基于ARIMA和馬氏鏈模型的中國財(cái)政收入預(yù)測

侯甜甜，楊 叢，詹炳歡

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 平頂山 467036)

0 引言

關(guān)于中國近期及中期財(cái)政收入預(yù)測分析等相關(guān)論文，大多數(shù)采用中國財(cái)政收入年度數(shù)據(jù),并利用多元線性回歸模型預(yù)測.作為發(fā)展中國家的中國，其財(cái)政收入情況一直備受矚目，近幾年來中國財(cái)政收入的增長速度迅猛，很多國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)專家都對中國財(cái)政收入進(jìn)行了深入研究，大量期刊類文章對中國財(cái)政收入進(jìn)行多角度、多層面的理論分析，涉及較深的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論.目前缺少利用純數(shù)學(xué)的方法對中國財(cái)政收入進(jìn)行高準(zhǔn)確度預(yù)測，基于時(shí)間序列對中國財(cái)政收入進(jìn)行預(yù)測,在數(shù)學(xué)預(yù)測中已經(jīng)廣泛應(yīng)用，但是基于馬氏鏈模型對中國財(cái)政收入的預(yù)測,國內(nèi)并沒有深入研究.筆者通過ARIMA模型和馬氏鏈模型對中國財(cái)政收入進(jìn)行預(yù)測.

時(shí)間序列分析的應(yīng)用方法已經(jīng)相當(dāng)成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也很廣泛，時(shí)間序列分析中的ARIMA模型在經(jīng)濟(jì)、商業(yè)預(yù)測中具有重要地位.例如：2016年卓鵬宇的基于時(shí)間序列分析的股票趨勢預(yù)測模型研究、2018年任慧的 ARIMA模型在中國人均GDP預(yù)測中的應(yīng)用和2017年劉偉霞的ARIMA模型在福建省第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值預(yù)測中的應(yīng)用，都是近幾年ARIMA模型在經(jīng)濟(jì)和商業(yè)預(yù)測中的經(jīng)典應(yīng)用.時(shí)間序列在以前的巨大貢獻(xiàn)更是不勝枚舉，其應(yīng)用領(lǐng)域也是擴(kuò)展到除經(jīng)濟(jì)和商業(yè)領(lǐng)域外的醫(yī)學(xué)、氣象、水安全、人文等領(lǐng)域.

馬爾科夫過程在隨機(jī)過程理論中具有重要地位，它的應(yīng)用范圍也極其廣泛，包括物理、生物學(xué)、水資源科學(xué)、氣象科學(xué)、地質(zhì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.20世紀(jì)初,馬氏鏈的創(chuàng)造者馬爾科夫提出并研究一種用數(shù)學(xué)分析方法研究自然過程的模型，也叫馬氏鏈模型.他推動了概率論的發(fā)展，同時(shí)他研究的隨機(jī)過程也被稱為馬爾科夫過程.馬氏鏈模型被廣泛應(yīng)用于短期的金融預(yù)測，對于當(dāng)下炙手可熱的股票和期貨等交易中起到了重要的決策作用.2013年夏莉、黃正洪的馬爾科夫鏈在股票價(jià)格預(yù)測中的應(yīng)用、王璇的基于馬氏鏈的市場占有率預(yù)測分析和羅海玲、鄭根的基于R語言股票市場收益的預(yù)測分析等,在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)、商業(yè)中運(yùn)用最為廣泛.筆者對具有周期性和季節(jié)性的中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，同時(shí)也是一次對中國財(cái)政收入預(yù)測很有價(jià)值的嘗試.

1 預(yù)測方法

1.1 ARIMA模型介紹

1970年Box和Jenkins提出ARIMA模型，又稱差分整合移動平均自回歸模型.ARIMA模型對擾動項(xiàng)進(jìn)行建模分析后，綜合考慮預(yù)測變量的過去值、當(dāng)前值和誤差值，以此提高模型的預(yù)測精度.

