基于馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程的牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估

李小波， 褚 敏， 陸朱劍， 程岳梅， 田世賀

(上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院， 上海 201620)

0 引 言

地鐵列車牽引系統(tǒng)是保證地鐵安全可靠運(yùn)行的關(guān)鍵系統(tǒng)，對(duì)牽引系統(tǒng)的可靠性評(píng)估有利于提高地鐵的安全性能，改進(jìn)安全維修周期，節(jié)約人力物力成本。趙峰等人[1]通過對(duì)動(dòng)車組列車牽引傳動(dòng)系統(tǒng)分層分析，以組合賦權(quán)法計(jì)算指標(biāo)層組合權(quán)重，最終采用模糊灰色聚類法完成了對(duì)系統(tǒng)的健康狀態(tài)評(píng)估；曹茜等人[2]根據(jù)CRH3型動(dòng)車組的運(yùn)行歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合蒙特卡羅模擬-元胞自動(dòng)機(jī)(MCS-CA)算法，分析計(jì)算了牽引傳動(dòng)系統(tǒng)不同狀態(tài)下的可用度變化；孟輝苓等人[3]分析對(duì)比系統(tǒng)關(guān)鍵器件不同的故障機(jī)理從而得到牽引逆變系統(tǒng)的可靠性邏輯表達(dá)式，建立了城軌列車牽引逆變系統(tǒng)的可靠性評(píng)估模型；宋永豐等人[4]通過分析牽引傳動(dòng)系統(tǒng)各部件對(duì)系統(tǒng)的影響程度及可靠性邏輯關(guān)系，建立了牽引傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性模型，并采用專家評(píng)分分配法對(duì)各部分完成了可靠性分配，對(duì)地鐵列車牽引系統(tǒng)的可靠性評(píng)估有參考意義；趙瓊[5]采用故障樹分析法對(duì)牽引供電系統(tǒng)接觸網(wǎng)開展了定性和定量分析，并結(jié)合馬爾科夫模型考慮維修因素對(duì)接觸網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分配；鄭彥濤[6]從系統(tǒng)檢修的角度，考慮系統(tǒng)設(shè)備的重要度對(duì)動(dòng)車組系統(tǒng)功能進(jìn)行層次分析，建立了列車系統(tǒng)維修可靠性模型。

既有文獻(xiàn)在進(jìn)行牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估時(shí)未全面考慮各子系統(tǒng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響程度，不同子系統(tǒng)權(quán)重不同，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)評(píng)估影響不同。因此，本文通過對(duì)牽引系統(tǒng)進(jìn)行層次分析確定系統(tǒng)的可靠性評(píng)估指標(biāo)，并計(jì)算不同子系統(tǒng)對(duì)于牽引系統(tǒng)的組合權(quán)重，進(jìn)而確定進(jìn)入故障狀態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)，采用馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程分析牽引系統(tǒng)考慮不同衰減系數(shù)，建立了地鐵列車牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估模型。

1 基本理論

1.1 系統(tǒng)可靠性

可靠性是指在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力，是系統(tǒng)綜合性能的體現(xiàn)。維修可靠性參量主要有可靠度、故障率、修復(fù)率、可靠壽命、失效前平均工作時(shí)間等，本文在建立牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估模型時(shí)主要用到故障率以及修復(fù)率兩個(gè)可靠性參量。

故障率是指工作到某時(shí)刻t時(shí)尚未發(fā)生故障的產(chǎn)品，在t時(shí)刻以后的下一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率，也稱失效率。記為λ(t)；λ(t)的數(shù)學(xué)定義可表示為：

(1)

其中，Δn(t)指到t時(shí)刻為止處于故障狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)，R(t)指起始時(shí)刻處于工作狀態(tài)的產(chǎn)品數(shù)。

修復(fù)率是指維修時(shí)間已達(dá)到某一時(shí)刻t但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在t時(shí)刻后的下一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成修復(fù)的概率[7], 記為μ(t)。μ(t)的數(shù)學(xué)定義可表示為：

(2)

其中，ΔM(t)表示到t時(shí)刻為止被修復(fù)的產(chǎn)品數(shù)，G(t)指從起始時(shí)刻處于故障狀態(tài)及到t時(shí)刻為止新發(fā)生故障的產(chǎn)品數(shù)之和。

1.2 層次分析法

層次分析法的基本思想是將復(fù)雜系統(tǒng)劃分成多個(gè)子系統(tǒng)、歸結(jié)為多個(gè)影響因素，并將相同子系統(tǒng)的每一個(gè)影響因素相互對(duì)比、判斷和計(jì)算以得到不同子系統(tǒng)對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的權(quán)重，給系統(tǒng)狀態(tài)分析提供參考。具體實(shí)施步驟如下：

步驟1將目標(biāo)系統(tǒng)分層分析構(gòu)建出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，并將其影響因素作為指標(biāo)層，自底而上分析系統(tǒng)性能。

