档土吮Ｊ匦?最后用2個數(shù)值例子表明，此方法在處理廣義時滯系統(tǒng)和中立時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性上，更具有優(yōu)越性.