具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動平均模型，簡記為ARIMA(p,d,q)模型[1]：

當(dāng)序列具有季節(jié)效應(yīng)，季節(jié)效應(yīng)本身具有短期相關(guān)性時(shí)，季節(jié)相關(guān)性可以使用以周期步長為單位的ARMA(P,Q)模型提取.由于短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)有乘積關(guān)系，所以模型為ARMA(p,q)和ARMA(P,Q)的乘積.則擬合的乘積季節(jié)模型簡記為ARMA(p,d,q)×(P,D,Q)S，結(jié)構(gòu)如下[1]：

差分觀察值序列平穩(wěn)后，需要判斷序列是否有分析價(jià)值，因此在建模之前需要進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，即白噪聲檢驗(yàn).檢驗(yàn)結(jié)果顯示是白噪聲序列，則該序列沒有分析價(jià)值；如果是非白噪聲序列，則可以進(jìn)行模型擬合.

對于平穩(wěn)非白噪聲序列Xt，AR模型，MA模型和ARMA模型的自相關(guān)系數(shù)(ACF)、偏相關(guān)系數(shù)(PACF)表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計(jì)特征.根據(jù)其截尾性和拖尾性可初步判斷出序列所能擬合的模型：AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)特征(表1).

表1 不同模型的ACF和PACF特征

由表1自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的特征可以初步判定模型所屬的類別.然后確定模型的階數(shù).確定ARMA模型階數(shù)常用的方法有自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)定階法以及AIC準(zhǔn)則法.

如果ACF在q步截尾，PACF在p階之后為零并具有拖尾性，則利用MA(q)模型擬合；如果PACF在p步截尾，ACF在p階之后為零并具有拖尾性，則利用AR(p)模型擬合，如果PACF和ACF都拖尾，則利用ARMA模型擬合.對于ARMA模型，不能確定其階數(shù).建立ARMA模型時(shí)，p和q一般比較低，所以可以嘗試確定p和q的值來定出模型，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裢ㄟ^殘差白噪聲檢驗(yàn)，如果沒有通過檢驗(yàn)，則需調(diào)整p和q值，重新建立模型并檢驗(yàn)，直至模型通過殘差白噪聲檢驗(yàn)為止.

模型的檢驗(yàn)主要從以下幾個(gè)方面判斷：

1)所有的系數(shù)是否都顯著不為零.

2)殘差序列是否為白噪聲.

檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列，分別對各模型進(jìn)行殘差白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果顯示p值均大于顯著性水平，則接受原假設(shè)，認(rèn)為殘差序列是白噪聲序列.結(jié)果顯示p值均小于顯著性水平，則接受原假設(shè)，分析結(jié)束.

3)預(yù)測是否準(zhǔn)確.

4)是否有更大的擬合優(yōu)度和更小的AIC值和BIC值.

當(dāng)存在一個(gè)p和q使AIC信息量最小時(shí)，這時(shí)的p和q便是模型理想的階.主觀上認(rèn)為模型擬合得越準(zhǔn)確越好，如果準(zhǔn)確度高的同時(shí)模型復(fù)雜度高，則導(dǎo)致模型擬合困難，從而會影響擬合結(jié)果,所以對擬合精度和參數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行權(quán)重分配.當(dāng)表示模型擬合好壞的部分發(fā)揮主要作用時(shí)，AIC的值會顯著下降，當(dāng)模型階數(shù)增加到一定程度時(shí)，模型擬合殘差減小的效果逐漸變?nèi)?，AIC值上升.當(dāng)模型取到最佳階數(shù)時(shí)，AIC的值也應(yīng)該是最小的.

1.2 馬氏鏈模型

馬爾科夫鏈[2]是由有限個(gè)馬爾科夫過程構(gòu)成的，該過程要求具備“無后效性”，“無后效性”是指狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)，下一狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與之前的狀態(tài)無關(guān).滿足這個(gè)特征的隨機(jī)過程才被稱為馬爾科夫過程.

設(shè){X(t),t∈T}為一隨機(jī)過程，ti∈T,i=1,2,…,n且t1

P{X(tn)

則稱{X(t),t∈T}具有馬氏性或無后效性，并稱{X(t),t∈T}為馬爾科夫過程.