步驟2判斷指標(biāo)層每個(gè)因素之間的相對(duì)重要性，比例標(biāo)度法取值及定義見表1，由此構(gòu)造出判斷矩陣R。

表1 比例標(biāo)度法取值及定義

步驟3采用公式CR=CI/RI對(duì)判斷矩陣R進(jìn)行隨機(jī)一致性檢驗(yàn)。其中，CR為判斷矩陣R的一致性比率，CI為一致性指標(biāo)，CI=(λmax-n)/(n-1)，RI表示其平均一致性指標(biāo)，多階成對(duì)比較矩陣RI的取值見表2。由表2判斷RI的取值。

表2 多階成對(duì)比較矩陣RI的取值

Tab. 2 The value of the multi-order pairwise comparison matrixRI

N12345678RI000.580.91.121.241.321.41

步驟4自適應(yīng)滿足步驟3一致性檢驗(yàn)后，由公式RZ=λmaxZ求解組合權(quán)重，其中λmax表示R的最大特征根，Z為λmax的對(duì)應(yīng)特征向量。

當(dāng)n≥3且0

(3)

其中，

(4)

1.3 馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程

設(shè){X(t),t≥0}表示在評(píng)估系統(tǒng)時(shí)取值在有限個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)集S={0,1,…}上的一個(gè)隨機(jī)過程，其中X(t)表示系統(tǒng)在t時(shí)刻所表現(xiàn)出的狀態(tài)。若對(duì)于在任意自然數(shù)n以及任意時(shí)刻點(diǎn)0≤t1

P[X(tk+1=j)|X(tk+1=i)]=Pij,

(5)

考慮到進(jìn)入不同系統(tǒng)狀態(tài)的影響，在馬爾科夫過程的基礎(chǔ)上增加狀態(tài)獎(jiǎng)勵(lì)Ms和衰減系數(shù)γ。Gt表示整個(gè)馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程從時(shí)刻t開始所有獎(jiǎng)勵(lì)并帶有衰減的總和。研究推得其數(shù)學(xué)公式為：

(6)

Ms=E{Mt+1|St=S}表示在{X(t),t≥0}狀態(tài)下某時(shí)刻t處進(jìn)入下一個(gè)時(shí)刻t+1能獲得的期望獎(jiǎng)勵(lì)。其中,衰減系數(shù)γ∈[0,1]表示之后的獎(jiǎng)勵(lì)在當(dāng)前狀態(tài)的價(jià)值比例，在t+1時(shí)刻獲得的獎(jiǎng)勵(lì)M在t時(shí)刻的體現(xiàn)出的價(jià)值γkM，價(jià)值評(píng)估函數(shù)v(s)給出了某一狀態(tài)的價(jià)值，其公式即如式(7)所示：

v(s)=E[Gt|St=s]=

E[Mt+1+γMt+2+γ2Mt+3+…|St=s]=

E[Mt+1+γ(Mt+2+γMt+3+…)|St=s]=

E[Mt+1+γGt+1|St=s]=

E[Mt+1+γv(St+1)|St=s],

(7)

用s′表示s狀態(tài)下一時(shí)刻的任何可能的狀態(tài)，則價(jià)值評(píng)估方程表達(dá)為：

(8)

研究可知，v=M+γPv經(jīng)變換后得到：

v=(1-γP)-1M.

(9)

在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行價(jià)值評(píng)估時(shí)，必須確定不同狀態(tài)的獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)以及衰減系數(shù)。在確定獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)時(shí)容易受到主觀判斷的影響，不合理的獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)會(huì)使得評(píng)估系統(tǒng)價(jià)值的結(jié)果產(chǎn)生很大誤差，故將1.2節(jié)中所求綜合權(quán)重a作為獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)。若衰減系數(shù)γ接近0，表明本次為近似性評(píng)估，γ愈靠近1，則表明偏重考慮遠(yuǎn)期的利益。因此分別選取0.2,0.5,0.9作為衰減系數(shù)從不同角度考慮評(píng)估系統(tǒng)價(jià)值。

2 牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估模型

2.1 可靠性指標(biāo)計(jì)算

地鐵列車牽引系統(tǒng)可分為受電弓模塊、斷路器模塊、牽引逆變模塊、牽引電機(jī)模塊以及控制模塊等5個(gè)模塊。其中，受電弓模塊故障形式主要有升降弓機(jī)械故障以及電機(jī)損壞、絕緣子失效、碳滑板磨損到限等；斷路器模塊故障形式主要有輔助觸點(diǎn)故障、控制線圈燒損故障、機(jī)械結(jié)構(gòu)故障等；牽引逆變模塊故障形式主要是二極管擊穿導(dǎo)致IGBT損壞；牽引電機(jī)模塊故障形式主要有電機(jī)速度傳感器故障、電機(jī)損壞不能運(yùn)行等；控制模塊故障形式主要有軟件缺陷、電氣零部件老化或質(zhì)量問題造成的故障；在處理故障數(shù)據(jù)時(shí)以上述故障形式為基準(zhǔn)計(jì)算各模塊的故障率以及修復(fù)率。