若上述馬爾科夫過程的狀態(tài)空間S為R中的可列集，時(shí)間參數(shù)集T為可列離散集，則稱{X(t),t∈T}為離散參數(shù)馬氏鏈.

P{Xm+1=j|Xm=i,}≡P{X1=j|X0=i}≡Pij(m,1)≡Pij.

則稱馬氏鏈具有“平穩(wěn)性”或“齊次性”，Pij表示由狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，它具有下列性質(zhì)：

以pij為元素的矩陣P=(pij)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其形式為：

設(shè)事物有n個(gè)互不相容的狀態(tài)，其初始分布為I(0)=[i(0)1i(0)2…i(0)n]，式中i(0)t(t=1,2,…,n)表示在時(shí)刻0處于狀態(tài)t的概率，若經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)t的概率為i(k)t，由C-K方程可得

i(k+1)t=∑i(k)t·pij(t=1,2,…,n),

簡記為

I(1)=I(0)·P,I(2)=I(1)·P=I(0)·P2, …I(k+1)=I(k)·P=…=I(0)·P(k+1).

這就是馬氏鏈預(yù)測模型.可見對于馬氏鏈，它處于任意時(shí)刻的概率分布由上一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率所決定.

2 實(shí)證分析

2.1 ARIMA模型的建立與分析

筆者在中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫獲取2009年1月—2018年7月的中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)，通過R語言對2009年1月—2017年7月數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[3-8]，保留2017年8月—2018年7月的數(shù)據(jù),與將要預(yù)測的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比.圖1為中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)的時(shí)序圖.

圖1 2009年1月—2017年7月全國財(cái)政收入時(shí)序圖

利用Eviews對中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)，3個(gè)模型的t-Statistic大于3個(gè)測試臨界值且P>α=0.05，則說明拒絕原假設(shè)，中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，需要進(jìn)行差分運(yùn)算.

圖2為確定性因素分解圖，其中圖(a)為原始數(shù)據(jù)時(shí)序圖、圖(b)為趨勢圖、圖(c)為周期性趨勢圖、圖(d)為殘差序列圖，從圖(b)可以看出中國財(cái)政收入序列蘊(yùn)含一個(gè)近似線性的遞增趨勢，所以對該序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算.進(jìn)行差分運(yùn)算后可以更好地提取周期信息.對于蘊(yùn)含固定周期的序列進(jìn)行步長等于周期長度的差分運(yùn)算，可以更好地提取所分析的中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù),可得周期12，所以進(jìn)行1階12步差分后可得時(shí)序圖3.

圖2 因素分解擬合綜合輸出圖

圖3 差分后中國財(cái)政收入序列時(shí)序圖

圖3顯示序列在均值附近比較穩(wěn)定地波動,還需要借助ADF檢驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證差分后序列的平穩(wěn)性.利用Eviews對中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)，3個(gè)模型的t-Statistic小于3個(gè)測試臨界值且P<α=0.05，說明接受原假設(shè)，中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，可以進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn).白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果顯示，LB統(tǒng)計(jì)量p-value=0.00，(P<0.05)，所以我們可以認(rèn)定全國財(cái)政收入序列屬于非白噪聲序列，可以進(jìn)行模型擬合.

圖4為1階12步差分的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，從圖(a)可以看出，1階12步差分的自相關(guān)圖是拖尾的.從圖(b)可以看出，1階12步差分的偏自相關(guān)圖是拖尾的.則得出結(jié)論建立ARMA模型，又因?yàn)橛^察值序列是非平穩(wěn)的，所以建立ARIMA模型.

通過R語言對差分后的中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)定階,可得系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12，見表2.

圖4 1階12步差分后的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

表2 系統(tǒng)定階模型系數(shù)

根據(jù)模型擬合輸出結(jié)果，可以得到系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12的擬合模型為：

從殘差白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果中可以看出，在延遲6階和延遲12階的檢驗(yàn)p值分別為0.61、0.08，在顯著性水平α為0.05的條件下，p值大于顯著性水平，所以接受原假設(shè)，可以認(rèn)定系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12提取的數(shù)據(jù)信息較為充分，該模型的擬合效果較為理想.

由表3系統(tǒng)定階模型預(yù)測結(jié)果可知，利用系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12對2009年1月—2017年7月的中國財(cái)政收入進(jìn)行預(yù)測，得出預(yù)測結(jié)果Point Forecast列.

利用R語言建立模型,對未來2017年8月—2018年7月的中國財(cái)政收入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測后，通過R語言擬合出系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12的預(yù)測圖(圖5)，并根據(jù)保留的真實(shí)值建立預(yù)測結(jié)果對比表(表4).

表3 系統(tǒng)定階模型預(yù)測結(jié)果

圖5 系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12預(yù)測圖

表4 系統(tǒng)定階模型預(yù)測結(jié)果對比

表4是對2017年8月—2018年7月的預(yù)測值與真實(shí)值做差值得到相對誤差，對相對誤差取絕對值并與真實(shí)值做除，計(jì)算可得1年的預(yù)測結(jié)果的平均誤差為4.75%，相對誤差在5%以內(nèi)，所以認(rèn)為模型的預(yù)測效果較好.

2.2 馬氏鏈模型的建立與分析

2009年1月—2018年7月中國財(cái)政收入月份之間起伏明顯[9-13]，且一直呈現(xiàn)增長趨勢.各月份之間差異明顯,可以劃分狀態(tài)區(qū)間，把月份間的起伏變化轉(zhuǎn)化成狀態(tài)區(qū)間的轉(zhuǎn)化.可以將中國財(cái)政收入月份數(shù)據(jù)劃分為12個(gè)狀態(tài)區(qū)間(表5).

表5 財(cái)政收入12個(gè)狀態(tài)區(qū)間

由于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)上升趨勢，而基于馬氏鏈的預(yù)測方法是基于已知狀態(tài)的概率預(yù)測，對于預(yù)測數(shù)據(jù)將會呈現(xiàn)更高的狀態(tài)，會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確.因此對各個(gè)狀態(tài)做差，對差值進(jìn)行基于馬氏鏈的預(yù)測.由此可以得到狀態(tài)區(qū)間及相鄰狀態(tài)區(qū)間的差值.

對狀態(tài)區(qū)間差值進(jìn)行基于馬氏鏈的預(yù)測，狀態(tài)區(qū)間之間的變換轉(zhuǎn)化為相鄰狀態(tài)區(qū)間差值之間的變換.再將狀態(tài)區(qū)間差值分成新的狀態(tài)區(qū)間[abcdef],可得表6.

表6 6個(gè)差值狀態(tài)區(qū)間

利用MATLAB對數(shù)據(jù)狀態(tài)區(qū)間劃分狀態(tài)，可以將狀態(tài)區(qū)間的差值劃分為6個(gè)狀態(tài)區(qū)間[abcdef]，根據(jù)各個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率可得轉(zhuǎn)移矩陣：

根據(jù)所建立的馬氏鏈模型pk+1=p0·Pk+1，對未來時(shí)刻的狀態(tài)分布進(jìn)行運(yùn)算[5-6]：將2018年1月的數(shù)據(jù)設(shè)為p0，p0=[0 0 0 0 0 1]為0時(shí)刻的狀態(tài)向量，預(yù)測2018年2月—2018年7月的數(shù)據(jù)，分別求出(p1,p2,p3,p4,p5,p6).

p1=p0·P?p1=[0.666 7 0.333 3 0 0 0 0],p2=p0·P2?p2=[0 0 0 0.833 3 0.166 7 0],p3=p0·P3?p3=[0.048 5 0.063 6 0.193 9 0.245 5 0.345 2 0.133 3],p4=p0·P4?p4=[0.127 4 0.154 7 0.175 4 0.374 2 0.129 1 0.039 3],p5=p0·P5?p5=[0.052 9 0.090 5 0.126 3 0.492 1 0.178 3 0.059 9],p6=p0·P6?p6=[0.075 8 0.100 1 0.157 6 0.381 1 0.206 6 0.078 7].