2.2 牽引系統(tǒng)的可靠性層次分析

利用層次分析法對(duì)地鐵列車牽引系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，考慮到各模塊的元件十分復(fù)雜并大都相互關(guān)聯(lián)，如果采用元器件級(jí)的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)可靠性評(píng)估，會(huì)使得整個(gè)系統(tǒng)的可靠性評(píng)估過程冗長(zhǎng)且不準(zhǔn)確。故從各個(gè)模塊的工作環(huán)境、重要程度、復(fù)雜程度以及技術(shù)成熟程度等方面綜合評(píng)估系統(tǒng)的可靠性，共分為系統(tǒng)層、模塊層以及指標(biāo)層三層。地鐵列車牽引系統(tǒng)分層建模分析結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。由圖1可知，系統(tǒng)層用于表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)，模塊層為系統(tǒng)各模塊的狀態(tài)評(píng)估，指標(biāo)層考慮不同模塊的組成特性、運(yùn)行環(huán)境等確定評(píng)價(jià)指標(biāo)。自底向上逐層分析，確定各模塊對(duì)于牽引系統(tǒng)的權(quán)重值，即獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)M。

圖1 地鐵列車牽引系統(tǒng)分層分析結(jié)構(gòu)圖

Fig. 1 Hierarchical analysis structure diagram of subway train traction system

2.3 馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程可靠性評(píng)估

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方程組：

(10)

圖2 牽引系統(tǒng)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

為了求得穩(wěn)態(tài)概率，令Δt→0，得到線性方程組矩陣為：

且∑Pi=1,

(11)

求得：

(12)

結(jié)合公式(9)得到牽引系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可靠度，即：

(13)

3 實(shí)例分析

3.1 可靠性評(píng)估參數(shù)的確定

牽引系統(tǒng)是一個(gè)極其復(fù)雜的系統(tǒng)，在分析系統(tǒng)可靠性時(shí)，考慮系統(tǒng)各模塊的復(fù)雜程度、重要程度、技術(shù)成熟程度、工作環(huán)境來自底向上分析整個(gè)系統(tǒng)的可靠性。根據(jù)文獻(xiàn)[4]得到表3，以表3的數(shù)據(jù)為參考構(gòu)建判斷矩陣來進(jìn)行層次分析。

表3 可靠性評(píng)估指標(biāo)

構(gòu)建判斷矩陣時(shí)，對(duì)受電弓模塊而言，可得：

求解R的最大特征值λmax=4.027 7,CI=0.009 2。

檢驗(yàn)計(jì)算得CR=0.001滿足要求，所以相應(yīng)的權(quán)重值就是對(duì)應(yīng)的特征向量。研究得到：

z1=[0.435 2,0.123 3,0.435 2,0.778 5]，

同理求得：

z2=[0.166 1,0.278 7,0.482 6,0.813 5]，

z3=[0.813 5,0.278 7,0.482 6,0.166 1]，

z4=[0.250 5,0.467 4,0.250 5,0.809 9]，

z5=[0.827 3,0.146,0.522 4,0.146]

根據(jù)式(3)計(jì)算得到：

a1=0.5,a2=0.5,a3=-0.6,a4=0.5,a5=0.5，

即：

z0=[0.5,0.5,-0.6,0.5,0.5]，

最終計(jì)算可得a0=0.2，即M0=0.2。

3.2 可靠性評(píng)估

以某地鐵線路AC車型2015年列車故障數(shù)據(jù)作為參考，考慮不同時(shí)期的系統(tǒng)可靠性變換，分別設(shè)γ=0.2/0.5/0.9對(duì)應(yīng)從短期、中期、長(zhǎng)期的角度評(píng)估牽引系統(tǒng)可靠性變化趨勢(shì)。牽引系統(tǒng)可靠度評(píng)估對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 牽引系統(tǒng)可靠度對(duì)比圖

不難看出，不同考慮角度的系統(tǒng)可靠度下降趨勢(shì)一致，考慮長(zhǎng)期系統(tǒng)狀態(tài)可靠度下降較前兩種緩和一些，3種時(shí)期系統(tǒng)可靠度都在30天后下降趨于平緩。對(duì)比3種曲線，為確保行車安全，應(yīng)選擇考慮短期利益的近似性評(píng)估作為檢修計(jì)劃的參考標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)系統(tǒng)可用度降低到0.9時(shí)作為檢修閾值，對(duì)應(yīng)圖3得到：當(dāng)可用度降低到0.9時(shí)為3.5天，故針對(duì)該線路牽引系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)，應(yīng)設(shè)立檢修周期為3天作為牽引系統(tǒng)檢修計(jì)劃制定的參考。

4 結(jié)束語

本文通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行層次分析確定系統(tǒng)的可靠性評(píng)估指標(biāo)，并利用層次分析法計(jì)算組合權(quán)重確定獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)，采用馬爾科夫獎(jiǎng)勵(lì)過程考慮不同衰減系數(shù)建立地鐵列車牽引系統(tǒng)可靠性評(píng)估模型，最終研究確定衰減系數(shù)γ=0.2，獎(jiǎng)勵(lì)系數(shù)M=0.2作為可靠性評(píng)估最優(yōu)參數(shù)，該分析方法對(duì)地鐵列車的維護(hù)保障、維修決策具有重要的參考意義。