由MATLAB求得預(yù)測結(jié)果(p1,p2,p3,p4,p5,p6)后，分別找出狀態(tài)向量中概率最大所對應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間,并與真實(shí)值狀態(tài)區(qū)間進(jìn)行對比.

p1=[0.666 7 0.333 3 0 0 0 0]可得最大概率66.67%在a區(qū)間且與真實(shí)值在同一區(qū)間；p2=[0 0 0 0.833 3 0.166 7 0]可得最大概率83.33%在c區(qū)間且與真實(shí)值在同一區(qū)間；p3=[0.048 5 0.063 6 0.193 9 0.245 5 0.345 2 0.133 3]可得最大概率34.52%在e區(qū)間且與真實(shí)值在同一區(qū)間；p4=[0.127 4 0.154 7 0.175 4 0.374 2 0.129 1 0.039 3]可得最大概率37.42%在d區(qū)間且與真實(shí)值在同一區(qū)間；p5=[0.052 9 0.090 5 0.126 3 0.492 1 0.178 3 0.059 9]可得最大概率49.24%在d區(qū)間且與真實(shí)值在同一區(qū)間；p6=[0.075 8 0.100 1 0.157 6 0.381 1 0.206 6 0.078 7]可得最大概率38.11%在d區(qū)間，真實(shí)值在c區(qū)間.

由上述可得p1,p2,p3,p4,p5預(yù)測的結(jié)果與真實(shí)值相符合，從第6個(gè)數(shù)據(jù)開始預(yù)測出現(xiàn)較大偏差.馬氏鏈模型預(yù)測的結(jié)果與轉(zhuǎn)移概率矩陣有較大的關(guān)系，轉(zhuǎn)移時(shí)根據(jù)相鄰的觀測數(shù)據(jù)狀態(tài)區(qū)間轉(zhuǎn)移的概率得到結(jié)果.通過馬氏鏈模型可以得到中國財(cái)政收入的大致走向與所在范圍.

3 結(jié)論

根據(jù)10年中國財(cái)政收入月度數(shù)據(jù)的分析可知，我國財(cái)政收入總體呈現(xiàn)出遞增趨勢,但是一年內(nèi)月度之間財(cái)政收入波動越來越大,導(dǎo)致中國財(cái)政收入預(yù)測難度越來越大.筆者利用系統(tǒng)定階模型ARIMA對2017年8月—2018年7月的中國財(cái)政收入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測并進(jìn)行相應(yīng)分析，利用馬氏鏈模型對2018年2月—2018年7月的中國財(cái)政收入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測并進(jìn)行相應(yīng)分析.

圖6為系統(tǒng)定階的擬合效果圖，從圖中可以看出，模型與原始數(shù)據(jù)擬合的效果較好，都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)；預(yù)測的1年的中國財(cái)政的趨勢與往年的趨勢是一樣的，直觀上可以認(rèn)為預(yù)測結(jié)果較好.

圖6 系統(tǒng)定階模型擬合效果

對ARIMA模型和馬氏鏈模型預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行分析：ARIMA模型的優(yōu)點(diǎn)是比較容易建立，相比較馬氏鏈模型可以作長期預(yù)測;缺點(diǎn)是時(shí)間序列數(shù)據(jù)必須是平穩(wěn)的，或者通過差分后是平穩(wěn)的.

馬氏鏈模型的優(yōu)點(diǎn)：模型簡單，無后效性;缺點(diǎn)：由于馬氏鏈具有平穩(wěn)性，在長期預(yù)測中預(yù)測值會趨于一致，所以只適用于短期預(yù)測，具有局限性.

系統(tǒng)定階模型ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12的平均相對誤差為4.75%.馬氏鏈模型預(yù)測的結(jié)果是狀態(tài)區(qū)間，前5個(gè)預(yù)測結(jié)果都在真實(shí)值所在的區(qū)間，第6個(gè)預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)較大偏差狀態(tài)區(qū)間.馬氏鏈模型適用于短期預(yù)測，預(yù)測的越多越不準(zhǔn)確，馬氏鏈模型預(yù)測的結(jié)果是一個(gè)范圍區(qū)間，預(yù)測結(jié)果沒有ARIMA模型預(yù)測的準(zhǔn)確度高.